Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


2.3. рівняння з однією змінною

В цьому розділі розглянемо розв'язання таких типів алгебраїч­них рівнянь, які найчастіше використовують у навчальному процесі та в практиці фахівців з економіки та менеджменту.

 

2.3.1. Розв'язування лінійних рівнянь

Загальний вигляд лінійного рівняння ах + Ь = 0, де а та Ь деякі дійсні числа. Розв'язок цього рівняння знаходять за формулою:

Ь

х = —, а Ф 0.

а

У разі відсутності навичок розв'язання лінійних рівнянь доціль­но виконувати дії у такій послідовності: спочатку перенести вільний від х член рівняння у праву частину (цей член змінить свій знак на протилежний), а потім треба одержати коефіцієнт при х, рівний одиниці. Для цього поділяють обидві частини рівняння ах = -Ь на а і одержують розв'язок рівняння.

 

1 1

а) 3х + 4 = 0:      Ь) — х 5 = 0:         с) 5х — = 0.

■ Приклад 1. Розв'язати рівняння:

2х 5 = ,,: 3

 

^> Розв'язання:

а) 3 х + 4 = 0 == 3 х = -4 => х = -4

 

 

3'

 

1 х 5 = 0 ==1 х = 5 == х = 2 • 5 = 10: 2 2

1111

5 х — = 0 == 5 х = — == х =            = —.

3          3          3 • 5 15

■ Приклад 2. Чоловік старіший від своєї жінки на 7 років, а 10 років тому він був старіший від неї вдвічі. Скільки років зараз чоло­віку та його жінці?

^> Розв 'язання. Позначимо через х кількість років чоловіка у те­перішній час. Тоді в цей час його жінці х -7 років. Десять років тому чоловіку було х 10 років, а жінці х 7 10 = х 17 років. Згідно з умовою в той час чоловік був вдвічі старший від жінки, тобто

х 10 = 2(х 17) == х 10 = 2х 34 == х 24 = 0 == х = 24.

Таким чином, зараз чоловіку 24 роки, а його жінці 24 7 = 17 років.

2.3.2. Розв'язування квадратних рівнянь

Квадратним рівнянням називають рівняння вигляду

ах2 + Ьх + с = 0,

де а, Ь, с дійсні числа, коефіцієнти рівняння.

Розв'язки цього рівняння доцільно шукати за формулою

-Ь ±/Ь2 4ас

х1,2 =  2          • (1)

Якщо вираз Б = Ь2 4ас, що стоїть під знаком квадратного коре­ня, буде додатним дійсним числом, тоді з формули (1) одержимо два різних розв'язки

_-Ь + VЬ2 - 4ас          _-Ь -VЬ2 4ас

х і        та   х 2 .

2а 2а

Якщо Б = 0, тоді одержимо два рівних дійсних кореня

_ь_

Якщо Б < 0, тоді одержимо пару спряжених комплексних розв'язків квадратного рівняння вигляду

х1 _ а+ ір, х2 _ а-ір, і— „      Ь       л/4ас Ь2

 

Якщо квадратне рівняння зведено до вигляду

х2 + рх + д = 0, тоді його розв'язки можна знаходити за формулою

р.р2

 

■ Приклад 3. Знайти розв'язок рівняння 6х2+ 7х + 1 = 0.

^> Розв'язання. Це повне квадратне рівняння, тому будемо шука­ти його розв'язок за формулою (1):

_-7±У49-24 _-7±У225 _-7±5, Х1,2 _       12       _     12     _   12 '

-_А_-і

Хс Л    ;        Хс О 1.

1          6 2

^ Зауваження. Деякі квадратні рівняння не мають раціональ­них коренів. В таких випадках найчастіше беруть їх наближене зна­чення.

 

Ш Приклад 4. Розв'язати рівняння 2х2 х 2 = 0. ^> Розв'язання. За формулою (1) маємо

_ 1 ±У1 +16 _ 1 ±УГ7

Хі2 _      4      _    4 .

