Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


2.1. дійсні числа та дії з ними

В шкільному курсі математики теорія дійсного числа викладаєть­ся досить не повно тому, що основні визначення та доведення твер­джень цієї теорії виходять за рамки шкільного курсу. Але дійсні числа постійно і широко використовуються і тому потрібне більш глибоке розуміння їх властивостей.

В цьому розділі зібрані (як правило, без доведень) властивості раціональних та дійсних чисел, які дають математично правильне уявлення про множину дійсних чисел.

Першими числами, з якими ми знайомимось у молодших класах школи, є натуральні числа: 1, 2, 3, 4, ... Множина N усіх натуральних чисел нескінченна. У цій множині N завжди можна виконати дві операції: додавання та множення. Сума та добуток будь-яких двох натуральних чисел знову будуть натуральними числами. Обернені дії, віднімання та ділення, виконуються у множині натуральних чи­сел не завжди.

Наприклад, 7-9 та 3:5 неможливо обчислити без виходу за межі множини N усіх натуральних чисел. Щоб зробити ці операції мож­ливими треба до множини N додати нові числа: 0, від'ємні цілі числа та дробові, тобто одержати множину Я усіх раціональних чисел. Часто раціональні числа визначають так:

Будь-яке дійсне число, що можна представити у вигляді відношен­ня а деяких двох цілих чисел а та Ь (де Ь Ф 0 ) називається раціо-Ь

нальним.

Але дійсні числа є більш складне поняття у порівнянні з раціо­нальними числами. Тому визначення раціональних чисел через дійсні числа не коректне.

 

Виникає питання: яким чином можна точно визначити множину Я раціональних чисел?

Аналогічні труднощі були і в геометрії при визначенні точки та прямої. Шляхом введення аксіом геометрії, які дозволили одержати необхідні властивості точки та прямої, а тим самим їх «непряме визначення». За допомогою властивостей, що вказані в аксіомах, доводяться усі теореми геометрії.

Отже, коректного визначення раціональних чисел не існує. Зали­шається інший (аксіоматичний) шлях побудови множини Я раціо­нальних чисел. Для цього без визначення вводять термін «раціональ­не число» і формулюють властивості раціональних чисел, тобто аксіоми, які по суті є «непрямим визначенням» множини раціональ­них чисел. Множина Я усіх раціональних чисел повністю характери­зується такими групами властивостей:

Для будь-яких двох раціональних чисел а, Ь визначена їх сума а+Ь. Операція додавання комутативна та асоціативна, тобто

а+Ь=Ь+а; (а+Ь)+с=а+(Ь+с).

Крім того, є число 0 таке, що а+0 = а.

Існує одне раціональне число х — корінь рівняння а+х=Ь.

Це число називається різницею чисел Ь та а і позначається Ь-а.

Різниця 0-а позначається -а.

В множині Я раціональних чисел містяться усі цілі числа (0, ±1, ±2, ±.„).

Для будь-яких двох раціональних чисел а, Ь визначений їх добу­ток аЬ. Операція множення комутативна, асоціативна та дистри­бутивна, тобто

аЬ=Ьа;   (аЬ)с=а(Ьс); а(Ь+с)=аЬ+Ьс.

При Ь Ф 0 існує лише одне раціональне число, яке буде розв'язком

рівняння Ьх=а. Це число позначається а, а відповідна операція назиЬ

вається діленням.

 

сі) Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді —, де а

Ь

та Ь — деякі цілі числа ( Ь Ф 0 ).

Отже, раціональними називаються числа, що задовольняють вказаним групам а) й) властивостей.

 

Множина Я раціональних чисел достатня для усіх арифметич­них операцій. Але раціональних чисел не достатньо для розв'я-зання багатьох алгебраїчних рівнянь (наприклад, х2 = 5), вимірювання дов­жини відрізка прямої, дій з нескінченним неперіодичним десятко­вим дробом. Тому виникає потреба доповнити множину раціональ­них чисел Я ірраціональними числами, що разом з Я утворюють множину дійсних чисел В.

У шкільному курсі математики ірраціональним називають число, яке можна записати у вигляді нескінченного неперіодичного десят­кового дробу. Але таке визначення ірраціонального числа не коректно тому, що воно вказує лише форму запису ірраціонального числа і нічого не говорить про дії з такими числами.

Виникає потреба аксіоматичного опису властивостей множини дійсних чисел В, частину яких складають ірраціональні числа.

Множина В усіх дійсних чисел повинна задовольняти 5 групам властивостей.

Множина В містить усі раціональні числа.

Для будь-яких дійсних чисел а, Ь визначена їх сума а+Ь. Опера­ція додавання комутативна та асоціативна. Існує одне дійсне число -розв'язок рівняння Ь+х=а; це число називається різницею чисел а та Ь і позначається а-Ь.

