Материал: Економетрія - Навчальний посібник ( Лугінін О.Є.)


9.3. методи оцінки параметрів моделі на основі системи

рівнянь

 

Існують альтернативні методи оцінки параметрів моделей, основаних на системах одночасних структурних рівнянь, які порівняно з 1МНК дозволяють уникнути зміщення. До таких методів відносяться: непрямий метод найменших квадратів; двокроковий метод найменших квадратів; трикроковий метод найменших квадратів. Розглянемо суть даних методів.

Непрямий метод найменших квадратів (НМНК) використовується у випадку, коли кожне рівняння моделі є точно ідентифікованим. Алгоритм методу складається з чотирьох кроків.

Крок 1. Перевіряється умова ідентифікованості (9.6) для кожного рівняння. При виконанні умови виконується перехід до наступного кроку.

Крок 2. Здійснюється перехід від структурної форми моделі (9.3) до зведеної (9.4).

Крок 3. Дається оцінка параметрів кожного рівняння зведеної форми моделі 1МНК.

Крок 4.  Розраховуються оцінки параметрів рівнянь

структурної форми на підставі співвідношення Р А _1В.

Двокроковий метод найменших квадратів (2МНК) застосовується тоді, коли рівняння структурної форми моделі (9.3) надідентифіковані і НМНК застосовувати не можна, а користуватись 1МНК недоцільно. 2МНК призначений для оцінки параметрів окремих рівнянь системи моделі.

Ідея методу полягає в тому, щоб очистити поточні ендогенні змінні від стохастичної складової, бо вони пов'язані із залишками.

Розглянемо 2МНК для загальної економетричної моделі. Нехай окреме рівняння має вигляд:

У У1а + Х1Ь + и ,

де У вектор ендогенної змінної розміром (п*1); У1 - матриця поточних екзогенних змінних, які входять в праву частину рівняння розміром (п*г); Х1 матриця екзогенних змінних розміром (п*к); а вектор структурних параметрів розміром (г*1), який стосується змінних матриці Уі; Ь - вектор (к*1), який застосовється до змінної Х1; и вектор залишків розміром (п*1). На першому кроці за допомогою 1МНК оцінюються

параметри   кожного   рівняння   регресії   У1= /(Х1). Заміна

елементів матриці У1 елементами матриці У1 в рівняннях моделі допоможе звільнитись від кореляції У1 та и. Розрахунок елементів матриці У1 виконується на основі співвідношення:

У = X (XX )-1 X \%, (9.8)

де X матриця, яка включає екзогенні змінні даного рівняння Х1 та значення екзогенних змінних, які не ввійшли в це рівняння .

На другому кроці знаходиться залежність У1 від У та Х1. Це приводить до процедури оцінювання системи рівнянь 2МНК у вигляді:

 

Подпись: 116 =

УX (XX )-1 XУ1 У1'X

-1

( XX )-1 X У

 

(9.9)

 

 

Визначаються    асимптотичні    стандартні помилки знайдених оцінок параметрів рівняння та довірчі інтервали:

 

1.

5 ;

 

(9.10)

 

а ї(а)5 < а < а + ї(а)Б;   Ь ї(а)Б < Ь < Ь + ї(а)5.

 

ґ 20

15

5 >

 

( 2

2

4

5 >

 

у у=

15

60

45

;   у X =

0

4

12

5

; xx

 

V5 -

45

70 )

 

V 0

-2

-12

10 )

 

Приклад 9.1 [28]. Результати спостережень надані у вигляді таких матриць даних :

(1 0 0 0^ 0 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5

Економетрична модель, яка може бути побудована на основі цих даних, складається з чотирьох рівнянь, перше з яких має вигляд:

У1і = а12У2і + а1іУІІ + Ь11X1t + и1і .

Модель має ще три екзогені змінні X2t, Xзt, X4t , які входять в інші рівняння.

Необхідно знайти оцінки параметрів наведеного рівняння за допомогою двокрокового методу найменших квадратів (2МНК) та оцінити їх стандартні помилки, якщо

дисперсія залишків дорівнює     = 0,6 .

 

Розв'язання

 

1.         Перевіримо рівняння моделі на ідентифікованість. Для цього розглядаємо нерівність:

 

к5 -1 < т т5,

де к5 кількість ендогенних змінних даного рівня, к==3; т -загальна кількість екзогенних змінних, т=4; т5 кількість екзогенних змінних розглядає мого рівняння моделі, т^=1: 3-1<4-1.

Таким чином, наведене рівняння моделі є надіндентифікованим і для оцінки параметрів потребує використання 2МНК.

