Материал: Економетрія - Навчальний посібник ( Лугінін О.Є.)


6.2. передумови застосування методу найменших квадратів

 

Процедура однокрокового (звичайного) методу найменших квадратів (1МНК) розглянута у п. 2.3. Нагадаємо, що сутність методу полягає у знаходженні таких значень матриці параметрів А моделі загального вигляду (6.1), при яких сума квадратів залишків и була б мінімальною (2.20). Тоді для фактичних значень залежних змінних У моделі (6.1) теоретичні

(розрахункові) значення змінних У будуть представлені у вигляді

У = АХ, (6.2)

де А оцінка параметрів теоретичної моделі.

Сукупність виразів (6.1) і (6.2) для фактичних і теоретичних     значень     пояснюваних     змінних визначає

економетричну модель загального виду: У = АХ + и; У = АО.

Мінімізуя    суму    квадратів    залишків    и шляхом

знаходження першої похідної за складовими А (2.20), можна знайти оцінки А для теоретичної моделі, які в матричному запису будуть мати вигляд

А = (XX)"1 ХУ, (6.3)

де X' матриця, транспонована до матриці X.

Вираз (6.3) є розв'язком так званої системи нормальних рівнянь

(XX) А = ХУ. (6.4) Оцінювати   параметри   економетричної   моделі за допомогою 1МНК можна за умов:

1.         Математичне сподівання залишків, тобто середня величина випадкових значень, дорівнює нулю

М(и)=0. (6.5) Якщо ця передумова не виконується, то йдеться про помилки специфікації.

Специфікацію моделі називають її аналітичну форму, яка складається з певного виду вибраної функції чи системи функцій для змінних. До помилок специфікації приводять:

відсутність у моделі основної пояснювальної (незалежної) змінної, що призводять до зміщення оцінок параметрів і може привести до хибних висновків щодо значень параметрів;

введення в модель пояснювальної змінної, яка не є істотною для вимірюваного зв'язку, що може привести до неправильно встановленого кількісного зв'язку між змінними;

використання невідповідних аналітичних форм вибраних функцій для моделі, що як і при першій помилці специфікації може привести до зміщення оцінок параметрів моделі.

2.         Значення щ в матриці залишків и незалежні між собою і мають постійну дисперсію о2:

М(ии') = а2Е, (6.6)

де Е одинична матриця; и' матриця, транспонована до матриці и.

Нагадаємо, що дисперсія відображає "розсіювання" випадкових значень иі навколо їх математичного сподівання.

Наявність сталої (постійної) дисперсії залишків називається гомоскедастичністю. Ця властивість може виконуватись лише тоді, коли залишки и є помилками вимірювання.

Незалежні змінні моделі не пов'язані із залишками:

M(X u ) = 0. (6.7) При порушенні цієї умови для оцінювання параметрів моделі використовуються не 1МНК, а інші методи, які будуть розглянуті пізніше.

Незалежні змінні моделі утворюють незалежну систему векторів, тобто ці змінні незалежні між собою:

Х'Х Ф 0. (6.8)

Якщо незалежні змінні пов'язані між собою, то це явище називають мультиколінеарністю і воно є небажаним, так як робить оцінку параметрів за допомогою 1МНК ненадійною чутливою до вибраної специфікації моделі. Далі будуть розглянуті методи виявлення цього явища і способи його врахування.