Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


2.4. нерівності

Існує багато різновидів нерівностей: лінійні, квадратні, раціо­нальні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, показниково-лога­рифмічні, з модулями.

Економістам найчастіше треба розв'язувати лінійні (у тому числі з багатьма невідомими), квадратні, раціональні та показникові не­рівності.

При розв'язуванні нерівностей використовують такі властивості нерівностей:

1.         Якщо а > Ь і с є будь-яке дійсне число, тоді а + с > Ь + с та а с > Ь с, тобто нерівність не зміниться при додаванні та відніманні однакового дійсного числа с у обох його частинах.

Якщо а > Ь і с будь-яке додатне число, тоді ас > Ьс, а а > Ь,

сс

тобто нерівність не змінюється, якщо обидві мого частини помножи­ти або поділити на однакове додатне число с.

Якщо а > Ь і с будь-яке від'ємне число, тоді ас < Ьс та а < Ь,

сс

тобто при множенні та діленні нерівності на від'ємне число нерівність змінює свій знак на протилежний.

 

■ Приклад 11. Розв'язати нерівність у + 4 < 5у^ 2 +1.

^ Розв'язання. Помножимо задану нерівність на 12. Згідно з вла­стивістю 2 нерівність не зміниться, тобто одержимо

12^ у + І) < 12 ^ ^ +1)=> 12 у + 9 < 4 (5у-2) +12

=> 12у + 9 < 20у 8 +12 => 12у + 9 < 20у + 4.

Перенесемо члени з невідомим у в ліву частину, а постійні числа у праву частину нерівності, тоді одержимо

12 у 20 у < 4 9 => -8 у <-5.

Останню нерівність поділимо на (-8). Тоді, згідно з властивістю 3, нерівність змінює свій знак на протилежний. Отже, маємо:

8 у > 5 => у > |,

тобто розв'язком заданого рівняння будуть усі дійсні числа у

"5 ї

8'

 

■          Приклад 12. Підприємство виробляє спецодяг, який продає по 60 гривень за кожну одиницю. Матеріал та оплата праці за вироб­ництво кожної одиниці коштує 40 гривень. Власнику підприємства треба кожного тижня сплачувати 3000 гривень за оренду приміщен­ня, охорону, транспортні витрати, оплату праці прибиральниці, бух­галтера та інше. Скільки одиниць спецодягу повинно виробляти підприємство кожного тижня, щоб одержувати прибуток не менше 600 гривень щотижня?

^> Розв'язання. Шукану кількість одиниць спецодягу позначи­мо х. Згідно з умовою задачі витрати кожного тижня складають (40х + 3000) гривень, а доход 60х гривень.

Прибуток = доход витрати = 60х (40х + 3000) = 20х - 3000.

За умовою задачі треба одержати прибуток не менше 600 гри­вень, тобто

20х 3000 > 600 => 20х > 3600 => х > 1800 (одиниць спецодягу).

 

■          Приклад 13. Знайти найменший цілий розв'язок нерівності

4х 4х-3 4032 > 0.

 

4х-3 (43 -1) > 4032 => 4х-3 ■ 63 > 4032 => 4х-3 > 4032 = 64.

^> Розв'язання. Задану нерівність можна записати у вигляді

4032

63

тобто

4х-3 > 43    х 3 > 3 => х > 6. Найменшим цілим розв'язком заданої нерівності буде число 7.

У загальному випадку розв'язування нерівностей вигляду /(х)>0, /(х)>0, /(х)<0, /(х)<0

для будь-якого виразу доцільно проводити методом інтервалів. Суть цього методу полягає у тому, що корені рівняння /(х) = 0 розподіля­ють усю область визначення функції /(х) на інтервали, на яких /(х) має постійний знак. Тому можна визначити знак функції на кожному інтервалі шляхом підстановки у функцію замість х будь-якої точки х0 з інтервалу, що розглядається, а потім обирати такі інтервали, на яких функція має знак заданої нерівності.

 

13

■ Приклад 14. Розв'язати нерівність           <                      та знайти

х + 2   х 3

найменше ціле додатне значення розв'язку.

^> Розв'язання. Задана нерівність не існує при х = -2 та х = 3. Тому областю її визначення буде (-°°,-2) и (-2,3) и (3,00). Запише­мо задану нерівність так, щоб у правій частині залишився лише 0, тобто у вигляді

13..    х 3  3х 66   ..          2х 9 /Л < 0 =>-            —                < 0 =>-    —                < 0.

х + 2   х - 3        (х + 2 )(х - 3)        (х + 2 )(х 3)

При множенні нерівності на (-1) вона змінює свій знак на про­тилежний. Тому одержуємо нерівність

2х + 9

і           г> 0

(х + 2 )(х 3)

еквівалентну заданій.

Остання нерівність еквівалентна нерівності

/(х) = (2х + 9)(х + 2)(х-3)>0, хФ-2, хФ3.

Останню нерівність будемо розв'язувати методом інтервалів. З рівності (2х + 9)(х + 2)(х 3) = 0 одержимо

 

які поділяють область визначення /(х) на інтервали:

 

-9/2

-2

0

3

х

 

На інтервалі ^-о, --9^ візьмемо х0 = -5, тоді / (-5) —(2 (-5) + 9 )(-5 + 2 )(-5 3) —(-1)(-3 )(-8 )< 0.

 

На інтервалі І -—, -2 І візьмемо х0 = -3, тоді

 

/ (-3) —(-6 + 9)(-3 + 2)(-3 3 )> 0.

На інтервалі (-2, 3) візьмемо х0 = 0, тоді / (0) — 9 ■ 2-(-3 )< 0.

На інтервалі (3,о) візьмемо х0= 4, тоді

/(4) = (8 + 9)(4 + 2)(4 3) > 0.

Отже, розв'язком заданої нерівності буде об'єднання інтервалів, де /(х) > 0 тобто хє —,-2 Іи(3,о).

Найменшим цілим додатним значенням буде 4, оскільки 3 не належить області визначення.

 

Вправи до розділу 2.4

1. Розв'язати нерівності:

 

а) 3(2х 1) > 4 + 5(х 1);

 

с) 1,2(2£ 3) < 2,3(ґ 1);

е) х26х 9 < 0;

 

в) 25х < 6 ■ 5х 5;

 

у+1у2у 1 Ь)         —> 1 + ——;

;   4     3 6

(х 2)(х 5) < 0; і) х2 + 13 < 6х;

(х 2-5х+8)

І2І 4    <2,5.

 

2. Розв'язати задачі:

чоловік має 7000 гривень і бажає вкласти їх, частину під 8\%, а останні під 10\%. Яку максимальну кількість коштів він повинен вкла­сти під 8\%, якщо бажає отримати загальний прибуток за рік 600 гри­вень?

кожного місяця фірма може продати х одиниць виробів вартістю р = 600 5х гривень за кожне. Яку кількість виробів треба продати кожного місяця, щоб одержати не менше 18000 гривень?

на вступному іспиті з математики до економічного університе­ту 15\% абітурієнтів не розв'язали жодної задачі, 144 розв'язали за­дачі з похибками, а кількість абітурієнтів, що розв'язали вірно усі задачі, відноситься до кількості тих, що не розв'язали жодної задачі

не більше ніж 5/3. Скільки абітурієнтів здавали іспит з математики

в той день? Яка кількість їх найбільша?