Материал: Економетрія - Навчальний посібник ( Лугінін О.Є.)


2.1. елементи лінійної алгебри 2.1.1. матриці, визначники та дії з ними

Різні економічні дані часто надаються у вигляді таблиць. Математична обробка їх значно спрощується, якщо абстрагуватися від їх економічного змісту, тобто розглядати їх як математичний об'єкт матрицю.

Матрицею називається таблиця чисел, яка складається з т рядів і п стовпців та записується у вигляді:

 

 

 

А

аИ а12 ■■■а1п

а21 а22 ...а2п

 

=(аД

 

 

(2.1)

 

 

Vат1 ат2 ■■■атп )

де сіц числа, які називаються елементами матриці; і - номер рядка (і=1...т); Ц номер стовпця (Ц=1...гі).

Кількість рядків і стовпців матриці визначає її розмір

т*п.

Якщо т=п, то матриця квадратна порядку п (або т); якщо т^п, то матриця прямокутна.

Матриця може складатися з одного стовпця або рядка, тоді її називають вектором або відповідно матрицею-стовпцем і матрицею-рядком:

11

 

А

21

А = (аіі аі2„Міп).

(2.2)

 

 

V аші)

Квадратна матриця, усі елементи якої, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною. Якщо в діагональній матриці елементами головної діагоналі є одиниці, то матриця називається одиничною п-го порядку:

 

 

 

Е

С1 0 ... 0 л 0 1 ... 0

 

у0   0 )

 

 

(2.3.)

 

Якщо у заданій матриці А поміняти місцями елементи рядків на відповідні елементи стовпців (або навпаки), то дістанемо транспоновану матрицю:

С а11 а21 ...ат1 ^

 

Л'

а21 а22 ...ат2

(2.4)

 

 

Vа1п а2п ...атп )

Додавання і віднімання виконуються тільки для матриць одного й того самого порядку. Якщо матриці Л=(ау) і В=(Ъу) мають однаковий порядок, то матриця суми або різниці дорівнює відповідно Є=(ау±Ьу).

Помножити матрицю А на скаляр X (скаляр дійсне число зі своїм знаком) означає, що у нової матриці В=Х*А її елементи сСу дорівнюють результатам помноження скляра на елементи матриці Л : сСу=Х*ау.

Дві матриці А і В можна помножити одна на одну, якщо кількість стовпців г першої матриці дорівнює кількості рядків г другої матриці. Тоді кожний елемент матриці добутку С=А*В є сумою добутків відповідних елементів ау і-го рядка на

г

відповідні елементи Ьуу-го стовпця: Су = ^ ашЬку .

 

к=1

Наприклад, для матриць А та В

С Ъц >

Ъ21 Ъ22 Ъ23

)

В

V а21   а22 )

їх добуток С=А *В дорівнює:

 

гап * Ьп + а12 * Ь21   ап * Ь12 + а12 * й22   ап *     + а;2 * Ь23 >

«2/ * ЬЛ + а22 * Ь21     а21 * Ь12 + а22 * Ь22     а21 * Ь13 + а22 * Ь23

)

'' С11 С12 С13 С21 С22 С23)

Кожна матриця має скалярну характеристику ранг матриці ^Л, яким називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів-стовпців (рядків) матриці А.

Для квадратної матриці розмірності п*п існують також скалярні характеристики: слід матриці та її визначник (детермінант).

Слідом квадратної матриці А є сума елементів на її головній діагоналі:

 

ітЛ = £

а.

(2.5)

 

ї=1

Визначником (детермінантом) квадратної матриці А, що позначається

|а11 а12 ■■■а1п

 

а21 а22 ■■■а2п

(2.6)

 

 

ап1 ап2 ■■■апп

називається число, яке може бути отримане як алгебраїчна сума попарних додатків елементів будь-якого стовпця (рядка) на їх відповідні алгебраїчні доповнення:

=< = аиЛ++ аЛ2+^а,Л, = (2.7)

 

Л

а11 а12

а11а22 а12а22

(2.8)

 

а21 а22

де Лц алгебраїчне доповнення елемента матриці ац, яке визначається розкриттям визначника А викресленням г-го рядка та ц-го стовпця.