Одержали два дійсних різних кореня

 

Х.

1 _і(1+ 7Ї7)-1,281; х2 _-1 (1 -717)-0,781.

 

 

2.3.3. Розв'язування біквадратних рівнянь

Біквадратним рівнянням називають рівняння вигляду

ах4 + Ьх2 + с = 0.

Такі рівняння підстановкою х2 = ґ, Ґ > 0 зводять до квадратного рівняння відносно змінної ґ. Після знаходження коренів одержаного квадратного рівняння повертаються до шуканої невідомої х.

Ш Приклад 5. Розв'язати рівняння х4 3х2 7 = 0.

^> Розв 'язання. Задане біквадратне рівняння заміною х2 = ґ, ґ > 0 зводиться до квадратного рівняння Ґ2 3ґ 7= 0. Розв'язок цього рівняння знайдемо .за формулою (2):

3    /9   „   3/9 + 28   3 л/37

 

Отже,

 

Ґ1=2+—~4,54; Ґ2=2 ~Г-1,54.

Корінь ґ2 від'ємний, тому він не підходить.

х12 _±2(3 + ч/37) ^74~54 ±2,13.

З рівності х2 = ґ1 => х2 = -2^3 + >/371 одержуємо шукані значен­ня невідомого

11,

2.3.4. Розв'язування раціональних рівнянь

Раціональними рівняннями будемо називати такі рівняння, що містять відношення багаточленів, залежних від невідомого.

Перед розв'язуванням таких рівнянь треба визначити область припустимих значень розв'язків, тобто тих значень невідомих, при яких знаменник дробу не дорівнює нулеві.

При розв'язуванні таких рівнянь доцільно вільні від невідомого члени рівняння перенести у праву частину рівняння, а усі члени, що містять невідоме, перенести у ліву частину рівняння і звести до спільного знаменника. Потім обидві частини рівняння помножити на знаменник, перенести праву частину рівняння у ліву частину і розв'язати одержане рівняння.

 

Ш Приклад 6. Розв'язати рівняння

хх і 1 23 хх 1 х 4     х + 3

^> Розв'язання. Спочатку знайдемо область припустимих значень: хФ 4, хФ -3. Отже областю припустимих значень буде

(-оо -3)и(-3,4)и(4,оо).

Запишемо задане рівняння у вигляді

хх + 1   хх   1 23 х 4х +3

Ліву частину рівняння приведемо до спільного знаменника:

(х2 + 1)(х + 3)-(х2 1)(х-4)    3 2

(х 4 )(х + 3)

-(х3 4х2 -х + 4) = 23(х-4)(х + 3) — х3 + 3х2 + х + 3-х3 + +4 х2 + х 4 = 23 (х 4 )(х + 3) — 7 х2 + 2 х -1 23 х2 + 23 х +

+23 • 12 = 0 — 16х2 25х 275 = 0.

Знайдемо розв'язки цього квадратного рівняння за формулою (1):

_ 25±У25• 25 + 4• 16• 25-11 _ 25±5У729 _ 25± 135; Хі'2 _  2-16     _      32      _    32 '

110 55

32 16

Обидва розв'язки х1 та х2 належать області припустимих значень.

 

2.3.5. Розв'язування ірраціональних рівнянь

Ірраціональними називають такі рівняння, в яких невідоме міститься під знаком кореня. При знаходженні області припустимих значень розв'язків слід керуватися тим, що вираз під коренем парної степені повинен бути > 0.

Якщо область припустимих значень знайти важко, то після роз­в'язування рівняння роблять перевірку шляхом підстановки знайде­ного розв'язку у задане рівняння.

 

■ Приклад 7. Розв'язати рівняння

>/3 X +1 + >/ X +11 8 _ 0.

^> Розв'язання. Знайдемо область припустимих значень:

 

Ґ3 X +1 > 0 {х +11 > 0'

1

х >— 1 3 => х >--.

