Материал: Економетрія - Навчальний посібник ( Лугінін О.Є.)


9.1. системи рівнянь при побудові економетричних моделей

 

Економічні процеси і явища характеризуються складною системою зв'язків між чинниками. Ці зв'язки в ряді випадків слід описувати моделями, які побудовані на основі системи рівнянь. Оскільки найчастіше вони характеризують економічні процеси і явища, які відбуваються одночасно, то всі ці рівняння мають спільний зв'язок і називаються системою одночасних (симультативних) структурних рівнянь. Наведемо два приклади таких економетричних моделей, які використовуються для кількісного взаємозв'язку показників на макроі мікрорівні.

Так, залежність обсягу національного доходу від основних виробничих фондів, робочої сили і матеріальних ресурсів відповідає економетричній моделі на основі системи одночасних структурних рівнянь, яку наведемо у загальній формі:

X = /(Г,Ц,и{);

(9.1)

 

де X випуск продукції; Г основні виробничі фонди; Ь{ -робоча сила; Мг матеріальні ресурси; У( валовий внутрішній продукт; иь Ц - залишки; і період часу.

Зміннні X і М виражаються через параметри аі та Ьі, які підлягають знаходженню. Два перших рівняння (9.1) є регресійними, а третє - тотожність.

Взаємозв'язок темпів зниження собівартості продукції на підприємстві з темпами росту продуктивності праці та підвищенням заробітної плати можна визначити на основі економетричної моделі, яка також описується системою одночасних структурних рівнянь:

 

Подпись:

(9.2)

 

де Тс індекс зниження собівартості продукції; Т„ темпи росту продуктивності праці; Т3 темпи росту заробітної плати; и -залишки; к1 - рівень співвідношення між темпами зміни собівартості продукції і заробітної плати.

Змінні Т„ і Т3 виражаються через розшукувані параметри. Модель містить два рівняння, одне з них є регресійними, а друге тотожність.

Моделі (9.1) і (9.2) найпростіші. Вони можуть бути доповненими лаговими змінними.

Узагальнюючи розглянуті моделі та розповсюджуючи їх на інші приклади, можна сказати, що взаємозв'язки між змінними можуть бути стохастичними і описуватися регресійними рівняннями та детермінованими і відповідати тотожностям.

Системи одночасних структурних рівнянь найчастіше включають лінійнірівняння, а нелінійність зв'язків здебільшого апроксимується лінійними співвідношеннями. Динаміка зв'язків між показниками враховується за допомогою часових лагів або лагових змінних.

Система одночасних рівнянь у матричній формі може бути записана у вигляді:

У АУ + ВХ + и , (9.3) де У матриця (вектор) залежних змінних; X матриця незалежних змінних; и матриця залишків; А матриця коефіцієнтів  при  змінних  У розміром  к*к;  В - матриця коефіцієнтів при змінних X розміром к*т.

Економетрична модель (9.3) відображає структуру зв'язків між змінними і тому називається структурною формою економетричної моделі.

Якщо кожне рівняння системи (9.3) розв'язати відносно У, то одержимо зведену форму моделі, яка має вигляд:

У РХ + У, (9.4) де V лінійна комбінація залишків и; Р - матриця оцінок параметрів, якої за допомогою одиничної матриці Е можна надати вид

Р (Е А)~1В . (9.5)

До оцінок параметрів моделей (9.3) і (9.4) може бути застосований 1МНК, який приводить до зміщення оцінок параметрів.