Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


4.2. найпростіші дії з матрицями

Найпростішими діями з матрицями називають множення мат­риці на число, їх додавання та віднімання, множення матриць.

Добутком матриці А на число k називається матриця, елемен­ти якої дорівнюють добуткам елементів матриці А та числа к

 

"13

12

ксі21 ксі22

(ka11   ka12 ka.

23

 

кС2п

 

 

(1)

 

 

 

ті

т 3

тп у

 

Додавати та віднімати можна лише матриці однакового розміру. Алгебраїчною сумою матриць А та В однакового розміру

т X п називається матриця С розміру т X п, елементи якої с ц дорів­нюють відповідній алгебраїчній сумі елементів а І та Ь І матриць А та В, тобто

 

 

 

А ± В = С

 

а21 ± Ь21

С12 ± Ь12 С22 ± Ь22

С1п ± Ь1п ^ С2п ± Ь2п

 

 

(2)

 

 

 

Подпись: тп )VСт1 ± Ьт1

Ст2 ± Ьт 2

атп ± Ь

 

 

 

Наприклад, якщо

А

(50  30 40^ 18   16 12

 

 

, В

 

(20  18 20^

14 15 10

 

 

А + В

(50 + 20  30 +18  40 + 20^ 18 +14   16 +15   12 +10

( 70

32

48 31 60 ^

22

 

Розглянемо ще один приклад. Якщо матриця і відповідає вироб­ничим параметрам за перший квартал року, а матриця (), побудова­на по даним тих же параметрів за другий квартал року, тоді і + () буде характеризувати ці параметри за перший та другий квартали, тобто за півроку.

Для знаходження добутку АВ матриць А та В необхідно, щоб кількість стовпців матриці А (першого множника) дорівнювала кількості рядків матриці В (другого множника). Добутком АВ мат­риці А розміру т X п і матриці В розміром п X р називається матри­ця С розміром т X р, елементи якої с~ дорівнюють сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи 7-го стовпця матриці В, тобто кожен елемент матриці С знаходять за формулою

 

• + аіпЬщ­

(3)

 

^ Зауваження. Добуток матриць взагалі не має властивості ко-мутативності, тобто АВ Ф ВА. Якщо добуток двох матриць має вла­стивість АВ = ВА, тоді кажуть, що матриці комутують.

 

Ш Приклад 2. Знайти добуток матриць

 

 

 

а12

а13

А =

 

 

 

 

V й31

а32

й33 )

 

та

 

X

 

^ Розв'язання. У матриці А три стовпця, у матриці X три рядки, тому ці матриці можна множити. Добутком цих матриць буде мат-риця-стовпець

 

Подпись: (АХ =

а,

21 V аз1 й12

22

"32

 

 

"23

"33 )

 

V Х3 )

аа 11 хх 1 і а^12 хх 2 і а^13 хх 3 аа2 1 хх 1 +   аа 22 хх 2 +   аа 23 хх 3

 

(4)

(-2   1 2ї 3   2 1 13 2

Ш Приклад 3. Нехай

В

(12 3ї

A =

V

знайти АВ та ВА. *Ь Розв'язання.

(12 3ї(-2 3 1

4 5

2 ї

1 2

21

АВ =

4 5

6

 

 

V21

4 )

 

( 7

14

10 ^

=

13

32

25 ,

 

V 3

16

13 )

 

 

(1(-2) + 2 • 3 + 3-1    1 + 4 + 9     2 + 2 + 6 ї 4 (-2) + 5 • 3 + 6 • 1  4 + 10 + 18  8 + 5 + 12 2 (-2) +1 • 3 + 4-1   2 + 2 + 12    4 +1 + 8

 

Подпись: (-2 1 2ї(1 4 2Подпись: 2  3 ї   (-2 + 4 + 4
56 14
ВА =

3

21

 

 

V1

32

 

( 6

3

8 ї

=

13

17

25

 

V17

19

29 )

4 + 5 + 2  -6 + 6 + 8ї

3+8+2 6+10+19+12+4 1+12+4 2+15+2 3+18+8

 

 

Отже, АВ Ф ВА.

А

^ Зауваження. Ділення матриць — розглядають як добуток АВ 1,

В

де В-1 матриця, обернена до матриці В, визначення та знаходжен­ня якої розглянемо пізніше, після введення нових понять.

 

Ш Приклад 4. (З теорії графів). Графом називають певну кількість точок (його вершин), деякі з них з'єднані лініями (ребра­ми). На малюнку 1 задані два графи з 4 та 5 вершинами.

5 *

И         К2

 

а)

Мал. 1.

Занумеруємо вершини цифрами 1, 2, 3, ... та визначимо матрицю А з елементами аіі таким чином:

[1, якщо вершини і та і з' єднані ребром; І0, якщо вершини і та і не з'єднані ребром.

Треба побудувати матриці А та А2 для випадків а) та Ь), зображе­них на малюнку 1. Показати, що елемент з індексами і матриці А2 визначає кількість шляхів довжини 2 (двох послідовно пройдених ребер) з вершини і у вершину і графа.

