Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


3.4. математика фінансів

Основні проблеми математики фінансів — обчислення простих та складних відсотків прибутку, розглянуто у розділах 3.2 та 3.3. Зараз ознайомимось з деякими іншими важливими задачами фінансової сфери.

 

3.4.1. Рахунки накопичення

Найпростішим типовим рахунком накопичення є такий рахунок фізичної або юридичної особи, на який регулярно нараховують і за­раховують (наприклад, в кінці кожного місяця або на початку на­ступного року) фіксований доход та роблять баланс вкладень і зап­ланованих відсотків з врахуванням терміну одержаних вкладень.

 

■ Приклад 1. Кожного місяця робітник вносить 100 гривень на

1

свій рахунок накопичення з одержанням прибутку величиною ^ \%

за кожен місяць. Обчислити величину його накопичень:

безпосередньо після здійснення 25 внеску;

безпосередньо після здійснення п внеску.

^> Розв'язання.

а) Кожен внесок за місяць зростає в 1,005 рази (0,5\% за місяць). Тому перший внесок за 24 місяця перебування рахунку прийме

значення 100 • (1,005)24. Другий внесок знаходився на рахунку 23 міся­ця, тому він прийме значення 100 • (1,005)23 третій внесок стане 100 • (1,005)22, і т.д. Отже, загальна сума накопиченого рахунку роб­ітника прийме значення

Б= 100 • (1,005)24 + 100 • (1,005)23+ ...+ 100 • (1,005) + 100.

Якщо записати праву частину в оберненому порядку, тоді її мож­на розглядати як геометричну прогресію з першим членом Ь1 = 100 і знаменником д = 1,005. Тому, використовуючи формулу суми скінченної геометричної прогресії, одержимо

 

100 Г(1,005)25 -1

= Ьх (дп -1)_ 100[(1,005)25 -1

д -1      1,005 -1 0,005

= 20000[1,13280 -1] = 2655,91.

Таким чином, після 24 місяців робітник буде мати на своєму рахунку накопичення 2 655,9 гривень.

Ь) Для знаходження величини рахунку накопичення безпосеред­ньо після здійснення п внеску, слід рахувати (п 1) місяць першого вкладу. Після (п 1) місяця перший вклад величиною 100 гривень зросте до 100 • (1,005)п-1, другий вклад зросте до 100 • (1,005)п-2 і т.д. Таким чином, загальним значенням рахунку накопичення буде сума

Б= 100 • (1,005)п-1 + 100 • (1,005)п-2 + ...+ 100 • (1,005) + 100.

Знову одержали суму геометричної прогресії з першим членом 100 (розглядаємо її в оберненому порядку) і знаменником д = 1,005. Тому вона буде мати вигляд

 

20000

(1)

= Ьх (дп -1)_ 100[(1,005)п -1

(1,005)п -1

д -11,005-1

^ Зауваження. Формула (1) дозволяє знайти величину накопи­чених коштів при умовах задачі за довільну кількість місяців. Наприк­лад, після 59 місяців на рахунку буде

20 000 • [(1,005)591] = 20 000 • [(1,348851] = 6 977 гривень.

Тепер узагальнимо проведені при розв'язанні прикладу 1 мірку­вання на випадок, коли перший внесок на рахунок накопичення дорівнює величині Р, а поетапний відсоток зростання величини коштів дорівнює Я за кожен певний період. У фінансових розрахун­ках застосовують позначення

п

і = —. (2)

100

При таких позначеннях величина накопичених коштів на рахун­ку після (п 1) періоду їх зберігання буде

5 = Р (1 + і )п-1 + Р (1 + і )п-2 +... + Р (1 + і) + Р.

Якщо цю суму записати в оберненому порядку, то одержимо суму геометричної прогресії п членів, з першим членом Ь1 = Р та знамен­ником д = 1 + і. Тому, згідно з формулою суми скінченної геомет­ричної прогресії маємо

Ь1 (дп -1)  РГ(1+і)п 1І  р г,    п і д-1       (1 + і)-1       і ^     ; і

^ Зауваження.

Якщо у формулі (3) покласти Р = 100, і = 0,005, то ми одержи­мо результат прикладу 1.

У фінансових розрахунках формула (3) використовується у вигляді

8 = Р • ^, (4)

де значення 8, для різних п та і вказані в спеціальних розрахункових /і

таблицях (дивись, наприклад, таблицю 1).

Так, розв'язок прикладу 1, а) за формулою (4) буде згідно таблич­ному значенню 8п,: /і

8 = Р • 8, = 100 • 825/    = 100 (26,559115) = 2655,91.

/і /0,005

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Виша математика для економістів» 3.4.2. Розрахунки ренти

Деяка частина населення держав з ринковою економікою живе за рахунок ренти, тобто регулярно на протязі певного терміну (на­приклад, на початку кожного року на протязі 20 років) одержують раніше обумовлену величину коштів з відповідного рахунка в банку або страховій компанії.

Виникає задача: скільки коштів треба покласти на рахунок ренти для виконання відповідних умов?