х >-11 3

 

Запишемо задане рівняння у вигляді

73X71 _ 8-V х+11.

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

3х +1 _ 64 16л/х +11 + х +11 => 167 х +11 _ 64 2х +10

8^х +11 _ 37 х. Корінь 7х + 11 > 0 тому 37 х > 0 => х < 37.

 

Отже, розв'язки рівняння повинні належати

Л37

3

Шляхом

 

піднесення до квадрату останнього рівняння одержимо: 64 (х +1) = 372 2 • 37х + х2 => х2 138х + 665 = 0

 

1,2

=> х.

= 69 ±л/692 665 = 69 ± 64;

 

 

133 €

 

х 2 — 5, 5 ^

 

3,37

. 3 .

-1,37

3

, тому х1 не підходить. , тому х2 є розв'язком рівняння.

 

 

2.3.6. Розв'язування показникових рівнянь

Показниковими рівняннями називають такі рівняння, які містять невідоме у показнику степеня. Наприклад, 23х = 8.

При розв'язуванні показникових рівнянь використовують влас­тивості показникового виразу та спеціальні прийоми: зведення обох частин рівняння до однакової основи; винесення за дужки спільного множника, введення нового невідомого, ділення обох частин рівнян­ня на однаковий вираз, логарифмування обох частин.

 

■ Приклад 8. Знайти розв'язки рівнянь

2+\[х + х

а) 73 • 3^ • ^ 2(1+л/х) = 81;   Ь) 5х + 3 • 5х-2 = 140;

с) 32х 5 • 3х + 6 = 0;            а) 2х-2 = 7х-2.

^ Розв'язання.

а) Зведемо обидві частини рівняння до однієї основи (х > 0).

1     х     2+у/х + х ,    

д2+і+,/х"2(і^>/х)' _ 34    1 +   х     2 + Іх + х _ ^

2   1 ^л/х   2 (і + >/х)

х          + х   3    2 х 2 -л/х х 3

1 + л/х   2 (і + л/х)   2        2 (і + >/!) 2

== х ->/х2 _ 3(і + 4х )=> х -л/х 2 3 3\[х _ 0

== -4>/х _ 5 х == 4л[х _ х 5    (х > 5)

Після піднесення у квадрат одержимо

і6х _ х2 -10х + 25 = х2 -26х + 25 _ 0 = хі2 _ 13±л/169-25 _ 13±7Ї44 _ 13± 12;

х1 _ 25 > 5, х2 _ 1 < 5. Тому лише х1 є розв'язком рівняння.

винесемо за дужки спільний множник (з меншим показником степеня), тоді одержимо

5х-2 (52 + 3) _ 140 = 5х-2 • 28 _ 140 = 5х-2 _ 5 = х 2 _ 1 = х _ 3

це і є розв'язком рівняння.

цей приклад розв'яжемо шляхом введення нової змінної

у _ 3х > 0.

Тоді рівняння набуває вигляду: у2 5у + 6 = 0. Розв'язок цього квадратного рівняння відносно у буде:

5_,_  25   „   5^  25 - 24   5 1 У1,2 _2-6 _ 2 ±І—4Г _ 2 ± 2; уі _ 3; у2 _ 2.

Тепер треба повернутися до початкової змінної х:

з рівності 3х _ 3 => х1 _ 1; з рівності 3х _ 2 => х2 _ 1с^3 2.

Знайдені х1 і х2 будуть розв'язками рівняння с).

а) рівняння 2х-2 _ 7х-2 поділимо на 7х-2, тоді одержимо x - 2 0 => x 2.

 

Тому розв'язком рівняння d) буде 2.

 

2.3.7. Розв'язування логарифмічних рівнянь

Логарифмічними називають такі рівняння, які містять невідоме під знаком логарифма.

При розв'язанні логарифмічних рівнянь використовують основні властивості логарифмів:

1. logaNx + log,N log, (ЛГі ■ N2).

