Материал: Економетрія - Навчальний посібник ( Лугінін О.Є.)


6.4. види рівнянь регресії та визначення їх параметрів

 

В регресійному аналізі розрізняють рівняння парної (простої) та множинної(багатофакторної) регресії. Коли зв'язок із залежною змінною у здійснюється з одним видом незалежних змінних х, то рівняння регресії є найпростішим і має назву рівняння парної регресії (проста модель). Якщо залежна змінна у пов'язана з декількома видами незалежних змінних Ху(]=1...т), то така залежність має назву рівняння множинної регресії. Використовуються такі види рівнянь регресії:

Парна регресія:          Множинна регресія:

а) лінійна залежність: у = а0 + а1х;   у = а0 + а1х1 + а2х2 +... + атхт; (6.12)

б)         параболічна залежність:

у = а0 + а1х2; у = а0 + а1х21 + а2х2 +... + атх2т; (6.13)

в)         гіперболічна залежність:

1          а,    а2 а

у = а0 + а^;     у = а0 + — + — +... + —; (6.14)

г) степенева залежність: у =      1;          у =       х22 ...х^ . (6.15)

Рівняння (6.13)-(6.15) є нелінійними, але відповідним перетворенням їх можна звести до лінійної форми.

Графічні залежності між змінними для рівнянь парної регресії (6.12)-(6.15) мають такий вид:

 

У

 

а б

У

 

 

 

 

 

 

 

 

Подпись: а прямий зв'язок; б обернений зв'язок. Рисунок 6.1 Лінійна залежність

 

Подпись: а парабола;
б обернена парабола .
Рисунок 6.2 Параболічна
залежність

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подпись: б

 

Подпись: у

 

 

 

 

 

 

 

Подпись: а

 

 

 

 

 

 

 

х

х

 

а гіпербола;

б обернена гіпербола .

Рисунок 6.3 Гіперболічна залежність

Рисунок 6.4 Степенева залежність

Використання 1МНК для оцінки теоретичних параметрів моделі ау (і = 0,1,2) розглянутих видів рівнянь парноїрегресії

приводить до таких систем нормальних рівнянь: •   лінійна залежність (6.12):

 

пао + аі X х = X У,

і=1       і=1

п          п п

ао Xх+аі Xх 2=Хху;

і =1      і =1і =1

параболічна залежність (6.13): [пао + а1 X х1 =Х У'

[ао X х1 + а1 X х12 = X х1У'

де х1=х2;

•   гіперболічна залежність (6.14):

 

(6.16)

 

(6.17)

 

 

 

і=1       і=1

п          п п

(6.18)

 

 

 

 

степенева залежність (6.15):

пп

 

і=1 і=1

п          п п

 

(6.19)

 

 

 

і=1

і=1

і=1

 

де Ьо = 1§ао; х = 1§х; У1 = ^у.

Рішення наведених систем нормальних рівнянь парної регресії дозволить знайти оцінки параметрів моделі.

У разі множинної регресії оцінка параметрів моделей видів (6.12)-(6.15) здійснюється за допомогою виразу (6.3), записаному у матричному вигляді.

Приклад 6.1 [23]. Побудова та аналіз економетричної моделі. Оцінити параметри економетричної моделі роздрібного товарообігу, що характеризує залежність між роздрібним товарообігом та доходами населення.

Вхідні дані в умовних грошових одиницях (г.о) наведені у таблиці:

З початку за фактичними даними таблиці встановлюємо належність змінних до груп незалежних та залежних: очевидно, що за незалежні (вхідні) змінні х приймаються доходи населення, а за незалежну (результативну) у роздрібний товарообіг.

Для специфікації економетричної моделі необхідно вибрати одну з аналітичних залежностей (6.12)-(6.15). Такий вибір здійснюється або на підставі досвіду побудови аналогічних моделей, або (при його відсутності) - шляхом графічного зображення залежності фактичних змінних та підбору за ним однієї з аналітичних формул (6.12)-(6.15).

Скористуємось останнім шляхом, показавши точками на рисунку фактичні дані таблиці:

Як видно з рисунку, розміщення точок краще всього відповідає лінійній залежності для парної регресії (6.9). Тоді економетрична модель специфікується у лінійній формі: 6 = а0 + а1д + ё;

6 = а0 + а1д,

де 6 розрахункові значення роздрібного товарообігу; а0, а1 оцінки параметрів моделі; и випадкова складова (залишки).