Знак алгебраїчного доповнення "+" або "-" залежить від того, парна або непарна сума номерів рядка та стовпця, на перехрещенні яких є даний елемент йу.

Мінором Му матриці А називається визначник, який одержується з матриці А викресленням г-го рядка та у-го стовпця. Мінор відрізняється від алгебраїчного доповнення тим, що він завжди додатний.

Квадратна матриця, для якої АФ0, називається невиродженою. Кожна невироджена матриця має єдину обернену матрицю А-1, для якої виконується умова

А ~'Л = АА = Е. (2.9) Обернена матриця знаходиться за умовами: переконуються у невиродженості матриці А (тобто |А|^0); розраховуються алгебраїчні доповнення Ау елементів визначника матриці А; складається матриця В, елементами якої є алгебраїчні доповнення Ау; складається нова матриця В', яка є транспонованою до матриці В; розраховуються елементи оберненої матриці

 

А-1 =

1_ А

(2.10)

 

Приклад 2.1. Знайдемо обернену матрицю Адля

матриці

 

 

А

(2    1 Л 3   2 2

1 1 2

 

1.   Розраховується визначник цієї матриці:

А = а11А11 + а12А12 + а13А13>

де ап=2; ап=1; ап=-1;

 

Подпись: 3 2 12Подпись: ■■-(б + 2) = -8;А11

 

А13

2 2

1 2

з 2 1 1

■■4 2 = 2; А12

■■-3 2 = -5; А = 2*2 -1*8 + 1*5 = 1 Ф 0.

 

Так як А Ф 0 , то матриця А невироджена.

 

 

-(2 1) = -1; -(-2 -1) = 3; АзГ--(-4 + 3) = 1;   А33 =

Знаходяться алгебраїчні визначника:

А21

А32

А,,=2; А12=-8; Ав=-5 (див. п. 1); 1 -1

12

21

1

1 3-2

 

2.   Складається матриця В із алгебраїчних доповнень Ау.

ґ   і _ о _ <Л

3.   Формується транспонована матриця В', якщо поміняти місцями рядки та стовпці:

ґ    1—1 п

2

-1

0

8

5

1

5

3

1

 

2

-1

0

8

5

1

5

3

1

4.   Розраховується елементи оберненої матриці А':

А -1 =

ґ    1—1 п

 

 

2.1.2. Системи лінійних рівнянь та методи їх вирішення

 

Рівняння є лінійним, якщо воно містить у собі змінні тільки у першій ступіні, відсутні їх обернені величини та добуток змінних.

Наприклад, рівняння виду 2х}+5х2+х3=8 є лінійним, а рівняння 3хіх2+4х3-х4=2 та хі-4х22+3х3=б нелінійні.

У загальному випадку система т лінійних рівнянь з п змінними записується у вигляді:

 

аих, + а12х2 + ... + а]]х] + ... + а1пхп = Ь,;

а21х1 + а22х2 + ... + а2]х] + ... + а2пхп = Ь2;

 

а-,х, + а-,х-, + ... + а-х+ ... + а х =

(2.11)

 

 

 

ат1х1 + ат2х2 + ... + ат]х V + ... + а тп хп = Ьт ,

,т;

де ау коефіцієнти при змінних (невідомих) ху (і=1,2, І=1,2,...,п); Ьі праві частини.

Система лінійних рівнянь у матричному вигляді при т=п записується у вигляді:

А*Х=В, (2.12)

 

1'ап а,2 ...ап1 ^

1

(

 

 

 

де А

а21 а22 ...ап2

X

2

в

2

(2.13)

 

 

і а , а , ...а

Сукупність чисел (к1, к2,...кп) називається рішенням системи (2.11) або (2.12), якщо при підстановці їх замість змінних усі рівняння обертаються в тотожність (тобто ліві частини рівнянь відповідають правим). Коли праві частини Ь; системи рівнянь дорівнює нулю, то система називається однорідною, у протилежному випадку неоднорідною. Безліч тривіальних розв'язків ху=0 система (2.12) має тоді, коли |а| = 0 .

