Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


2.2. алгебраїчні перетворення

Алгебраїчні перетворення використовують для доведення алгеб­раїчних тотожностей, спрощення алгебраїчних виразів, для розв'язу­вання алгебраїчних рівнянь, при обчисленні значень складних алгеб­раїчних виразів, при розв'язуванні задач оптимізації.

У ході цих перетворень використовують формули скороченого множення:

(а + Ь)(а Ь) = а2 Ь2.

(а-Ь)(а2 + аЬ + Ь2) = а3 -Ь3.

(а + Ь)(а2 аЬ + Ь2) = а3 + Ь3.

(а±Ь)2 = а2 ±2аЬ + Ь2.

(а-Ь)3 = а3 -3а2Ь + 3аЬ2 -Ь3 = а3 -3аЬ(а-Ь)-Ь3.

(а + Ь)3 = а3 + 3а2Ь + 3аЬ2 + Ь3 = а3 + 3аЬ(а + Ь) + Ь3.

та властивості дій із степенями:

 

_1_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

ат ■ап =а

Ш Приклад 1. Спростити вирази: аЬ        Ь   Л 2Ь

а)

а2 Ь2   2а 2Ь / а2 Ь2

 

X

 

Ь)

 

У2      1 Х

х+(х2 1Г, х УХ^-Т

->/Х2-1    х(х2 -1)->^ + 1

 

:>/Х2~-1.

 

 

 

Подпись: а2 Ь2 2а 2Ь/ а2 Ь2 2 (а2 Ь2 ) ' а2 Ь2 2аЬ аЬ Ь2   аЬ Ь2   Ь(а Ь)   а Ь^ Розв'язання.

. Г аЬ Ь а)

 

2Ь     2аЬ Ь(а + Ь) 2Ь

 

4Ь 4Ь

 

 

X

 

Ь)

х +

х-л/Х2^    х(х2-1)->^ + 1

:л/Х2-1

 

 

 

Подпись: :4хГ-Гх

ху    УІХ2 -1 х Х + (Х2 -1/2 +    УІХ2 -1

+1

л/Х2^ х + >/ х2 -1) хх2 х2 + 1

 

 

:л/Х2-1

 

х+ х

 

Гх+ 7Х2-1   л/х2 -1 -х^

л/Х2-Ї   л/х2-1

 

■:л/Хх1

 

 

 

х2 + 2хл/х2 -1 + х2 -1 ( х2 2хл/х2 -1 + х2 -11

=          тх^-т =

= 2х2 + 2хуіх2 -1 -1 2х2 + 2ху/х2 -1 +1 = 4 хуіх2 -1

 

:4 х.

 

Приклад 2. Розкласти на множники 218 + 918 і вказати мен­ший, що Ф 1.

^> Розв'язання.

218 + 918 = (26)3 + (96 )3 = (26 + 96 )((26 )2 -26 ■ 96 + (96)2) = = (22 + 92 )(24 -22 ■ 92 + 94)(212 -186 + 912). Меншим буде 22 + 92 = 85 => 5.

Приклад 3. Обчислити

2>/40<Л2 + 3л/5~У48 24/75 ^71^/27 .

^> Розв'язання.

Кожен доданок запишемо добутком степенів:

2 ■ 2 ■ 212 ■ 5^ ■ 212 ■ 314 + 3 ■ 5^ ■ 314 ■ 2 2 ■ 314 ■ 5^ 4 ■ 312 ■ 512 ■ 3^ ■ 312 = = 8 ■ 512 ■ 314 + 6 ■ 512 ■ 314 2 ■ 3^ ■ 512 -12 ■ 314 ■ 512 = 14 ■ 512 ■ 314 --14 ■ 512 ■ 314 = 0.

Вправи до розділу 2.2

1. Виконати вказані операції та спростити:

а) (5а + 7Ь-3) + (3Ь-2а + 9);    Ь) (2л/а + 5л/Ь) + (3ч/а -2у[Ь);

с) (2і2 + 6і 1)-(3Ґ 5і2 + 4 і3 );с!) (Ь[х ^72У )-(>/*^л/2у); е) -(х-7у^2(2у-5х).

2. Розкласти на множники:

 

Подпись: с) 2х2 + 2х 12;а) х2 + х 2; а) 2х2+ 5х + 1;

3. Спростити:

2 х     х + 2

с)

а) 2 х -1х+Т

 

3 х х 2 х -х-2

 

1

Ь) х215х + 54; е) 2і2 + іи 6и2;

 

1

Ь)

х 2-5х + 6   х 2-3х + 2'

23

а)

х + 2 +

х-2

х-6 + х+2