 

•    -   фактичні данні;             теоретична залежність.

Рисунок 6.5 Фактичні дані та теоретична залежність економетричної моделі

Перетворення  вхідних  даних  для  побудови моделі наведені у таблиці:

Оцінемо параметри теоретичної моделі о = а0 + а1о за допомогою 1МНК. Для цього запишемо систему нормальних рівнянь (6.13) парної регресії для даної задачі:

10 10

пао+°і X х "X у;

п          10 10

ао Xх+а1 Xх 2 "Xху.

І "1      І "1      І "1

10 10

Підставивши   в   цю   систему   значення   X х, X У>

І"1 І"1

10 10

X х2, X ху, обчислені згідно з вхідними даними таблиці,

І"1 І"1

дістанемо систему рівнянь:

Ґ10а0 + 245а1 " 220; [245а0 + 6165а1 " 5523.

Розв'язання системи дає такі значення оцінок параметрів: а0 = 1,91; а1 =0,82.

Отже економетрична модель роздрібного товарообігу запишеться так:

о " 1,91 + 0,82 а

Вона кількісно описує зв'язок роздрібного товарообігу та доходів населення. На рис. 6.5 пунктиром показана ця залежність.

Зробимо економічні висновки.

Параметр а1=0,82 характеризує гранічний розмір витрат на купівлю товарів у роздрібній торгівлі. Тобто, коли дохід збільшиться на одиницю, то обсяг роздрібного товару зросте на

0,82 одиниці: 01 " ^°/^д ■

При цьому можна визначити коефіцієнт еластичності (відносний ефект впливу фактора х на результат у) роздрібного товарообігу залежно від доходів населення:

20

24,5

 

0,82:0,898 " 0,91.

 

Коефіцієнт еластичності показує, на скільки процентів у середньому зміниться результат у зі зміною фактора х на 1\%.

На підставі коефіцієнту еластичності можна дістати висновку, що зі збільшенням доходів населення на 1\% роздрібний товарообіг зростає на 0,91\%.

 

Запитання для самоконтролю

6.4.1.   Яка модель відноситься до категорії економетричних? Що таке загальна модель? лінійна модель?

Як записується економетрична модель у загальному вигляді для фактичних даних та який її склад?

Які змінні у моделі є незалежними? Чому вони називаються пояснювальними?

6.4.4.   Які змінні у моделі є залежними? Чому вони називаються пояснюваними?

6.4.5.   З яких причин у модель фактичних даних вводиться випадкова складна (залишки)?

Яка задача вирішується в регресійному аналізі?

Яка задача вирішується в кореляційному аналізі?

Які вимоги накладаються на застосування кореляційно-регресійного аналізу?

Які етапи побудови економетричної моделі?

 

Який вигляд має теоретична економетрична модель?

Що називається специфікацією економетричної моделі?

Що приводить до помилок специфікації?

За яких умов можливо використання 1МНК?

При виконанні якої умови застосування 1МНК має місце гомоскедастичність?

При порушенні якої умови застосування 1МНК має місце мультиколінеарність? До яких наслідків вона приводить?

Між якими змінними встановлює зв'язок рівняння парної регресії?

6.4.17. Між якими змінними встановлює зв'язок рівняння множинної регресії?

Які класи функцій в економетричній практиці описують взаємозв'язок між змінними у рівняннях регресії?

Записати рівняння парної та множинної регресії при лінійній залежності між змінними, пояснити їх склад.

Записати рівняння парної та множинної регресії при параболічній залежності між змінними, пояснити їх склад.

Записати рівняння парної та множинної регресії при гіперболічній залежності між змінними, пояснити їх склад.

Записати рівняння парної та множинної регресії при степеної залежності між змінними, пояснити їх склад.

6.4.23. Показати на графіку розповсюджені в економіці залежності між змінними.

6.4.24. Пояснити получення системи нормальних рівнянь при застосуванні 1МНК.

 

Вправи

 

Побудувати економетричну модель за даними, наведеними в таблицях 6.3-6.12. Оцінити параметри моделі. Зробити економічні висновки.

Таблиця 6.3   

 

Номер

підприємства

1

2

3

4

5

6

Випуск

продукції,

тис.шт..

2,0

3,5

4,0

4,5

5,5

6,0

Собівартість 1 виробу, г.о.

19

17

18

16

18

22