Система (2.11) називається сумісною, коли вона має хоча б одне рішення, та несумісною, якщо у неї відсутні рішення. Сумісна система рівнянь, яка має тільки одне рішення, називається визначеною, а більш одного - невизначеною.

Наприклад, система рівнянь

{

х 1 + 2 \% 2      — 2,

\%1 + 2 х 2       — 3,

несумісна, так як ні одне рішення першого рівняння не є рішенням другого, і навпаки. Система ж рівнянь х1 х2 + х3 = 6;

сумісна, так як має рішення (2; 1; 5), і невизначена, тому що, крім вказаного, вона має ще інші рішення, наприклад, (2; -4; 0).

Рішення системи (2.11) називаються незалежними, якщо ні одне з них не є наслідком інших. У протилежному випадку рівняння (2.11) є залежним та "зайві" рівняння повинні бути виключені із залежної системи.

Дві системи рівнянь типу (2.11) називаються еквівалентними, якщо всі рішення однієї системи є рішеннями іншої, і навпаки. Якщо скінчене число разів із рівнянь системи (2.11) віднімати або прибавляти будь-які інші рівняння, помножені на постійні величини, то одержується система, еквівалентна первинної. Якщо при цьому виявляється, що в будь-якому рівнянні коефіцієнти при змінних дорівнюють нулю, то можливі два випадки: в першому випадку права частина дорівнює нулю, що означає залежність даного рівняння від інших і таке рівняння із системи необхідного виключати; у другому випадку права частина не дорівнює нулю, тоді система несумісна (не має рішень).

У вирішенні системи (2.11) т рівнянь з п невідомими можуть бути три випадки:

а)         число рівнянь перевищує число невідомих т>п;

б)         число рівнянь дорівнює числу невідомих т=п;

в)         число рівнянь менше числа невідомих т<п. Випадок т>п не має самостійного значення для сумісної

системи, так як послідовним виключенням змінних з рівнянь можна получити нову систему з числом рівнянь р<п, еквівалентну первинної системі. У випадку, коли система несумісна, вона не має рішень.

При т=п неоднорідна система (2.12) сумісна і має ненульове рішення, коли її визначник відрізняється від нуля

А ф о.

В економічній практиці розповсюджені такі три основні методи вирішення системи рівнянь (2.12): метод Гауса; правило Крамера; метод оберненої матриці (або матричний метод).

Метод Гауса. Система п лінійних рівнянь з п змінними, матрична форма якої відповідає формулам (2.12) та (2.13), на основі (2.11) запишеться у вигляді:

аих, + апх2 + ... + ацХ; + ... + аыХп = Ь1;

а21Х1 + а22Х2 + ... + а2]Х] + ... + а2пХп = Ь2; аі1Х1 + аі2Х2 + ... + аЦХі + ... + аіпХп = Ьі;

 

аш1Х1 + ат2Х2 + ... + ат)Х) + ... + атп

Метод Гауса є одним з найбільш зручних способів рішення систем лінійних рівнянь і полягає в послідовному виключені змінних. На першому кроці за допомогою першого рівняння виключається змінна х1 із інших рівнянь; на другому кроці за допомогою нового другого рівняння виключається змінна х2 із усіх послідуючих рівнянь і т.д. Якщо при цьому не з'явиться ні одне рівняння с нульовими коефіцієнтами при змінних, то система рівнянь зводиться до трикутної форми і останнє рівняння буде мати тільки одну змінну:

а11Х1 + а12Х2 + ... + аЦХі + ... + а1пХп = Ь1;

а22Х2 + ... + а2]ХІ + ... + а2пХп = Ь2 ;

\;г (2.15)

а'ііХі +... + а'шХп = ь'і ;

 

а' х = Ь',

де а'ц нові коефіцієнти при змінних (і=2...п;і=2...п); Ь' нові

праві частини рівнянь (і=2...гі).

Така система рівнянь має тільки одне рішення ху (у=1...гі) і легко вирішується з кінця. Якщо при послідовному виключені змінних зустрінеться хоча б одне рівняння з нульовими коефіцієнтами при невідомих і нульовою правою частиною, то получимо систему рівнянь, яка еквівалентна системі (2.15). В отриманій системі число рівнянь т менше числа змінних п і така система буде невизначеною.

