Материал: Економетрія - Навчальний посібник ( Лугінін О.Є.)


8.3. методи оцінювання параметрів лаговоїмоделі

 

Методи оцінки параметрів лагової моделі залежать від прийнятої гіпотези відносно залишків.

Гіпотеза 1. Залишки ut є випадковими величинами і розподіляються за нормальним законом. В цьому разі для оцінки параметрів моделі можна застосувати 1МНК.

Гіпотеза 2. Залишки описуються авторегресивною схемою першого порядку виду

Vt = ut -Ли^, 0 <Л< 1. (8.9)

Для оцінки параметрів моделі у матриці A використовується метод Ейткена, згідно з яким

А = (X V _1 X )-1 X V_1У: де матриця V має вигляд:

(8.10)

 

 

 

 

 

V = аІ

 

0 0

0

1+ А2 -А

0

-А    1+ А2 -А

0

0

-А   1+ А2 -А

 

00

0

. 0 . 0

 

1+ А2

 

(8.11)

 

Гіпотеза 3. Залишки описуються авторегресивною схемою першого порядку виду

V, =рУ,-1 +Є„  р> 1. (8.12)

Для оцінки параметрів моделі можна використовувати:

1МНК;

метод Ейткена;

ітеративний метод;

двокрокову процедуру;

метод інструментальних змінних;

алгоритм Уолліса.

Розглянемо принципову суть цих підходів оцінювання параметрів моделі.

Метод найменших квадратів (1МНК) застосовується тоді, коли вхідні дані перетворені на основі параметрів А і р. Ці параметри вибираються довільно в інтервалі [0, 1]. Для кожної пари А і р послідовно обчислюються залишки. Параметри А і р вибираються доти, поки не буде мінімізована сума відхилень залишків.

Метод Ейткена оцінює параметри моделі на підставі матриці параметрів

А = (Х'Б _1Х)-1 Х'Б ~1У, (8.13)

де матриця 5 дорівнює

 

Крок 3. Підставляються значення а0 = а0

(1)

а

(1)

а2 в

 

модель (8.17) і визначається параметр р, тобто застосовується 1МНК до рівняння V = РVt-1 + є{ , що і дозволяє знайти р=р2.

Крок 4. Заданиям р=р2 на основі 1МНК моделі (8.17)

_          .       (2) (2)

знаходяться оцінки параметрів у другому наближенні а0 , а1 ,

(2)

Процес продовжується до тих пір, коли не буде досягнуто збіжності оцінок параметрів моделі з заданою точністю.

Алгоритм двокрокової процедури базується на такому. Крок 1. Параметри (8.17) оцінюються 1МНК для

р = —(«2р>), коли береться відношення коефіцієнта при змінній

 

х{_] до коефіцієнта при змінній хг.

Крок 2. На основі р = р перетворюється вхідна інформація [у1 — ру1—1) і (о, — рб{—1 ),для якої будується модель

(15.17) за допомогою 1МНК.

Метод інструментальних змінних, докладно описаний у підручнику [28], використовується тоді, коли залишки не автокорельовані, але існує залежність пояснювальних змінних із залишками. Якщо, наприклад, модель має вигляд у{ = а0 + а1х1 + а2х{—1 + а3у{—1 + пг, то можна замість змінної у1-і! яка за припущенням не корельована із пояснювальними змінними, використовувати як інструментальну змінну уі—1, що

розраховується за допомогою 1МНК як функція уг—1 = /(х().

Оцінка параметрів моделі з лагом на основі алгоритму Уолліса складається з трьох етапів.

На першому етапі оцінка параметрів виконується на основі метода інструментальних змінних, де х(-1 використовується як інструментальна змінна для у(-1.

На другому етапі обчислюють коефіцієнт автокореляції г з урахуванням поправки на зміщення.

На третьому етапі за допомогою матриці 5 = /(г)

обчислюють оцінку вектора А узагальненим методом найменших квадратів (методом Ейткена).

Приклад 8.1 [28]. Необхідно побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність між витратами на харчування і доходом сім'ї згідно з даними таблиці:

Ідентифікуємо змінні та визначимо специфікацію моделі:

У і дохід в період і, залежна змінна;

X витрати на харчування в період і, незалежна змінна;

Уі-1 дохід в період  який виступає в якості залежної

змінної.

Економетрична моделі має вигляд:

Уі = а0 + аі Хі + а2Уі_і + щ;

Уі = ао + аі Хі + а2Уі _і.

Таким чином, витрати на харчування в період і залежить від доходу в період і та витрат на харчування в період

Для оцінювання параметрів моделі застосовується алгоритм Уолліса, який базується на методі інструментальних змінних і методі Ейткена.

Згідно   з   методом   інструментальних   змінних Хі-1 використовується як інструментальна змінна для Уі-]. Тоді в

операторі   оцінювання    А = (2'Х)~Х Х'У    відповідні матриці

запишуться так:

(111111 1 11 > 5 6 6 8 11 14 16 14 14

4 5 6 6   8 11 14 16 14

 

 

X

 

25 >

29 6 34 8 33

11 41

1 14 50

1 16 55 1 14 54 1 14 56

 

 

 

Подпись: (XX)Подпись: 47І11

 

Подпись: А

Подпись: 4255Подпись: 0,935
Економетрична модель прийме вид:
(126 4338^

1020 3943 XX

—1

0,2618 — 0,28 82 0,0677 0,0748

г 8,280^

7,363

 

г-1 

У, = 8,280 + 7,363X, — 0,935Уг

 

Визначимо    розрахункові    значення     У{ залишки и{ = У{ — У{ та їх комбінації:

і=1

 

 

І и2

612,12 852,54 ■■ 0718.

