Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


3.5. різницеві рівняння

•           Означення 1. Нехай у0, у,, у., у3,... послідовність дійсних чисел. Різницевим рівнянням порядку к називають рівняння, що зв'язує у0, у,, у2, у3, ... уп+к для кожного значення п (п = 0, 1, 2, 3, ...).

 

■          Приклад 1. Визначити порядок різницевих рівнянь:

а) уп+з = 3пуп;      Ь)  уп+2 =2 5уп+, =     с) у2+, + 8у3 + уп = 4.

Рівняння а) 3 порядку тому, що зв'язує уп з уп+3. Рівняння Ь) 2 порядку тому, що зв'язує уп, уп+1, уп+2. Рівняння с) першого порядку тому, що зв'язує уп, уп+1.

 

^ Зауваження. В означенні 1 індекс п змінюється від 0 і приймає цілі додатні значення. Але п може починати змінюватись не обов'язко­во з 0, а з інших значень. Наприклад, з (-1) або 3 і таке інше. У таких випадках п буде приймати відповідні можливі значення.

 

•           Означення 2. Розв'язком різницевого рівняння називають таку множину значень уп, яка задовольняє різницеве рівняння для усіх можливих значень п, при яких уп визначена як функція п.

 

■          Приклад 2. Показати, що послідовність

уп = 2 п (п +1), 1,2,3,... (1)

є розв'язком різницевого рівняння

уп уп-1 = п. (2)

^ Розв'язання. Підставимо у формулу (1) значення п = 1, 2, 3, 4. Одержимо:

у =1 -1 '(1 +1) = 1;      у2 = 2 ■ 2-(2 +1) = 3;

 

у3 = 2 ■ 3-(3 +1) = 6; у4 = 2 ■ 4-(4 +1) = 10.

Перевіримо, що усі ці значення задовольняють рівняння (2).

Маємо:

у2 у= 3 1 = 2 = 2; у3у2 = 6 3 = 3 = 3; у4 у3= 10 - 6 = 4 = 4.

Щоб закінчити розв'язування, треба показати, що послідовність вигляду (1) задовольняє рівняння (2) для усіх можливих п. Для цього спочатку знайдемо уп-1. Член послідовності визначено для усіх п = 1, 2, 3, ... формулою (1). Підставивши замість п у формулу (1) (п 1), одержимо

уп-1=2 (п 1)(п -1+1)=2п (п -1).

Тепер підставимо уп та уп-1 у ліву частину рівняння (2). Тоді

Уп Уп-1 = ^п(п +1)-2п(п -1) = 2п[п +1 п +1] = п = п.

Отже, послідовність (1) задовольняє різницеве рівняння (2) для усіх п = 1, 2, 3,... , тому ця послідовність і буде розв'язком рівняння

(2).

 

+ Теорема 1. Загальним розв'язком різницевого рівняння виг­ляду

Уп = «г/п^

де а задана стала, буде уп = сап, де с довільна стала. Значення сталої с визначається за формулою

с = Урар,

якщо заданий один член послідовності ур.

Доведення. Різницеве рівняння для п = 1, 2, 3, ... має вигляд: п = 1:   /1 =

п = 2:  У2 = ау!= а(ауІ)) = а2Уо

п = 3:   У3 =      = а(а2Уо) = а3Уо (3)

п = п:  уп = апУо Перша частина теореми доведена із с = у0.

Якщо у формулі (3) взяти п = р, тоді одержимо У = ару0, але у0 = с, тому ур = арс => с = ур а-р, що і треба було довести.

Розв'язок уп = сап різницевого рівняння уп = ауп-1 зростає за по­казниковим законом при а > 1 і спадає при 0 < а < 1.

Відмітимо, що запільний розв'язок різницевого рівняння залежить від довільної сталої с. Для її знаходження треба мати ще якусь інфор­мацію.

 

■ Приклад 3. Знайти розв'язок рівняння уп+1= -0,5уп, для якого у5 = 2.

^> Розв'язання. У даному випадку а = -0,5 і згідно з теоремою 1 загальним розв'язком рівняння буде

Уп = с(-0,5)п , де с = ура-р = у5(-0,5)-5 = 2(-0,5)-5 = -26.

Підставивши знайдене с у загальний розв'язок рівняння, одер­жимо

Уп =-26 Г ~Т = НГ -26"п.

 

Ознайомимось тепер з іншою теоремою, яка має особливе зна­чення в математиці фінансів.

+ Теорема 2. Загальним розв'язком різницевого рівняння

уп = ауп-1 + Ь (4)

де а та Ь — задані сталі, а Ф 1, є послідовність

п Ь уп = са            7,

а -1

де с — довільна стала. Значення с можна визначити, якщо зада­но хоча б один член послідовності уп. Якщо відомий ур, тоді

р   а -1.