Приклад 2.2. Вирішити систему рівнянь методом Гауса: х1 + 3х2 + 8х3 х4 = 22; х2 + 3х3 х4 = 10; 4х1 + 2х2       3х4 = 11; х1 - 6х2        х4 = 0.

й крок. Перше рівняння залишаємо без зміни. Для виключення х1 із послідуючих за першим рівнянь від третього рівняння віднімемо учетверенне перше, а від четвертого -перше. Друге рівняння залишається без зміни, так як у ньому відсутня змінна х1, яка виключається з третього та четвертого рівняння. Тоді получимо систему:

х1 + 3х2 + 8х3 х4 = 22; х2 +   3х3 х4 = 10; - 10х2 32х3 + х4 = -77;

х4 — 22.

й крок. Перші два рівняння нової системи запишемо без зміни. За допомогою другого рівняння виключаємо змінну х2 із послідуючих рівнянь. Для цього до третього рівняння додамо друге, помножене на 9:

х1 + 3х2 + 8х3    х4 = 22; х2 +   3х3    х4 = 10; 2х 2     х4 — 23,

10х3 10х4 = 68.

й крок. Зберігаючи без зміни перші три рівняння нової системи, за допомогою третього рівняння виключимо змінну х3 із останнього. Для цього додамо до нього третє, помножене на 9,5. В результаті приходимо до системи рівнянь трикутної форми:

х1 + 3х2 + 8х3    х4 = 22; х2 +   3х3    х4 = 10; 2х3  3х4 = 11; 95,5х4 = 286,5.

Рішення для останньої змінної одержимо з четвертого рівняння: х4=-3. Знайдене значення х4 підставимо у друге рівняння системи, получаємо х3=2. В результаті підставлення х3 та х4 у друге рівняння системи получаємо х2=1. На підставі отриманих значень х2, х3, х4 із першого рівняння системи знаходимо х1=0. Остаточно получаємо єдине рішення системи рівнянь (0; 1; 2; -3). Перевіркою можна переконатися, що отримані значення змінних задовольняють даній системі.

Метод Крамера. При наявності системи (2.14), яка складається з п рівнянь при п змінних, вона має єдине рішення, якщо визначник цієї системи відрізняється від нуля: |А| Ф 0.

Введемо позначення: |Ау| визначник, отриманий з |л| заміною

стовпця, зіставленого з коефіцієнтів ауу при змінній ху, стовпцем, зіставленим із правих частин Ьі (і=1...п, у=1...п). Наприклад,

Ь1 а12 ... а1п Ь2   а22 ... а2п

 

Ь   а 2 ... а

І  п      п2        пп |

Тоді рішення лінійної системи рівнянь (2.14) описуються формулами Крамера:

 

х1

А1 А

ІАіІ ІАІ

ІАІ

(2.16)

 

Якщо   А = 0   і  не  всі   |Ау| = 0,  то  система (2.14)

несумісна, тобто не має ні одного рішення.

У разі однорідної системи рівнянь (Ь=0, і=1... п), вона завжди має нульові рішення. Якщо система має ненульове

рішення (а1, а2,     ап), то вона має і безліч рішень виду (ка1, ка2, кап), де к любе число.

Приклад 2.3.  Вирішити  методом Крамера систему рівнянь:

2х1 + х2 + 3х3 = 9; х1        + хз — 2;

3х1 + 2х2 + 2х3 = 7.

 

системи

через

Знайдемо    значення визначника алгебраїчні доповнення (див. приклад 2.1):

13

А = 1 2 1

2 2

= 2*(-6) 1*(-1) + 3*8 = 13. Так як |а| Ф 0 , то система рівнянь має єдине рішення, яке знаходиться за формулами:

х1

1А1І    1А2І |А3І

А''' х2    ІаІ х3

 

 

де ІАА

9  1 3 -2 -2 1;А2 7   2 2

2  9 3

1 -2 1; А3

372

219

1 2 2..

