Материал: Економетрія - Навчальний посібник ( Лугінін О.Є.)


2.3. метод найменших квадратів

 

 

У ряді випадків при вирішенні економічних задач необхідно встановити теоретичну (аналітичну) залежність у=/(х) на підставі фактичних спостережень. Результати їх можуть бути

наведені у таблиці для п пар значень змінних: х1, у1; х2, у2;

хп> Уп.

У системі координат х і у на рис. 2.4 показані точки Аь координати яких хі та уі були отримані фактично.

Проаналізуємо, який вид кривої краще підійде для апроксимації емпіричних (фактичних)   даних. У

спрощеному випадку це може бути пряма, з кривих парабола, гіпербола, ступенева залежність тощо.

Припустимо, що для даного розподілення емпірично получених точок вибраний вид залежності у вигляді безперервної лінії /(х) між точками. Функцію /(х) описують параметри аь знайшовши які можна получити рівняння апроксимуючої лінії. Наприклад, рівняння прямої задаються у вигляді у=а0+а1х, рівняння параболи -у=а0+а1х2 тощо.

Відхилення ординат теоретичної лінії у від емпіричних даних уі при тих же абсцисах відповідають різниці иі=у-уі (при і=1...гі). Чим менші ці різниці, тим краще вибрана теоретична лінія буде апроксимувати емпіричні дані.

Французьким математиком Лежандром у XIX ст. запропоновано в якості міри відхилення точок Аі від апроксимуючої теоретичної лінії брати мінімальну суму S квадратів відхилення їх ординат уі від теоретичних значень у:

S = Zи2 = ї> Уі У = тіп . (2.20)

і=1 і=1

З цього і назва методу метод найменших квадратів

(або скорочено 1МНК). Необхідною умовою мінімуму функції у, у праву частину якої входять невідомі параметри а,-, є обертання в ноль її часних похідних за цими параметрами:

            = 0, і = і...п. (2.21)

На підставі умов (2.21) можна получити систему нормальних рівнянь, лінійних відносно до невідомих параметрів аі. З їх знаходженням стає відома теоретична залежність прийнятого видуу=/(х), яка апроксимує емпіричні дані.

Застосування 1МНК далі буде проілюстровано при розгляді економетричних моделей.