Материал: Економетрія - Навчальний посібник ( Лугінін О.Є.)


7.2. визначення мультиколінеарності та способи її усунення

 

Мультиколінеарність може бути досліджена за допомогою алгоритму Фаррара-Глобера. Основу алгоритму складають три види статистичних критеріїв, за якими перевіряється мультиколінеарність:

1.  Визначення критерія Шрсона \%2("хі"-квадрат) усього масиву незалежних змінних X:

 

х2

• -1 -1 (2т + 5)

ЩА, (7.1)

 

де  г   визначник кореляційної матриці коефіцієнтів парної

регресії ггХ]Гхк).

Значення цього критерія порівнюється з данними

статистичних таблиць \%2 при -1т(т -1) ступенях вільності і

рівні значимості а. Якщо \%2 > Хтавл, то в масиві пояснювальних змінних існує мультиколінеарність.

2.   Обчислення Е-критерія Фішера:

^ =(С„ -1« (7.2)

т1 -1

де С]± діагональні елементи матриці С=г-1.

Фактичні значення критеріїв порівнюються з табличними при (п-т1) і (т1-1) ступенях вільності і рівні значимості а. Якщо Ек>Етабл, то відповідна к-та пояснювальна змінна мультиколінеарна з іншими.

 

 

Подпись: 3.   Обчислення і-критеріїв Ст'юдента:

 

побудувати, за допомогою 1 МНК, не мультиколінеарні. Вхідні дані наведені у таблиці:

Розв'язання

Крок 1. Стандартизація змінних

Стандартизація    незалежних    змінних    хі (і=1,2,3) здійснюється за формулою:

х*ік = 1 '

де п кількість спостережень, п=10; хк середне арифметичне

значення змінної хк; „х2к дисперсія змінної хк.

Розрахунки для стандартізації змінної х1, х2, х3 згідно з наведеною формулою здійснюються в таблиці:

(хі1х1)2

(хі2 х2)2

(хі3 х)2

хі1

хі2

хі3

10,89

0,000016

11,56

0,2487

0,0091

-0,2518

0,09

0,0247336

2,56

0,0226

-0,3531

0,1185

1,89

0,012995

0,16

0,0980

0,2580

-0,0296

5,29

0,000576

19,36

0,1733

0,0543

-0,3258

13,89

0,005776

92,16

-0,2788

-0,1720

0,7108

28,09

0,005776

1,96

0,3994

-0,1720

-0,1037

0,09

0,004096

12,96

0,0226

0,1448

0,2666

22,09

0,024336

0,35

-0,3541

-0,3531

0,0444

75,89

0,005778

0,35

-0,6556

-0,1720

0,0444

14,49

0,111555

40,95

0,3240

0,7559

-0,4739

176,1

0,09524

182,4

-

-

-

 

Дисперсії кожної незалежної змінної мають значення:

 

10

Х(хі1х1) 1761

а2х ^ -1761 17,61;

1          п 10

10

/ (хі2 х2) „22      019524 0,0195;

2          п 10

10

а2х -    1824 -18,24.

3          п 10

 

Матриця стандартизованих змінних подається у вигляді:

 

ґ 0,2487

0 0091

0,2518

 

0,0226

0,3531

0 1185

 

0,0980

0 2580

0,0296

 

0,1733

0 0543

0,3258

X* =

0,2788

0 , 1720

0 7108

 

0,3994

0,1720

0 , 1037

 

0,0226

0 1448

0 2666

 

0,3542

0,3531

0 0444

 

0,6556

0,1720

0 0444

 

у 0,3240

0 7559

0,4739

Крок 2. Знаходження кореляційноїматриці Кореляційна матриця знаходиться за формулою: г = X*' X*, де X *' матриця, транспонована до X*.

Матриця X *' симетрична і має розмір 3х3: г  1      0,494    0,551 >

0,494    1         0,5168

■0,551 0,5168 1

Елементами матриці є парні коефіцієнти кореляції, числові значення яких свідчать про тісноту зв'язку між незалежними змінними. Але чи можна стверджувати, що цей зв'язок є виявленням мультиколінеарності? Для цього існують статистичні критерії оцінки мультиколінеарності, які розглядаються нижче.

Крок  3.  Обчислення  детермінанту матриці г та критерія X2 В = |г| = 0,466;

 

х2 =-

п 1 --(2т + 5)

6

(6 + 5)

1п0,466 = 5,48.

 

При ступенях вільності 7т(т -1) =     3* 2 = 3 та рівні довіри (1-а)=0,95 Хтабл=7,91 (додаток В). Так як X<Хтабл, то

для всього масиву незалежних змінних X не спостерігається мультиколінеарність.

Крок 4. Знаходження матриці, оберненоїдо г:

(  1,57 0,45    0,63> с г(X*' X*)'1 -0,45     1,49    0,52 у 0,63     0,52    1,62 у Крок 5. Обчислення Е-критерія Фішера:

 

т1 -1

де скк диагональні елементи матриці с;т1 число параметрів моделі, .т1 =4.

Е1 (1,57 -1)3 = 1,14; Е2 (1,49 -1)3 = 0,98;

 

Е3 (1,62 -1)3 = 1,24.

Для рівня значимості о=0,05 і ступінів вільності чисельника (п-т1)=6 та знаменника (т1-1)=3 за статистичними таблицями знаходимо критичне (табличне) значення Етабл=8,94 (див. додаток А). Оскільки Ек<Етабл (к=1,2,3), то кожна з незалежних змінних не мільтиколінеарна з двома іншими.

Крок 6. Обчислення частинних коефіцієнтів кореляції Частинні коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв'язку між двома незалежними змінними за умови, що третя не впливає на цей зв'язок. Вони обчислюються за елементами матриці с:

Г1322 - ,          ^ - ,     '        -0,397;

 

Г12.3 Частинні коефіцієнти кореляції значно менші за парні. Це ще раз показує, що частинні і парні коефіцієнти кореляції не свідчать про наявність або відсутність мультиколінеарності.

Г12 , 3л1п т1

0,29346

а/1 Г122,3

41 0,0858

г13 , Ап т1

0,3946

уі1 Г123 , 2

41 0,1521

Г23, 1т/п т1 _

0,3446

■у]1 Г223 , 1

41 0,1156

Крок 7. Визначення ї-критеріїв Ст'юдента:

ІІ2 Г12 ,\^ -   0,29346   0,750;

 

-13,2Ч-     -1   -         10060;

 

ї23 "У       1   0,896.

 

Табличне значення ї-критерію при ступенях вільності (п-т1)=6 і рівні значимості о=0,05 дорівнює їтабл=1,943 (див. додатов Б). Усі числові значення ї-критеріїв, знайдених для кожної пари змінних, менше за табличне значення. Звідси робимо висновок, що всі пари незалежних змінних не є мультиколінеарними.