2.         Запишемо оператор оцінювання параметрів 2МНК:

 

У X(X 'X)-1X У1

-1

*

У'1X(X X) -1X У

 

Х1У1 Х1

В цьому операторі: У=Уп вектор ендогенної змінної; У1=(У2^, У3) матриця поточних екзогенних змінних, які входять в праву частину рівняння; X=(X1t, X2t, X4t) матриця всіх екзогенних змінних моделі; X1=X1t - матриця екзогенних змінних даного рівняння.

3. Знайдемо добуток матриці згідно з оператором оцінювання 2МНК:

У3і7

 

Подпись: (0 4    12 5 Л
0 2 2 0
 

у;х(х X)

 

-1

0 0 0,25 0

к0 0    0      0,2; (1 0    0     0 Л

0 0,5 0 0 0 0 0,25 0 ґ0 2 3 2л у0 -1 3   27

 

ч0 0   0     0,27

 

 

 

У [Х(Х 'X)'1 X У1

 

(0   2   3 2Л

0 3 2

00 4-2 2 2

V-5 10 7

 

49        50

50        58

 

 

 

V 07

1 = (0,0); X!X1 = 1.

 

Звідси блочна матриця має вигляд:

,           Л   (  49 50 0Л

У 'X(X 'X) 1X У 1 уX1 Л

50 58 0 00

7

Обернена матриця:

 

 

-

ґ0,1695 0,1462 0Л 0,1462 0,1433 0

 

0        0 1

 

 

 

 

 

Подпись: 4.   Визначимо оцінки параметрів рівняння: С л   (0,1695 0,1462 0"

Подпись: 	{11 ^	
*	4	= (1,28 1,04 2).
V	V   2 V

V * V

0,1462 0,1433 0

001

ч

Перше рівняння економетричної моделі запишеться так: Ті, = 1,2872, + 1,047з, + 2¥и. 5.  Визначимо асимптотичні стандартні помилки знайдених оцінок:

Баіі =4 0,6* Сц =40,6*0,1695 = 0,32; $а21 Ч0,6* С22 = 70,6*0,1433 = 0,29;

^33 =40,6*С33 = 70,6*1 = 0,78.

Стандартні помилки щодо абсолютного значення оцінок становить відповідно:

032 * 100 = 25,0\%, 0222 * 100 = 27,9\%, 0228 * 100 = 39,0\%. 1,28     1,04 2

А це свідчить про те, що оцінки параметрів рівняння є

зміщеними і неефективними.

Трикроковий метод найменших квадратів (3МНК). Розглянуті вище два методи НМНК і 2МНК застосовуються для оцінки параметрів кожного окремого рівняння моделі. 3МНК призначений для одночасної оцінки параметрів всіх рівнянь моделі.

Ідея методу, запропонованого Зельдером і Гейлом, полягає у такому.

На першому кроці застосовується 2МНК при оцінюванні

 

параметрів з5

5

для кожного  структурного рівняння

 

5

системи

7 = УЛ + Х,Ь, + и„5 = 1...г , (9.11)

де У5 матриця значень ендогенної змінної 5-го рівняння розміром (п*г); Х5 матриця екзогенних змінних 5-го рівняння розміром (п*к); а5 Ь5 вектори параметрів; и5 вектори залишків; г кількість ендогенних змінних; к кількість екзогенних змінних.

На другому кроці знайдені оцінки Зх підставляються у модифіковані рівняння на основі (9.11), які об'єднують дві матриці \% і X у правій частині в матрицю Х8 = [У5Х5 ].

На третьому кроці обчислюються значення \%, з допомогою яких можна знайти залишки их= 1...г). На підставі значень их визначаються дисперсії залишків Б2ГІ для кожного

та

розраховується      оператор оцінювання

рівняння а

3 =

 

(^Г г;( хх г х 11... (^ г ґх{ хх г х "хг

 

3 =

х

 

(£г2і) X (хх у х11 ...(БІ г ґг (хх г х чг

 

X (Б2 )"12[х (х х )"1 х У}

І =1

 

(9.12)

 

х

 

£        Ґг X (XX )"1 X \%

_ ■/=1

Для практичного використовування 3МНК необхідно виконання вимог:

розпочинаючи оцінювати параметри моделі, необхідно вилучити всі тотожності;

виключити з системи кожне неідентифіковане рівняння;

за наявності серед рівнянь системи точно ідентифікованих та надідентифікованих рівнянь доцільно застосовувати 3МНК до кожної з груп рівнянь окремо;

якщо група надідентифікованих рівнянь має тільки одне рівняння, то 3МНК перетворюється на

2МНК;

 

5)

в разі блочно-діагональної матриці коваріацій залишків використання 3МНК може бути застосовано для кожної групи рівнянь, які відповідають одному блоку.