Для будь-яких дійсних чисел а, Ь визначений їх добуток аЬ. Множення комутативне, асоціативне та дистрибутивне. Існує одне

дійсне число розв'язок рівняння Ьх=а, яке позначається а, операція

Ь

знаходження їх відношення називається діленням.

Має місце співвідношення а > Ь (або Ь < а), якщо число а-Ь додат­не. Якщо а від'ємне, тоді -а додатне. Для будь-якого додатного дійсного числа а знайдеться таке додатне раціональне число г, що г < а.

В множині дійсних чисел В кожна обмежена монотонна по­слідовність має границю.

Відмітимо, що будь-яке твердження відносно дійсних чисел можна довести з використанням цих властивостей.

Тепер розглянемо визначення та основні властивості абсолютної величини дійсного числа.

• Означення. Абсолютною величиною —і дійсного числа а на­зивається число а, якщо а додатне або дорівнює нулеві, та число -а, якщо а від'ємне, тобто

 

Подпись:  якщо а > 0; якщо а < 0.

 

Абсолютну величину дійсного числа можна визначити іншим

способом, а саме формулою |а| = л/а2.

Розглянемо два приклади, у яких одержимо основні властивості абсолютної величини, що дуже часто використовуються.

Приклад 1. Довести, що нерівність і— < Ь еквівалентна співвідношенням -Ь < а < Ь.

^> Розв'язання. Нехай має місце нерівність |а| < Ь. Але |а| найб­ільше з двох чисел а, -а, тому кожне з них задовольняє нерівність а < Ь, -а < Ь.

Помножимо другу нерівність на (-1), одержимо -Ь < а . Поєднає­мо нерівності -Ь < а та а < Ь, тоді -Ь < а < Ь.

Зворотне, нехай має місце -Ь < а < Ь, тобто -Ь < а та Ь > а .

Помножимо першу нерівність на (-1) і запишемо у вигляді а < Ь . Таким чином, кожне з чисел а, -а не більше Ь, а тому й найбільше з

них буде не більше Ь, тобто —і < Ь .

Приклад 2. Довести, що для будь-яких двох дійсних чисел а, Ь має місце нерівність [а + Ь < а + Ь.

^> Розв'язання. Запишемо для чисел а та Ь нерівності

-|а| < а < |а| ; -|Ь| < Ь < |Ь|. Шляхом додавання цих нерівностей одержимо

-—і ы < а + Ь < —і + ы або -(а + |Ь|) < а + Ь < — + Ь.

Таким  чином,  число   с = |а| + ы   задовольняє нерівностям

-с < а + Ь < с і тому, в силу прикладу 1, |а + Ь| < с тобто |а + Ь| < |а| + ы, що і треба було довести.

 

В багатьох життєвих ситуаціях та фінансових розрахунках треба робити поділ дійсного числа на декілька прямо або обернено про­порційних частин та знаходити певну кількість відсотків числа.

Розглянемо ці дії з дійсними числами.

• Означення. Величини А та В називають прямо пропорційни­ми, якщо існує коефіцієнт пропорційності & такий, що виконується рівність

А = &В.

Правило. Для поділу числа А на частини, пропорційні числам В, С, В треба ввести коефіцієнт пропорційності &. Тоді шукані частини числа А будуть &В, &С, &В, а тому

А = &В + &С + &В => А = Ш + С + В) => & =     А         .

В + С + В

Знання & дозволяє знайти шукані частини у вигляді

В •    А     С •    А     В • А

В + С + В     В + С + В      В + С + в'

 

■ Приклад 3. До нового року дідусь подарував онукам, яким 14, 6 та 3 роки, 759 гривень з умовою, що вони будуть поділені пропор­ційно їх віку. Скільки коштів одержить кожен з онуків?

^> Розв 'язання. Треба поділити число 759 на частини пропорційні числам 14, 6, 3. Нехай & коефіцієнт пропорційності. Тоді шуканими числами будуть 14&, 6к та 3&. З рівності

26

759

759 = 14k + 6k+3k => k= — = 33.

23

Таким чином,

старший онук одержить 33 ХІ4 = 462 (гривень), середній онук одержить 33 Х 6 = 198 (гривень), молодший онук одержить 33 Х 3 = 99 (гривень).

 

• Означення. Величини А та В називаються обернено пропор­ційними, якщо існує таке k, що виконується рівність

 

B = -.

A

Правило. Для поділу заданого числа А на частини обернено про­порційні числам В, С, D треба шукані частини вважати рівними

kk   k   ^ Л.    .       .  .    kk    k           Л ,

—, —, — .Тоді з рівності A = —І    1— знаходимо k:

BCD BCD

, AABCD

1 +1 +1   CD + BD + BC' BCD

Знання k дозволяє знайти шукані частини.

