Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


4.1. різновиди матриць

• Означення 1. Матрицею називають таблицю упорядкованих чисел або будь-яких інших об'єктів, розташованих в т рядках та п стовпцях.

Матриці позначають великими літерами, наприклад А, В, С... та круглими дужками.

Матриця, яка має т рядків та п стовпців, називається матрицею розміру т X п (перший множник завжди вказує кількість рядків). Така матриця має вигляд

 

С

а

а

12

а

 

А:

а

21

"22

а

 

 

 

V ат1 ат2

тп у

 

 

Кожен елемент а  матриці А має два індекси: перший індекс і

ч

вказує номер рядка, в якому знаходиться цей елемент, другий індекс Ч вказує номер стовпця, який містить цей елемент. Так, елемент й23 знаходиться на перетині другого рядка та третього стовпця матриці А.

Матриця розміру т х1 називається матрицєю-стовпцем або

вектором-стовпцем. Матриця розміру 1х п називається матри-цєю-рядком або вектором-рядком.

Наприклад, нехай задані матриці

 

 

А

(-З 0

2 1

8 ї 4

 

 

( З

4

5

11

В =

6

8

9

2

 

V2

З

4

5)

 

 

 

С

( З ї

2

4

V1 у

 

 

В = (8  12  -З  6).

 

Матриця А має розмір 2хЗ, матриця В розміру Зх4, С матриця-стовпець розміру 4х1, В матриця-рядок 1х4 .

Матрицю називають квадратною порядку п, якщо кількість її рядків однакова з кількістю стовпців і дорівнює п.

Наприклад, квадратна матриця А порядку п має вигляд

 

12

1п

 

А

а

21

а

22

а

2п

 

 

 

V а«1

п2

пп у

 

Множина елементів а11, а22, аЗЗ, апп квадратної матриці А по­рядку п утворюють головну діагональ матриці, а множина елементів

а1п, а2(п-1), aЗ(п-2), ап1 утворює допоміжну (або неголовну) діа­гональ матриці.

Квадратна матриця, у якій аФ 0 лише при і = ] називається

діагональною. Діагональна матриця з елементами аи = 1 називаєть­ся одиничною матрицею і найчастіше позначається Е або /. Наприклад, нехай задані матриці

 

 

 

В

 

(1

0

0

01

0

1

0

0

0

0

З

0

V 0

0

0

 

 

Ґ1

0

0 ї

 

ҐҐ0

0

Е =

0

1

0

; 0 =

 

0

0

 

V0

0

1 у

 

V0

0

 

В діагональна матриця 4-го порядку, Е одинична матриця порядку З, 0 нульова квадратна матриця порядку З.

Для скорочення матриці можна записати у вигляді |а„|, коли

розмір матриці А відомий, або І а■■} .

Матриці А та В називають рівними, якщо:

вони мають однаковий розмір;

їх відповідні елементи рівні, тобто а= Ьц для усіх і = 1, 2, т; І = 1, 2 , п.

Якщо в матриці А рядки записати стовпцями із збереженням їх порядку, то одержану матрицю називають транспонованою і позна­чають АТ, а вказана операція перетворення матриці А називається транспонуванням матриці А. Наприклад,

 

 

якщо   В ■

( 2 -3 11

4 8 4

5 ї 9

1

 

тоді

( 2 4 5

-3 8 9

11ї

4 1

 

Матриці широко використовуються в плануванні виробництва та транспортних перевезень. Вони дозволяють розробляти різні варіан­ти плана, полегшують дослідження залежності між різними економіч­ними показниками.

■ Приклад 1. Мале підприємство виробляє 4 види продукції -А, В, С та Д використовуючи на кожну з них різну кількість двох матеріалів та праці (кількості робочих годин). Конкретна інформа­ція вказана у таблиці.

 

Вироби:

А

В

С

D

Одиниць матеріалу X:

250

300

170

200

Одиниць матеріалу У:            160 230

75 0

Кількість робочих годин:         80 85

120 100

У цій ситуації є 12 дійсних чисел, які можна впорядкувати і за­писати у вигляді матриці

 

250

300

170

200

160

230

75

0

80

85

120

100

розміру 3 X 4. Кожен рядок та кожен стовпець цієї матриці має певний зміст. Наприклад, елементи другого рядка вказують кількість витраче­ного матеріалу Y на виробництво продукції А, В, С та D; елементи дру­гого стовпця матриці вказують кількість витрачених матеріалів X, Yта робочих годин на виробництво продукції В.