Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


3.2. арифметична прогресія та прості відсотки

• Означення. Арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попе­редньому члену, доданому до певного сталого для даної послідовності числа й, яке називається різницею прогресії. Арифметичну прогре­сію позначають .

У випадку й > 0 арифметичну прогресію називають зростаю­чою, а при й < 0 — спадною.

За означенням арифметичної прогресії маємо

ап+1 = ап + й, п є ЛГ.

+ Теорема 1. Загальний член арифметичної прогресії може бути знайдений за формулою

ап = а1 + (п 1)й. (1)

Доведення. Доведення проведемо методом математичної індукції. Згідно з формулою (1) маємо

а2 = а1 + й

а3 = а2 + й = а1 + 2й.

Нехай має місце (1) для деякого п і доведемо її для п + 1. Згідно з означенням маємо:

а +. = а + й.

Підставивши у цю рівність замість ап, його значення з (1), одер­жимо:

ап+1 = а1 +(п 1)й + й = а1+ пй або ап+1 = а1[(п +1) -1]й. Остання рівність це формула (1) записана для п + 1, яку й треба було довести.

 

3.2.1. Властивості арифметичної прогресії

Кожен член арифметичної прогресії a1,a2,...,an, починаючи з

другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів, тобто

ак = ^        , де k>2. (2)

 

Дійсно, якщо ak = ak_1 + d, ak+1 = ak + d => ak = ak+1 - d.

Сума цих рівностей дає: 2ak = ak-1 + ak+1 звідки випливає фор­мула (2).

Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, рівновідда-лених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії, тобто

^ +        = ^ + ^, k > 2 . (3)

Дійсно,

ak + an-k+1 = [a1 +(k -1^ ] + [a1 + (п k )d ] = 2a1 + (п - 1^; a1 + an = a1 + a1 +(п l)d = 2a1 +(п l)d.

Праві частини цих рівностей співпадають, тому їх ліві частини рівні, тобто має місце рівність (3) для k > 2.

Сума членів скінченної арифметичної прогресії дорівнює добут­ку півсуми крайніх її членів на число всіх членів:

 

Sn =     ■ п . (4)

Для доведення цього твердження запишемо суму Sn арифметич­ної прогресії двома способами:

S = а2 +а2 +...+ a . + а,

п          2       2 п-1 п'

S = а +а . +...+ a2 + а..

Додавши почленно ліву і праву частини, одержимо згідно фор­мули (3):

2S = (а. + а ) ■ п,

звідки і випливає формула (4).

Т Наслідок. Якщо замість ап підставити у формулу (4) його значення у вигляді (1), тоді одержимо другу формулу для суми членів арифметичної прогресії:

2а1 + (п 1)сІ

 

■ Приклад 1. Між числами 7 та 35 записати 6 чисел, які разом з заданими числами утворюють арифметичну прогресію.

^> Розв'язання. За умовою: а1 = 7, п = 8, а8 = 35.

З рівності а8 = а1 + 7й одержимо: 35 = 7 + 7й => 7й = 28 => й = 4.

Таким чином:    7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35.

 

■ Приклад 2. Визначити а1, й та п арифметичної прогресії, в якій 53=30, 55=75, 5=105.

^> Розв'язання. За умовою а1 + а2 + а3= 30. Але а1 + а3 = 2а2, тому 2а2 + а2 =30 => а2 = 10.

Аналогічно: а1+ а2 + а3 + а4 + а5 = 75, але а1 + а5 = а2 + а4 = 2а3, тому 5а3 = 75 => а3= 15.

Знаючи а3 та а2, знаходимо різницю прогресії й = а3 а2 = 10 5 = 5.

Але тоді а1 = а2 й = 10 5 = 5. Згідно з умовою

2а1 + й (п -1) 5 = 105            і           '■ п = 105.

п 2

Підставивши у цю рівність а1 =5 та й = 5, знайдемо п.             2          " ■ п = 105 => [10 + 5п 5]^ п = 210 =>

5п2 + 5п 210 = 0 => п2 п 42 = 0    п1 =-7

не підходить тому, що кількість членів прогресії додатна, п2 = 6. Відповідь: а1 = 5, й = 5, п = 6.

 

■ Приклад 3. Фірма почала використовувати нову технологічну лінію вартістю 1 млн. 700 тис. гривень, вартість якої буде зменшува­тися кожного року на 150 тис. гривень. Знайти значення вартості цієї технологічної лінії після п років. При вартості 200 тис. гривень тех­нологічна лінія буде не придатною для виробництва. Коли це ста­неться?

^> Розв'язання. Згідно з умовою задачі вартість лінії з кожним ро­ком зменшується на 150 тис. гривень, тому її вартість після першого, другого, третього років і далі буде:

1700 150, 1700 2(150), 1700 3(150),... або 1550, 1400, 1250,...

Ця послідовність значень вартості утворює арифметичну прогре­сію з а1 = 1550, й = 1400 1550 = -150. Отже,

ап = а1 + (п 1)й = 1550 + (п 1)(-150) = 1700 150п, де ап вимірюється у тисячах гривень, п — кількість років. Тепер треба знайти значення п, при якому ап = 200. З рівності 200 = 1700 150п одержимо

150п =1700 200 => 150п = 1500 => п = 10. Отже, цю технологічну лінію можна використовувати 10 років.

 

3.2.2. Поняття простих відсотків на капітал

Якщо сума коштів Р вкладена під Я відсотків річних, то після

Я

першого року буде одержано прибуток величиною й = Р Ю0.

Якщо вкладення капітана здійснюється під простий річний відсо­ток, тоді з кожним роком прибуток зростає на однакову величину. Тому послідовність значень капіталу буде Р, Р + й, Р + 2й, Р + 3й,... тобто ці значення утворюють арифметичну прогресію.

Отже, величина капітали Р, вкладеного під простий річний відсоток R, через п років

 

ап = Р + п ■ й = Р + п ■ Р     = РІ 1 + 100     ^    100)

Наприклад, якщо вкладено 5000 гривень під простий річний відсо­ток 10\%, тоді через 5 років вкладник матиме:

а5 = 5000 (1 + 50101 = 5000 (1 + 2 ^ = 5000 + 2500 = 7500 гривень.