Ь

Ь

а-1

с = ар

 

Доведення. Позначимо гп = уп +

 

Тоді

 

 

Уп

 

а -1

 

Уп

 

а -1

уп ауп-і + Ь ^ а ^ • (5)

а-1

 

 

Із рівняння (4) випливає, що уп — ауп-1 = Ь,

1 а а -1

 

= -1, тому (5)

 

можна записати так г аг = Ь Ь = 0.

пп

Отже, гп задовольняє рівняння гп агп =0, тому за твердженням теореми 1 загальним розв'язком цього рівняння буде гп =сап, де с — довільна стала. Повертаючись від гп до уп, одержимо:

Ь        п Ь

уп = гп            1 = са  1,

а -1      а -1

що й було потрібно.

Твердження теореми відносно знаходження с випливає з остан­ньої рівності, а саме

Ь

а -1

^ Зауваження. При а = 1 в рівнянні (4) загальний розв'язок буде мати вигляд

уп = у0 + пЬ . (6) ■ Приклад 4. Знайти розв'язок різницевого рівняння

уп2 уп-1 = 3; у1 =5.

^> Розв'язання. Задане рівняння має вигляд (4) при а = 2, Ь = 3. Тому його загальним розв'язком буде

Ь 3

-о• 2п —— = с• 2п -3.

а -12 -1 Поклавши у цій рівності п = 1 і використовуючи значення у1, одержимо

у1 = с ■ 21 3 = 2с 3 = 5 => с = 4. Отже, шуканий розв'язок буде таким

уп = 4 ■ 2п 3.

3.5.1. Застосування різницевих рівнянь в математиці фінансів

У фінансових розрахунках часто використовують різницеві рівняння замість геометричної прогресії. Для розуміння цього спо­собу розв'язування фінансових задач розв'яжемо, з використанням різницевих рівнянь, приклад 1 розділу 3.4.

 

■ Приклад 5. Кожного місяця робітник вносить 100 гривень на

1

свій рахунок накопичення з одержанням прибутку    \%за кожен

місяць. Треба знайти величину його накопичень:

одразу після здійснення п-го внеску;

одразу після здійснення 25 внеску.

^> Розв'язання. Нехай упзначення рахунку відразу після п вкла­да. Тоді перше, початкове значення величини рахунка буде у1 = 100. Ми можемо виразити уп через уп-1 таким чином:

Значення рахунку після п вкладу = значенню після (п 1) вкладу + відсоток прибутку + останній вклад,

тобто

Уп = Уп-1 + 0,005 Уп-1 + 100  => Уп = 1,005 Уп-1 + 100.

Остання рівність є різницевим рівнянням вигляду, який вказано у теоремі 2. Згідно з твердженням цієї теореми загальним розв'язком рівняння буде

У = сап —— = с (1,005)"      100— = с (1,005)" 20000.

Уп       а -1    4      у    1,005 -1    ^ ;

При п = 1 будемо мати у1 = с ■ 1,005 20000 = 100 => с = 20000.

Отже, розв'язком для випадку а) буде

уп = 20000 ■ [(1,005)п 1],

у випадку Ь) одержимо:

у25 = 20 000 ■ [(1,005)251] =20 000 ■ [1,1380- 1] = 2 655,91.

Одержані відповіді співпадають з відповідями прикладу 1 розді­лу 3.4, але одержані іншим способом.

 

У загальному випадку, коли перший внесок на рахунок накопи­чення Р, відсоток прибутку кожного місяця або року Л, одержимо величину накопиченого уп за формулою:

 

Уп = р ■ V, де і=77^; V табульовані/»         100 А

Остання формула співпадає з одержаною раніше іншим спосо­бом формулою (4) розділу 3.4.

 

Вправи до розділу 3.5

Визначити порядок різницевих рівнянь:

а) пуп+1 + (П + 1)Уп = п3;Ь) уп+з = уп + уп+2'' С)  3Уп+4 = 7пУп+1 + Уп'   а) Уп+2 5Уп = 2п.

Показати, що послідовність уп = 2п є розв'язком різницевого

рівняння уп+2 5уп+1 + 6уп = 0.

Обчислити перших 4 члена послідовності уп+1 ■ уп + 2у2п = п, якщо У0 = 2 .

Знайти розв'язок рівняння уп = -5 у, якщо у2 = -3.

Знайти при у0 = 2 розв'язки рівнянь:

а) уп + Уп-1 = 3;Ь) уп + 3 уп-1 = 3.

2000 гривень зберігаються з простим 8\% прибутком за кожен рік, уп величина вкладу після а років зберігання. Запишіть різни­цеве рівняння для уп і його розв'язку. Чому буде дорівнювати вели­чина вкладу через 10 років?