327

 

Розкриємо визначники а (/=1,2,3):

 

Подпись: + 3Подпись: 2 2 72 1 2 37 1 2 32Подпись: 2 1\
72 11
3 2
1 2 37
Подпись: +3

 

Подпись: +9

ИЧ = 9

 

К=2

 

А3 = 2

2 1 2 2 2 1 7 2

2-2

27

 

1

1

 

9

9*(-6) -1* (-11) + 3*10 = 13; 2 * (-11) 9*(-1) + 3*13 = 26; 2*(-10) -1*13 + 9*8 = 39.

 

Тоді за формулами Крамера розраховуємо результати:

=11 = і-   = 226і = і.   =39 = 3

1   13        2   13          3 13

Таким чином, система рівнянь має єдине рішення (1; 2; 3). Перевіркою можна переконатися, що знайдені значення змінних задовольняють розглядаємій системі.

Метод оберненої матриці (матричний спосіб). Система п лінійних рівнянь з п змінними, яка записана у матричному вигляді за формулами (2.12) та (2.13), має рішення:

X — А ~'*В, (2.17) де А'1 матриця, обернена до матриці А.

Приклад 2.4. Вирішити матричним способом систему рівнянь:

2 X і +   X 2       Х3 — 1;

< 3х1 + 2х2 2х3 — 1; Хі     Х2 +      — 5. Запишемо систему у матричній формі: А*Х=В,

 

 

Г 2

1

-1>

 

г Х1 ^

 

Г11

де А —

3

2

2

; X —

Х2

; В —

1

 

V1

-1

2 У

 

, хзу

 

V 5 ,

 

Визначник матриці А розрахований у прикладі 2.1: А -1Ф 0 ; отже система має єдине рішення. Обернена матриця також знайдена у прикладі 2.1:

А -1 —

ґ  2 -10 ^ 8   5 1 5 3 1

 

Г 2

-1

0 >

 

Г1л

Г

X —

8

5

1

*

1

 

V5

3

1 )

 

V 5 У

 

 

Г11

 

2

 

 

V 3 У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рішення системи записується у вигляді (2.17):

2*1 -1*1 + 0*5" 8*1 + 5*1 + 1*5 5*1 + 3*1 + 1*5^

Таким чином, єдине рішення системи рівнянь (1; 2; 3). Безпосередньою перевіркою можна переконатися, що знайдені значення змінних задовольняють заданій системі.

Ми розглянули рішення систем лінійних рівнянь, у яких кількість рівнянь співпадає з числом змінних. Розглянемо тепер випадок, коли система загального виду (2.14) містить т рівнянь з п змінними та т<п.

За допомогою методу Гауса при послідовному виключені змінних можна встановити, чи є система сумісною, а коли вона сумісна, залежні її рівняння чи ні. Рівняння, які є слідством інших, повинні бути виключені. Будемо вважати, що така перевірка вже виконана, залежні рівняння з системи виключені та рівняння системи незалежні.

Будь-які т змінних систем лінійних рівнянь з п змінними (т<п) називають основними, якщо визначник матриці коефіцієнтів при них відрізняється від нуля. Тоді інші (т-п) змінних називають неосновними (вільними).

Основними можуть бути різні групи з т змінних. Проте кількість способів вибору т змінних іх загальної кількості п скінчене. Воно дорівнює кількості сполучень із п елементів з т

пі

у кожному з них, тобто С'т  .

ті(п т)і

Якщо для системи т лінійних рівнянь з п змінними (т<п) існує хоча б один спосіб розподілу змінних на основні та неосновні, то система є сумісною, невизначеною та має безліч рішень. Із цих рішень при т<п виділяються базисні рішення, в яких неосновні змінні мають нульові значення. Кожному розподілу змінних системи (2.14) на основні та неосновні відповідає одне базисне рішення.

Може статися, що в базисному рішенні деякі основні змінні теж дорівнюють нулю. Тоді базисне рішення називають виродженим.

Рішення системи т лінійних рівнянь з п змінними (у тому числі і базисні) називаються допустимими, якщо всі компоненти їх невід'ємні та недопустимими, якщо хоча б одна компонента невід'ємна.

Запитання дня самоконтролю

Що називають матрицею?

Як визначають розмір матриці?

Яка матриця називається квадратною? прямокутною?

Яку матрицю називають матрицею-стовпцем? матрицею-рядком?