 

v N2 J

 

3. log, (Nk)klog,N'

 

logaa N = -ogaN І Ь

a a

ahgbC = chgba. а також такі прийоми:

 

потенціювання: з рівності

l0ga Р(Х) = l0ga Р1 (X)       Р(Х) = Р1 (X)

використання означення логарифма: якщо

log aP(x ) = b ^>p(x ) = ab;

використання основної логарифмічної тотожності:

alogaP(x )=p(x);

введення нового невідомого;

перехід до нової основи логарифма за формулою

l0gbN.

log ba

log,N

При розв'язанні логарифмічних рівнянь доцільно застосовувати такий порядок дій:

1) знайти область припустимих значень. При цьому використо­вують те, що log N існує лише при N > 0, а також співвідношення

 

 

 

log aN:

> 0, якщо N > 1, a > 1;

= 0, якщо N = 1;

< 0, якщо a > 1, N < 1;

 

розв'язують логарифмічне рівняння. При цьому бажано одер­жати

loga p(x) = b, тоді p(x) = ab, або loga p(x) = loga p (x), тоді p(x ) = p (x).

перевірити: чи входять знайдені значення невідомої в область припустимих значень;

записати відповідь.

 

■ Приклад 9. Розв'язати рівняння:

12

• +       :           = 1.

5 ^ х  1 + ^ х

^> Розв 'язання. У даному випадку областю припустимих значень буде: х > 0, ^х Ф 5, ^х ^-1 => х > 0, х Ф105, х Ф 10-1.

Введемо нову невідому у = і^. Тоді задане рівняння набуває вигляду

1   +т^= 1 => 1 + У +10 2у = (5 у)(1 + у)^>

5 У   1 + У

=> У2 5У + 6 = 0 => у1 = 2, У2 = 3.

Тепер повернемось до початкової змінної: з рівності 1^ = 2 => х1 = 102 = 100; з рівності іgх = 3 => х2 = 1000.

Розв'язки 100 та 1000 належать області припустимих значень.

Ш Приклад 10. Обчислити 4* де R = 1+2Іс^29. ^> Розв'язання.

4R _ 4l+2lсg2 9 _ 22(1+Іс§292) _ 22. 2іс§2 94 _ 4. 94 _ 26244

 

Вправи до розділу 2.3

Розв'язати лінійні рівняння:

а) 1 + х = 3 х;Ь) 2х 5 = -15 3х;

с) 4(х 3) = 8 х;С) 3г 2 + 4(1 г) = 5(1 2г) 12;

е) 1 2[4 3(х + І)] = 4(х 5) 1.

Розв'язати рівняння:

a)         (х 4)2 = (х 2)2;Ь) х2 + (х + 1)2 = (2х 1)(х + 3); с) (2х + 1)(х 1) + х2 = 3(х 1)(х + 2) 3;

сі) х(х + 2)(х + 4) + х3 = 2(х + 1)3;е) х4 5х2 + 6 = 0.

Розв'язати рівняння:

х2 +1 + х2 + 2 _ 2; х +1    х 2

(х а )>/ х а +(х Ь)4х—Ь       , ,

b)                     ,        _ а Ь, (а > Ь);

у/х а + >/х Ь

c)         ^1 + 4х + ^1 -4х _ 2; а) х3[х -+ 4 _0.

Розв'язати показникові та логарифмічні рівняння:

 

а) ґ-^   _ [-J     ;        Ь) 6х + 6х+1 _ 2х + 2х+1 + 2х+2;

с) 2х+3 + 2х+2 + 2х+1 _ 7х + 7х-1;   сі) 72х+1 +1 _ 8 • 7х; е) ^5 + lg (х +10) _ 1 ^ (2х -1) + lg (21х 20);

0 lсg5 л/х-9 lсg510 + к^5л/2 х -1 _ 0;

g) lg(х +1,5)    lgх;      Ь) Іп(2х +1)_ 3.