Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


3.3. геометрична прогресія та складні відсотки

• Означення. Геометричною прогресією називається по­слідовність, кожний наступний член якої дорівнює попередньому, по­множеному на одне й те саме число д, яке називають знаменником прогресії. Геометричну прогресію позначають тт.

Згідно з означенням

Ьп+1 =       п є Л. (1)

Наприклад, тт 1, 3, 9, 27, ... — геометрична прогресія із знамен­ником д = 3.

Геометрична прогресія називається зростаючою, якщо |д|> 1, і спадною, якщо |д| < 1.

Якщо кількість членів геометричної прогресії скінченна, тоді вона називається скінченною, у протилежному випадку вона називається нескінченною геометричною прогресією.

Методом математичної індукції можна довести, що загальний член геометричної прогресії знаходять за формулою

Ьп = Ьддп-Х. (2)

 

■ Приклад 1. Знайти шостий та дев'ятий члени геометричної прогресії, в якій Ь1 = 2, д = 3.

^> Розв'язання. За формулою (2) маємо:

Ь6 = Ь1д5 = 2 ■ 35; Ь9 = Ь1д8 = 2 ■ 38.

 

3.3.1. Властивості геометричної прогресії

1. Будь-який член геометричної прогресії з додатними членами, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному двох сусідніх з ним членів:

К =>/К-1 ' К+1 . (3)

Дійсно, за формулою (2) маємо Ьк = Ькдк-1

 

Бачимо, що обидві частини рівності (3) однакові.

2. Добутки членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддале-НИХ від її кінців, рівні між собою, тобто

К • bn_k+i = ЬхЬп. (4)

Дійсно,

К ■ bn_k+1 = bqk-1 ■ bqn_k = bb2qn_1; b ■ bn = b1 ■ b1 ■ qn-1 = ьу -1.

Отже, обидві частини рівності (4) однакові.

4. Сума членів скінченної геометричної прогресії може бути знай­дена за формулою:

 

1_q

Для доведення цієї формули запишемо

S = Ь1 + b1q + b1q2 + ... + b1qn_1. (6) Помноживши обидві частини цієї рівності на q, одержимо

qSn = b1q + b1q2 + b1q3 + ... + b1qn. (7) Віднімемо почленно з рівності (6) рівність (7), тоді одержимо

s„ _ qSn = Ь + (b1q + b1q2 +. „ + b1qn_1) _(b1q + b1q2 +... + b1qn_1 _ _bqn

=> Sn _ qSn = Ь1 _ b1qn ,

тобто (1 q)Sn = b1(1 qn). З останньої рівності випливає формула (5).

4. Суму всіХ членів нескінченної спадної геометричної прогресії зна­ходять за формулою

 

Доведення. Члени геометричної прогресії спадають, тому |q| < 1. Розглянемо суму членів вказаної геометричної прогресії як границю суми скінченної геометричної прогресії. Тоді

 

S = lim Sn = lim-^——L = -^11111 (1 _ qn )=-b^ (lim1 _ lim qA.

n—o      n—o   1 — q      1 — q n—»«> \       '   1 — q n—o    n—o J

59

Але ііші = 1, Ііт ап = 0. Отже, 5 = —— , що і треба було до- п—><*> п—><*>     і           д

 

вести.

 

■ Приклад 2. Перетворити періодичний дріб у простий дріб: а) 0,(5);            Ь) 0,3(7).

^ Разв'язання.

Маємо чистий періодичний дріб

0, (5 ) = 0,555... = — + — + А*_ + ч;         10   100 1000

тобто маємо нескінченно спадну геометричну прогресію, в якій ь _ 5 _1    _ 1

Ь1 = 10 = 2 д = 10. Тому за формулою (8)

 

4 >   1 -Ц0   2'10   18 9'

Маємо мішаний періодичний дріб

0,3 (7 ) = 0,3777... = — + — + —^— + —^— +...

10 100 1000 10000

Після першого доданка маємо нескінченно спадну геометричну

•           Ь     7 1

прогресію з першим членом К =            та знаменником д = —.

1   100 10

27 + 7 = 34 = 17

10 'і _  ' 100 ' 10 ~ 10 ' 90 ~  90   = 90 = 45.

