Материал: Економетрія - Навчальний посібник ( Лугінін О.Є.)


2.4. елементи теорії ймовірностей

 

2.4.1. Випадкові події та величини

 

Теорією ймовірностей називають один із розділів вищої математики, що вивчає закономірності масових подій, які носять випадковий характер. Такі закономірності називаються ймовірними (стахостичними). Розглядають також детерміновані закономірності, які жорстко визначені і мають певний результат.

Події явищ і процесів поділяються на вірогідні, неможливі та випадкові. Вірогідна подія в результаті експерименту (досвіду, спроби) обов'язково настає. Неможлива подія в експерименті не настає наколи. Випадкова подія за умовами експерименту може з'явитися або не з'явитися.

Ймовірністю випадковоїподії А називається числове значення Р(А), що знаходиться між двома межами нулем (неможлива подія) та одиницею (вірогідна подія):

0 < Р(А) < 1. (2.22)

Випадковою величиною X називається така величина, яка в результаті експерименту може прийняти те або інше (але тільки одне) значення, яке до експерименту невідоме. Розрізняють два типа випадкових величин - дискретні та неперервні. Якщо випадкова величина розглядається як ціле число, то вона називається дискретною. У противному разі (розглядається як дійсне число) її називають неперервною. Значення випадкових величин позначають як xj, X2 ,...,xn .

Функцією розподілу, або інтегральним законом розподілу, випадкової величини X називається ймовірність виконання нерівності X<x, як функція аргументу x:

F(x) = P(X < x) . (2.23)

Функція розподілу використовується для дискретних і неперервних величин і знаходиться в межах: 0 < F(x) < J.

З поняттям функції розподілу тісно пов'язана щільність розподілу f(x) випадкової величини, за допомогою якої зручно записувати закон розподілу ймовірностей. Щільність розподілу неперервної випадкової величини X дорівнює першої похідної від функції розподілу F(x):

f(x) = F'(x) . (2.24)

Щільність розподілу випадкової величини f(x) вказує на те, як часто з'являється випадкова величина X навколо точки x при проведенні експериментів.

Функція розподілу неперервної випадкової величини F(x) дорівнює інтегралу від щільності розподілу в інтервалі від -о до x:

x

F(x) =  f(x)dx . (2.25)

Геометрично на графіку функція розподілу неперервної величини Б(х) відповідає площі між кривою щільності розподілу /(х) та віссю абсцис для значення випадкової величини х (рис. 2.5):

 

 

 

 

 

Р(х)

 

т

 

 

 

 

і ж

 

 

 

х

х

 

 

Рисунок 2.5 Графік щільності ймовірностей

 

Ймовірність попадання неперервної випадкової величини в інтервалі [а,Р] обчислюється за формулою:

а

Р(а < х <Р) = ^/(х )<іх. (2.26) Р

2.4.2. Числові характеристики випадкових величин та нормальний закон розподілу ймовірностей

На практиці використовують такі числові характеристики дискретних і неперервних випадкових величин:

а)         математичне сподівання;

б)         дисперсія;

в)         середнє квадратичне відхилення.

Математичне сподівання М(Х) являє собою середнє значення випадкової величини X.

Для дискретних випадкових величин математичне сподівання розраховується як сума добутків усіх можливих значень випадкової величини хі на імовірності цих значень р,-:

М(Х) = £хіРі . (2.27) і=1

Математичне сподівання для неперервних випадкових величин, які належать до інтервалу [а, Ь], визначається інтегралом виду

 

(2.28)

 

Якщо можливі значення неперервної випадкової величини Х належать всій осі 0х, то математичне сподівання дорівнює

 

М(Х) = ^х/(х)ск

(2.29)

 

 

Математичне сподівання випадкової величини позначається також як тх.

Дисперсія та середнє квадратичне відхилення використовуються для вимірювання розсіювання випадкової величини Х відносно її середньої величини, тобто математичного сподівання М(Х).

Дисперсію випадкової величини називається математичне сподівання квадрату відхилення цієї величини Х від математичного сподівання тх:

а2 = Б(Х) = М[(Х тх)2. (2.30)

Для дискретної випадкової величини Х дисперсія визначається сумою

 

а2 = В(Х) = £(хі тх )2Рі , і=1

а для непевної випадкової величини інтегралом

(2.31)

 

 

 

а2 = В(Х) = |(х тх )2 /(х )йх

(2.32)

 

а

 

або

оо

а2 = В(Х) = |(х — тх )2 /(х )сЬс. (2.33)

 

Дисперсія, як міра коливання випадкової величини відносно математичного сподівання, часто використовується в дослідженнях з випадковими величинами. Але дисперсія вимірюється у квадратах одиниць вимірювання випадкової величини і позбавлена наочності. Тому доцільно мати числовий параметр такої самої вимірності, як і випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне відхилення.

Середнє квадратичне відхилення дискретної або неперервної випадкової величини X називається корінь квадратний із дисперсії:

 

0 = 4В(Х) . (2.34)

 

Законом розподілу випадкової величини називають співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливим значенням випадкової величини Х з такими параметрами:

імовірність рі для дискретних величин;

щільність розподілу/(х) для неперервних величин. Зупинимось лише на нормальному законі розподілу

(законі Гаусса) неперервних випадкових величин, який займає центральне місце в теорії ймовірностей.

Випадкова величина X має нормальний закон розподілу ймовірностей, якщо

 

— (х—тх)2

/(х) = ^г=е     20    . (2.35) 0УІ 2п

В цієї залежності математичне сподівання тх та середнє квадратичне відхилення а виступають параметрами закону розподілу і він називається загальним.

Нормальний закон розподілу широко розповсюджений на практиці і використовується у тих випадках, коли випадкова величина X є результатом прояву великої кількості факторів,

Основна особливість, що виділяє нормальний закон розподілу ймовірностей від інших законів (експотенціальне розподілення, рівномірне розподілення, розподілення Пуассона, біноміальне розподілення та ін.) полягає в тому, що він являє собою граничний закон, до якого наближаються інші закони,

Графік щільності нормального розподілу /(х) випадкової величини, який називається нормальною кривою (кривою Гауса), показана на рис, 2,6,

■>

х

 

Рисунок 2.6 -Нормальний закон розподілу випадкової величини

 

З рисунку видно, що графік /(х) розміщений симетрично відносно умовно проведеного перпендикуляру в точці х = тх , а

 

Р(а< X <Р),

(2,36)

 

 

 

2 х _,2 де Ф(х) = -== І е     Ж; ,

х _ тх

 

 

Теорія ймовірностей вивчає закономірності, які властиві масовим випадковим явищам, Центральне місце тут займає закон великих чисел, згідно з яким при достатньо великий кількості експериментів характеристики випадкових подій вивчаємої величини постають майже невипадковими, Закон великих чисел базується на ряді теорем (Чебишева, Бернулі, Пуассона, Ляпунова),