Перш ніж розв'язати цю задачу у загальному випадку, розгляне­мо конкретний приклад.

 

■ Приклад 2. В день 60-річчя містер Стоун відкрив рахунок ренти в страховій компанії на своє ім'я з умовами, що він буде одер­жувати щорічно у свій день народження, починаючи з наступного року 5 000 доларів на протязі 10 років. Компанія прийняла його кошти і відкрила йому рахунок ренти з щорічним зростанням вкла­дених коштів на 8\%. Яку суму внесено на рахунок ренти містера Стоуна?

^> Розв'язання. Позначимо через А1 частину усього внеску, яка за­безпечила виконання умов містера Стоуна та компанії через 1 рік, тобто у день 61-річчя. Ця частина ренти на протязі одного року зна­ходилась на рахунку і тому, згідно з умовою страхової компанії, одер­жала 8\% прибутку, тобто стала 1,08А1. За умовою містера Стоуна ця величина повинна дорівнювати 5 000 доларів. Отже, з рівності

1,08А1=5 000

знаходимо

А1=5 000(1,08)-1.

Таким чином, саме таку суму коштів треба було внести на раху­нок у день 60-річчя для того, щоб у день 61 річниці одержати 5 000 доларів.

Тепер позначимо через А2 частину первинного внеску, яка че­рез два роки буде сплаченою у кількості 5 000 доларів. Ця частина ренти знаходилась на рахунку на протязі двох років і одержала що­річно 8\% прибутку, тобто прийняла значення (1,08)2А2. З рівності (1,08)2А2= 5 000 випливає

А2 = 5 000(1,08)-2.

Таким чином, якщо вклад на рахунок ренти дорівнював А2, то в день 62 річниці містер Стоун одержав 5 000 доларів. Якщо містер Стоун у день свого 60-річчя зробив внесок на рахунок ренти величи­ною А1 + А2, тоді його умова одержання 5 000 доларів у дні 61 та 62 річниць буде задоволена.

Аналогічно можна впевнитись, що внесок

А3 = 5000(1,08)-3

дозволить йому отримати 5 000 доларів у день 63 річниці і т.д. Для одер­жання останніх 5 000 доларів у день 70-річчя треба було зробити по­чатковий внесок величиною

А10 = 5 000(1,08)-10.

Для повного виконання умов містера Стоуна, він повинен одер­жувати 5 000 доларів усі 10 років, а тому загальний внесок на раху­нок ренти повинен бути

А = А1+ А2 + А3 +... + А10 = 5000 (1,08 )-1 + 5000 (1,08 )-2 + +5000 (1,08)"3 + ... + 5000 (1,08)"10.

Таким чином, шукана величина внеску А на рахунок ренти є сума 10 членів геометричної прогресії з першим членом Ь1 = 5 000(1,08)-1 і знаменником д = (1,08)-1, її сумою буде

= ь1 (1 дп ) = 5000-(1,08 )-1 [1 -(1,08)" А ~

1 д     1 -(1,08)-1

Помножимо чисельник та знаменник дробу на (1,08) тоді одер­жимо

 

1 -(1,08)

5000 А =     

-10

5000 (1 -(1,08 )-10 ) = 5000 (1 -0,4632) =

1,08-1  0,08 \    4     '   / 0,08

= 33550.

Отже, містер Стоун повинен вкласти на рахунок ренти 33 550 доларів, щоб одержувати по 5 000 доларів щорічно на протязі 10 років.

Тепер розглянемо загальний випадок ренти.

Позначимо через А величину внеску на рентний рахунок. Нехай з цього рахунку роблять виплати розміром Р регулярно, з постійним періодом часу на протязі п періодів, починаючи через один після відкриття рахунка ренти. Нехай величина внеску зростає кожного періоду на Я відсотків.

Як і в приклад 2, щоб отримати першу виплату у розмірі Р після першого періоду часу треба вкласти в рахунок ренти таку кількість коштів А1, яка задовольняє рівність

Л(1 + і) = Р,

. Я

де і =   .

100

З цієї рівності знаходимо значення А1 вигляду

А1= Р (1 + і

Аналогічно знаходимо внесок А2, який зростає до Р після двох періодів часу

А2 = Р (1 + і )-2, а також частину внеску Ап, яка зростає: до Р після п періодів

Ап = Р (1 + і)-п.

Загальна величина внеску А на рахунок ренти є сумою

А = А + А2 +... + Ап = Р (1 + і )-1 + Р (1 + і )-2 +... + Р (1 + і)-п.

тобто А — це сума геометричної прогресії п членів, перший член якої Ь1 = Р(1 + і)-1, а знаменник д = (1+ і)-1. Тому

= (1 -дп)_ Р(1 + і)-1 [1 -(1 + і)-п]

1 д     1 -(1 + і) '

А = Р

Спростивши останній дріб шляхом множення чисельника і зна­менника на (1 + і) одержимо

 

(5)

1 -(1 + і)-

 

Фінансисти використовують формулу (5) у вигляді

А = Рап/і,

 

де ап/, = і-1 та п.