Тому

7

03 (7 =А + /100 = А=А+А=

'V   /      Л А      л      1 /          -і А      -І ПА    Л П      -(А ПА

3.3.2. Поняття складних відсотків на капітал

Припустимо, що вкладник надає банку 5 000 гривень з умовою їх зростання кожного року на 10 складних відсотків. Це означає: кож­ного року величина капіталу, що знаходиться на рахунку вкладника у банку, повинна зростати на 10 відсотків.

Після першого року величина вкладення буде

10•5000

5 000 + ——= 5 000 • (1 + 0,1) = 5 000 • 1,1 = 5 500 гривень.

Після другого року величина вкладення буде 10•5500

5      +—= 5 500 • 1,1 = 5 000(1,1)2,

а після п років величина вкладення буде 5 000(1,1)".

Отже, величина капіталу з роками змінюється таким чином:

5 000; 5 000 • 1,1; 5 000 • (1,1)2;...; 5 000 • (1,1)п,

тобто вона утворює геометричну професію із знаменником д = 1,1 та першим членом Ь1 = 5 000.

Тому величина капіталу Р, що зростає кожного року на Я склад­них відсотків, через п років прийме значення

Рп = Р (1 + 0,01Я )п. (9)

У розглянутому вище випадку вкладник через 5 років буде воло­діти капіталом, який дорівнює:

5 000 • (1, 1)5 =8 052,55 (гривень),

а через 10 років капітал становитиме 5 000 • (1,1)10 = 12 968,72 гривень (у випадку простого відсотка, згідно з прикладом розділу 3.2 величина вкладу через 5 років буде 7 500 гривень).

 

Вправи до розділів 3.2 та 3.3

1. а) Знайти суму 27 членів арифметичної прогресії, якщо ап + а17 = 8. Ь) Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 30. Якщо від першого числа відняти 5, від другого 4, а третє не змінювати, то ці числа утворять геомет-ричну прогресію. Які це числа.

а) Між числами 4 та 39 знайти чотири числа, які разом з дани­ми утворюють арифметичну прогресію. У відповіді записати 4-й член.

Ь) Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 30. Якщо від другого члена цієї прогресії підняти 2, а реш­ту членів не змінювати, то утвориться геометрична прогресія. Знай­ти ці числа.

а) Знайти різницю зростаючої арифметичної професії, у якої сума перших трьох членів дорівнює 27, а сума їх квадратів дорівнює

275.

Ь) Три числа утворюють арифметичну прогресію. Якщо до пер­шого додати 8, то утвориться геометрична прогресія з сумою членів 25. Знайти ці числа.

а) Знайти добуток перших чотирьох членів геометричної про­гресії, якщо Ь4 Ь2 = 24, а Ь2 Ь3 = 6.

Ь) Якщо до чотирьох чисел, які утворюють арифметичну про­гресію, додати відповідно 2, 1, 4, 15, то нові числа утворять геомет­ричну прогресію. Знайти ці числа.

а) В арифметичній прогресії 11 членів. Перший, п'ятий та оди­надцятий її члени утворюють геометричну прогресію. Знайти третій член арифметичної прогресії, якщо її перший член дорівнює 24.

Ь) Між числами 2 та 65 є ще 20 чисел, які разом з даними утво­рюють арифметичну професію. Знайти найбільше із невідомих чисел.

 

Задачі економічного змісту

а) М.Кучеренко взяв в борг 3200 гривень з умовою повернути 20 гривень у перший місяць і подальшим зростанням цієї суми на 15 гривень кожного місяця. Який термін йому потрібен для повернен­ня боргу?

Ь) Щомісячне повернення банку боргу М.Кучеренко здійснює за арифметичною прогресією. Скільки йому потрібно повернути коштів у 20-му місяці, якщо його внески у 8-му та 15-му місяцях були 153 та 181 гривень, відповідно.

Припустимо, що М.Кучеренко взяв в борг 5490 гривень на умовах повернення задачі 6, а).

а) Скільки він повинен зробити внесків, щоб ліквідувати свій борг?

Ь) Яка величина останньої сплати?

Обладнання вартістю 10 тисяч гривень внаслідок експлуатації втрачає кожного року 20\% своєї вартості. Знайти:

 

вираз для вартості цього обладнання через п років;

кількість років його доцільного використання, якщо при вар­тості 3 000 гривень обладнання використовувати недоцільно.

Кожного року чоловік вкладає 1000 гривень для накопичення з фіксованим 8\% щорічним зростанням. Знайти:

a)         формулу, за якою можна знайти величину його коштів через п років;