^> Розв'язання.

У випадку а) згідно з визначенням елементів а{одержуємо мат­рицю

 

 

 

А

 

( 0

1

0

о 1

1

0

1

1

0

1

0

1

10

1

1

о)

 

0 1 1

1 0 1

0 1 1

Матриця А2 буде мати вигляд (0   1   0  0 ї( 0 1

А2

 

 

0 1 0 1

 

о 1

(1

0

1

11

1

0

3

1

1

1

1

1

2

1

о)

11

1

1

2 )

 

Розглянемо зміст елементів А2. Елементи г-го рядка цієї матриці рівні кількості вказаних в умові напрямків з точки г. Так, точка г = 1 має лише один напрямок, що пов'язує її з вершиною 2, що не дорів­нює і = 1, тобто аи = 1; а12 = 0 тому, що не має інших ребер між точкою 1 та 2; а13 = 1 та а14 = 1 тому, що точка 1 має лише одне ребро, що зв'язує її з точкою 2, 2 Ф 3, 2 Ф 4.

У випадку Ь) згідно з визначенням елементів та вигляду по­єднань вершин, зображених на малюнку 1, Ь) маємо:

 

Подпись: ( 

А ■■

 

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

 

 

Ця матриця квадратна п'ятого порядку, тому А2 також буде квад­ратною матрицею п'ятого порядку, а саме

 

А2

 

 

 

Вправи до розділів 4.1 та 4.2

1. Задані матриці:

 

 

ГГ0

3

4 >

 

(-з ГГ0

1

-2 >

 

( хх ^

 

Ґ У1Л

А

 

4

-5

; в =

 

4

-1

; X =

 

; у =

 

 

1 -2

0

3 )

 

11

0

3 )

 

V Х3 V

 

V Уз V

 

 

C

( 7 ї

2

-6

 

D

 

(Г2

3 >

 

Г10 "І

 

 

;    я =

 

V1

2 V

 

І2

 

1

 

V г3 V

 

Знайти:

Розмір кожної з цих матриць.

Матрицю ¥ = (ЛГ + 1)А (ЛГ + 2)В.

Коли виконуються рівності: а) АХ = С; Ь) АХ = У; с) БУ = 7?

За допомогою якої матриці можна представити матрицю 7 че­рез матрицю X, якщо 7 = БУ, У = АХ?

Обчислити Б2 Н2 та (О Н)(Б + Я) і показати, що

Б2Н2Ф (Б Н)(Б + Н).

Записати наступні системи лінійних алгебраїчних рівнянь у матричній формі

 

 

а)

2 х + 3 у = 7 х + 4 у = 8

 

Ь)

3х 2У=4

14 х + 5 у = 7

х + 2 у + 3 2 = 8 с) <{2х у + 42 = 13; 3у 22 = 5

 

 

 

2          3 х 2 + 4 х 3 — 5

3          х 3 + 5х* 4      — 7

 

е)

2х у=3 3у+42=7. 5 2 + х = 9

 

При виробництві своєї продукції фірма використовує 4 різних види сировини М1, М2, М3, та М4 вартістю 5, 7, 6 та 3 гривні за одини­цю виміру. На виготовлення одиниці продукції потрібно 4(ІУ + 1), 3(ІУ 1), 2(ІУ + 1) та 5(ІУ + 1) одиниць відповідного виду сировини. Виразити загальну вартість сировини потрібної для виготовлення одиниці виробу, як добуток двох матриць.

Фірма використовує три різних види сировини М1, М2 та М3, для виробництва двох видів продукції Р1 та Р2. Для виготовлення кож­ної одиниці Р1 потрібно 3, 2 та 4 одиниці сировини М1, М2 та М3, а для виготовлення кожної одиниці Р2 потрібно 4, 1, 3 одиниць сировини,

відповідно. Припустимо, що фірма виготовляє (АГ + 2) • 20 одиниць виробів Р та 30(А + 2) одиниць виробів Р2 кожного тижня. Знайти:

необхідну щотижневу кількість сировини;

вартість сировини для виготовлення одиниць виробів Р1 та Р2, якщо вартість одиниці сировини М1, М2 та М3, буде 6, 10 та 12 гри­вень;

чому дорівнюють загальні щотижневі витрати виробництва продукції Р1 та Р2?

9. Знайти добуток матриць АВ або ВА.

 

 

( 1 ^

 

(-31

а) А = (4   3  -2), В =

-3

; Ь) А =

2

 

1 5 )

 

1 5 )

 

,В = (4

 

-1);

 

 

 

с) А

 

а) А:

 

3

(11 -21 3 -12

 

4 -11

-52

В =

В

 

 

е) А

(

3

-2 1

-141 0 3-1 342

 

В=

-12 31 4-2 -25

 

 

 

Барковсысий В.В., Барковсыса Н.В. «Вища математика для економістів»