Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


1.6. обернена та протилежна теореми

Нехай А та В — деякі невизначені висловлення. Теореми А—В та В—А називаються оберненими.

З двох взаємно обернених теорем А — В, В — А кожна може бути вірною або невірною.

Будь-яка з цих двох теорем може бути названа прямою, тоді дру­га теорема буде оберненою до неї.

Якщо обидві теореми вірні, тоді цей факт записують так А <=^ В

або А <-> В, в цьому випадку кожне висловлення А, В є необхідною і достатньою умовою для іншого висловлення.

Відмітимо, що термін «умова» часто заміняють словом «озна­ка». Якщо у деякій теоремі А—В замінити і умову А і твердження В їх запереченнями, тоді одержимо нову теорему 1А—1 В, яку нази­вають протилежною до початкової.

 

■ Приклад.

Позначимо А = {багатокутник О є чотирикутником}, а

В = {сума внутрішніх кутів багатокутника О дорівнює 2 ж}.

Теорема А—В може бути сформульованою так:

якщо багатокутник О є чотирикутником, тоді сума його

внутрішніх кутів дорівнює 2 ж.

Протилежна теорема 1А — 1 В:

якщо багатокутник О не є чотирикутником, тоді сума його внутрішніх кутів не дорівнює 2 ж.

У цьому випадку обидві теореми вірні. Часто буває так, що у випадку вірної теореми А—В, протилежна теорема 1А—1В вірна або хибна.

 

Чудовим є те, що теорема 1А—1 В, протилежна оберненій, вірна тоді і тільки тоді, коли вірна пряма теорема А— В. На цьому факті базується метод доведення «від супротивного»: замість потрібної теореми А—В проводять доведення теореми 1А—1 В.