Яка матриця називається діагональною? одиничною?

Як получити транспоновану матрицю?

Який порядок додавання та віднімання матриць одного порядку?

Коли можна помножити одну матрицю на іншу? Який порядок помноження матриць?

Яка характеристика матриці називаєтеся рангом? слідом?

2.1.10. Що називається визначником квадратної матриці?

2.1.11. Як визначаються алгебраїчні доповнення елемента матриці та як вони розкриваються?

Правило знаків для алгебраїчного доповнення.

Що називають мінором матриці і чим він відрізняється від алгебраїчного доповнення?

Яка матриця називається невиродженою?

Який порядок складання оберненої матриці?

Яка система рівнянь називається лінійною? нелінійною? однорідною?

2.1.17. Яка система рівнянь є сумісною? несумісною? визначеною? невизначеною?

2.1.18. Які рівняння системи називаються залежними? незалежними?

Які дві системи рівнянь є еквівалентними?

Які випадки у вирішенні систем лінійних рівнянь можуть мати місце за кількістю рівнянь та змінних?

Який порядок вирішення системи, коли кількість рівнянь перевищує число змінних?

 

У якому випадку квадратна система рівнянь має ненульові рішення?

Які існують методи вирішення квадратних систем рівнянь?

 

Принципова суть методу Гауса.

Принципова суть методу Крамера.

2.1.26. Принципова суть матричного методу.

2.1.27. Який порядок вирішення системи лінійних рівнянь, якщо кількість рівнянь менше числа змінних?

2.1.28. Які рівняння системи називають основними? неосновними?

Які рішення системи називають базисними?

Які базисні рішення системи називають виродженими?

2.1.31. Які рішення системи називають допустимими? недопустимими?

 

Вправи

 

Вирішити системи лінійних рівнянь з використанням методів Гауса, Крамера, оберненої матриці:

 

 

2.1.1.

2.1.3.

 

2.1.5.

 

2.1.7.

 

2.1.9.

 

2х1 2х,

3 х і + 3 х 2   5 х 3 — 2; х1 + х2 + 2х3 — 3; 2.1.2.

х2 + 7х3 — 27. х2 + 4х3 —15; 2х1 + х2 + 3х3 — 8; 2.1.4. 3 х і    х 2        — 5.

х1 + 2 х2 3х3 — 0; 2х1 х2 +   х3 — 7; 2.1.6. х1 + 7х2 10х3 —11.

х1   +     х2   - х3   — 2;

х1 2х2 + х3 —-3; 2.1.8.

2          х1  +   х2         — 5.

3          х1  + 3 х2  5 х3  — -2;

х1 + х2 + 2х3 — 3; 2.1.10. 2 х1 х2 + 7 х3 — 27.

 

3х1 + х2 3х3 — 0; х 1 +        4 х 3 — 2.

х1 + 3 х2 + х3 — 10;

х1  2 х2 2 х3  — 0;

8х1 х2 + 5х3 —14. 2х1 3х2 + х3 — -16; х1 + 2х2 + х3 — 6;

5 х1   -    х2   3 х3   — -14.

х1 5х2 + 19 х3 — 56;

х1  2 х2  +    5 х3  — 24;

4х1 8х2 + 31х3 —107.

5 х1  + 2 х2  -     х3  — 2;

13х1 + 5 х2 + 2 х3 — 18; х1 3 х2          — -16.

 

2.1.11.

 

2.1.13.

 

2.1.14.

2х1 + 3х2 + 4х3 — 15;

X] + х2 + 5х3 — 16; 2.1.12. +   х$ — 1.

х і + х2 + 2 х з + х 4 — 2; 2х і      + 3х4 — 7';

3х] + х2           4х 4 — 3;

х і + 4 х 2 + 3 х 3    х 4 —15.

 

3х1 8х2 5 х3 + 4х4 — -23; 4х1 7 х2 + 14х3 + 5х4 — -5;

х1  +  2 х2  -    3 х3  -     х4  — 15.

х1 + 2 х2 + х3 — 4;

3 х1  5 х2  + 3 х3  — 1;

2х1 + 7х2 -   х3 — 8.