 

■ Приклад 4. Власник підприємства виділив 88 гривень на зао­хочення трьох працівників і вирішив розподілити ці кошти оберне­но пропорційно кількості втрачених робочих годин. Скільки коштів одержить кожен працівник, якщо один з них втратив 3 години, друй    25  .„    5 ?

гий      години, третій — 5 годин?

16

^ Розв'язання. Треба поділити число 88 на частини обернено 25 ^

пропорційні числам 3, —, 5.

16

Нехай k — коефіцієнт пропорційності. Тоді шуканими частина­ми будуть

к;   к_ _ 16к. к 3; 25 _ 25 ; 5' 16

Отже,

00   к   16к   к    00   25к + 48к + 15к

88 _ — +         + — — 88 _   

3   25   5 75

 

88

 

к ■ 88 75 к_75'

 

Таким чином, працівник, що втратив 3 робочих години, одержить 75 25

— = 25 (гривень). Працівник, що втратив — робочих години, одер-3 16

75   75 16

жить      =       = 48 (гривень). Працівник, що втратив 5 робочих

25

25 16

75

годин, одержить —_ 15 (гривень). 3

 

(1) (2) (3) (4)

 

■ Приклад 5. Сума 4 чисел дорівнює 388. Перше відноситься до другого, як 3:2, друге до третього, як 1:3, а третє число так відносить­ся до четвертого, як 5:7. Знайти найменше з цих чисел.

^ Розв'язання. Нехай перше число А, друге В, третє С, четверте Б. Тоді маємо

А + В + С + Б = 388.

3

2

Згідно з умовою

С_ 3В

А _ 3 В ~ 2

В _ 1

7     7 21 Б _-С _-■ 3В _— В.

5     5 5

С ~ 3

С _ 5 Б ~ 7 Підставимо (2), (3) та (4) у рівність (1). Одержимо 3 В + В + зв+в = 388    15В +10В + 30В + 42В = 388

2          5 10

^ 97 в = 388    В = 3880 = 40. 10 97

3          формул (2), (3) та (4) випливає, що А > В, С > В, Б > В. Отже, В є найменшим числом. Відповідь: найменшим з цих чисел буде 40.

 

1

• Означення. Відсотком числа С називають                  його час100

С

тини. А відсотків числа С буде       А .

У         У 100

 

■ Приклад 6. Знайти:

а) 8\% від 1250 грн.; Ь) 4,5\% від 3,6 тони; с) 120\% від 350. ^> Розв'язання.

І250. 8 =1225-4 = 25 ■ 4 = 100 (грн.);

100 5

3,6/п■ 4,5   3600кг■ 4,5   36■ 45   ,0 „   іпп. .

—        — =     — =     = 18 ■ 9 = 162 (кг);

100      100 10

350

c)         120 = 35■ 12 = 420.

100

■ Приклад 7. Знайти число, 3\% якого дорівнюють 36. ^> Розв'язання.. Позначимо шукане число А. Згідно з умовою А

■ 3 _ 36 — 3 А _ 3600 — А _ 1200.

100

 

■ Приклад 8. В січні завод виконав план на 108\%, а в лютому виробив продукції на 7\% більше, ніж у січні. Скільки продукції було зроблено понад план за січень та лютий, якщо за місячним планом завод повинен виробляти 90 000 одиниць продукції?

^> Розв 'язання. Згідно з умовою задачі у січні завод одержав про­дукції на 8\% більше плана, а в лютому він перевиконав план на

108 ■ 7

8°\% + "КНГ = (8 + 7,56)°\% = 15,56°\%.

Таким чином, за січень та лютий план перевиконано на

(8 + 15,56)\% = 23,56\%.

Цей відсоток дозволяє знайти кількість одиниць продукції, зробленої понад план

90000

•23,56 _ 21204 (одиниць продукції).

100

 

Вправи до розділу 2.1

Знайти абсолютну величину чисел:

77, -61, 24, 0, -11.

Яким нерівностям задовольняє кожне з чисел а, Ь, с, якщо

 

|а| < 6; Ь > 9; є <

Число 100 поділити на три частини, прямо пропорційні чис13 5 лам —, —, —.

2  4 6

4.         Число 1510 поділити на частини, обернено пропорційні чис2 1 лам —;0.7; 1—.

32

Знайти 13,4\% від 180 км.

Знайти 154\% від 540.

Для якого числа 50,1 складає 0,6\%?

Поїзд пройшов 793 км за 13 годин; з тією ж швидкістю він пройшов відстань між двома селищами за 6 годин. Яка відстань між цими селищами?

9.         Якщо на підводу накладати по 450 кг картоплі, тоді усю кар- топлю можна перевезти на 16 підводах. Скільки треба підвід для перевезення усієї картоплі, якщо у кожну підводу накладати 480 кг?

10.       Що буде з дробом, якщо

чисельник його помножити на 7?

чисельник його поділити на 5?

знаменник його помножити на 5? сі) знаменник його поділити на 8?