1 -(і + і) п 1 табульована для різних значень і Я

100

 

Наприклад, а10/   = 6,710081 у таблиці, тому

/0,08

А = Ра10/   = 5000 • а10/   = 5000 • 6,710081 = 33550,

/0,08 /0,08

як і в прикладі 2.

 

■ Приклад 3. Щорічна рента.

Місіс Стоун у свою 59 річницю зробила внесок 120 000 доларів у страхову компанію, як ренту. Компанія страхування життя погоди­лась надавати місіс Стоун 6\% щорічного прибутку з внеску і прово­дити щорічні виплати на протязі 15 років. Скільки коштів щорічно буде одержувати місіс Стоун з цього рахунку?

^ Розв 'язання. У даному випадку відома величина внеску на ра­хунок ренти А = 120 000, а також відсоток прибутку Я = 6, тобто

і =_|]_ = _^_ = 0,06. 100 100

Підставимо значення А та і у формулу (5) або (6) і одержимо шукану величину Р:

120000 = Р • аі5/   = Р • 9,712249

/0,06

(значення а взято з таблиці 1). З останньої рівності знаходимо

р = 120000 = 12355 3.

9,712249

Отже, місіс Стоун буде одержувати щорічну рентну виплату ве­личиною 12 355,53 доларів.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Виша математика для економістів» 3.4.3. Погашення боргу

Процес повернення боргу регулярно, певними частинами, в пев­ний термін і на протязі обумовленого часу із виплатою певного відсот­ка називають погашенням боргу або його амортизацією.

Наприклад, деяка особа взяла у банка в борг 5 000 доларів з умовою, що борг буде повертати щомісячно на протязі 24 місяців з обумовленим банком відсотком його зростання.

Виникає питання: якою повинна бути щомісячно сплата боргу з врахуванням відсотку його зростання?

З математичної точки зору задача про погашення боргу аналогічна до задачі про ренту. Дійсно, задачу про ренту можна розглядати як задачу погашення боргу страховою компанією, яка взяла внесок А в борг на певних умовах і повертає його регулярно величиною Р.

Тому формули (5), (6) мають місце і для задачі погашення боргу, тобто

 

За формулою (7) можна розв'язати задачу погашення боргу.

 

■ Приклад 4. На час навчання студент університету отримав з фонду навчання в борг 8 000 доларів. Цю позику йому надано із 8\% щорічного зростання і умовою щорічного повернення боргу в кінці кожного року після закінчення університету на протязі 5 років. Скільки коштів повинен повернути студент кожного року після за­кінчення університету?

^> Розв'язання. У даному випадку борг А = 8 000 доларів, час його повернення п = 5, відсоток зростання К = 8, і = Ю0 = 0,08. Шукану величину Р щорічної сплати боргу студентом знайдемо за формулою

(7):

Р = 8000

а 5/

/0,08

У таблиці 1 знаходимо а 5/   = 3,99271, тому

/0,08

р =  8000  = 2003,65.

3,99271

Отже, для погашення боргу студент повинен в кінці кожного року сплачувати фонду навчання 2 003,65 доларів.

 

Вправи до розділу 3.4

 

Кожного року батьки вносять Р доларів на свій рахунок нако­пичення із щорічним прибутковим зростанням рахунку на п відсотків. Обчислити суму коштів, накопичених за п років.

а) Р = 800; Я = 2; п = 17;       Ь) Р = 500; Я = 1/2; п = 12;

с) Р = 300; Я = 3; п = 25;       а) Р = 200; Я = 3; п = 18;

е) Р = 500; Я = 5; п = 27;       і) Р = 150; Я = 2; п = 30;

Ь) Р = 3000; К = 6; п = 3;

Р = 7000; К = 6; п = 5; і) Р = 5500; К = 6; п = 4;

Р = 3000; К = 8; п = 12.

g) Р = 250; Я= 1/2; п = 11;     Ь) Р = 80; Я = 5; п = 29.

Батько бажає відкрити рахунок ренти на ім'я доньки у стра­ховій компанії, яка сплачує Я щорічних прибуткових відсотків. Його умова сплачувати на початку кожного року Р доларів на протязі п років, починаючи з наступного року. Яку кількість А коштів він по­винен зараз покласти на рахунок?

а) Р = 2000; Я = 8; п = 3; с) Р = 6000; Я = 6; п = 5; е) Р = 4000; Я = 8; п = 4;

g) Р = 2800; Я = 8; п = 2;

3. На час навчання студент університету отримав з фонду навчання в борг А доларів. Цю позику йому надано із К\% щорічного зростання і умовою щорічного повернення боргу на протязі п років (на початку кожного року після закінчення університету). Скільки коштів повинен повертати студент кожного року після закінчення університету?

 

а) А = 10000; К = 8; п = 5;

с) А = 6000; К = 6; п= 10;

е) А = 12000; К = 6; п = 15; g) А = 7500; К = 8; п = 5;

Ь) А = 9000; К = 8; п = 5;

А = 18000; К = 8; п = 20;

і) А = 6000; К = 6; п = 8;

А = 12000; К = 6; п = 17.