 

 

Для рівня значимості а=0,05, кількості спостережень п=9 та кількості пояснювальних змінних т=2 критичні значення Дарбіна-Уотсона дорівнюють (див. додаток Г): ВЖ1=0,630; В1¥2=1,700. Звідси В1¥1<В1¥<В1¥2, а це означає, що при даній кількості сукупності спостережень важко зробити висновок про наявність чи відсутність автокореляції. Але близість значення В]¥ до нижньої критичної межі критерію В]¥1 може свідчить про   наявність   автокореляції.   Тому   визначимо коефіцієнт

( т + ґ

автокореляції без урахування зміщення

п

 

п

*

І и,и, _,

п -1

7^ 9^517,07

г ~ р =

8 852,54

Іи2

і=1

 

Складемо матрицю Б1:

 

■■ 0,680.

 

 

Б -1 =

 

О О О

-1 265 2 72 -1 265 О

О О О О

О О О О О

О О О О О О

О О О О О

1 265

О О О О

^   1,86 -1,265 ООО -1,265  2,72 -1,265    О О О    -1,265  2,72 -1,265 О

2 72 -1 265

1 265 2 72 -1 265 О О   -1 265 2 72 -1 265 О О     О   -1 265 2 72 -1 265 О     О     О    О     1 86

 

Застосовуємо    оператор    Ейткена   для оцінювання параметрів моделі

А = (х Б _1 X )-1 X Б ~1У;

 

X 'Б

{171О 2,4О5 -1,39О 0,286 2,О9О 3,925 8,1ОО О,'іЗО 8,33О Л 9,816 4,245 14,5ОО 5,118 6,526 14,86О 14,О4О 6,465 35,85О

 

Подпись: (X 'Б -1X) -Подпись: { 342,66 1274,59Л 1274,59 5О21,82

X 'Б ~1У

 

 

 

 

Подпись: 5368,85

 

Подпись: (І'З77,46Л

 

 

 

X 'Б _1Х

О ОО522   0,1325 0,1325 О,ОО37 (1,1216 ^

О 7944

0,8733

 

 

Економетрична модель:

 

г-1 

У, = 1,1216 + 0,7944X, + 0,8733^

 

3.   Проведемо аналіз економетричної моделі.

Розрахункові значення У{ за моделлю та відхилення їх від фактичних даних наведено в таблиці:

Рік

У,

у,

и,

2 и,

у у

у у,)2

1

29

26,920

2,080

4,341

-17

289

2

34

31,203

2,797

7,825

-12

144

3

33

35,568

-2,568

6,593

-13

169

4

41

36,283

4,717

22,250

-5

25

5

50

45,649

4,381

18,935

4

16

6

55

55,888

-0,888

0,788

9

81

7

54

61,841

-7,841

61,475

8

64

8

56

58,960

-2,960

8,750

10

100

9

62

61,126

0,874

0,768

16

256

І

-

-

-

131,734

-

-

У серед­ньому

46

-

-

-

-

1144

 

Залишкова дисперсія:

9

Іи2

и = ^-=ти=2196

п т    9 3

 

Загальна дисперсія:

2

І (У, У,)

и2 =     =1144 = 1430.

у          п -1        9 -1

 

Стандартні помилки оцінок параметрів моделі: $аі =4иІ*сп =л/21,96*0,0522 = 1,07;

5а =-\[й[*с2~2 = у/21,96 * 0,00366 = 0,078.

 

Коефіцієнти детермінації та кореляції:

 

Я2 = 1 -4 -1 — = 0М7; ст2 143

Я -V0,847 0,920. Г-критерій Фішера:

Е-ї-4143 21,96 5,614;

4 21,96

Гтавл. Г(0,95) 4,46 (див. додаток А);     Г > Ртабл.

Наведені характеристики кореляційного аналізу моделі свідчать про тісноту і значимість зв'язку між витратами на харчування та доходом. Коефіцієнт детермінації показує, що на 84,7\% витрати на харчування визначаються пояснювальними змінними моделі. Коефіцієнт кореляції показує, що зв'язок між змінними моделі тісний.

Оцінки параметрів моделі мають порівняно високі стандартні помилки, що свідчать про їх неефективність. Це пов'язано з варіацією фактичних спостережень змінної У( в часі та кількістю спостережень.

При оцінці параметрів моделі були порушені дві необхідні умови для застосування 1МНК:

1)         М(ии') *ст2Е;

2)         М(Х и) Ф 0.

Використання методу інструментальних змінних спочатку враховує умову М(Х и) 0 , а застосування методу

Ейткена умову М(ии') ст^Е .

 

Запитання для самоконтролю

 

8.1.      Що таке лаг і що означає "лагова змінна"?

8.2.      Привести приклади економічних процесів, де необхідно враховувати лаг.

Дати означення моделі розподіленого лагу.

Привести залежність динамічної моделі розподіленого лагу та пояснити її структуру.

8.5.      Дати означення узагальненої моделі розподіленого лагу.

8.6.      З якою метою в динамічних моделях використовується взаємна кореляційна функція?

8.7.      Що потрібно робити, щоб звільнитись від мультиколінеарності між лаговими змінними?

8.8.      Яку схему розподіленого лагу запропонував Койк?

8.9.      Які гіпотези відносно залишків можуть мати місце при оцінці параметрів лагової моделі?

8.10.    Перерахувати методи оцінки параметрів моделі розподіленого лагу.

У якому випадку для оцінки параметрів лагової моделі може бути використаний 1МНК?

Пояснити принципову суть методу Ейткена для лагової моделі.

Пояснити принципову суть ітеративного методу.

На чому базується двокрокова процедура у динамічних моделях?

Коли використовується метод інструментальних змінних і яка його головна ідея?

Пояснити принципову суть алгоритму Уолліса.