Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


4.4. ранг матриці та обернена матриця

Нехай задана матриця А розміру т х п

 

(

її

12

1п

 

 

 

A

21

22

2п

 

 

 

Подпись: а,V" тї

а,

тп )

 

Виберемо в ній довільно k рядків та k стовпців. Елементи, що знаходяться на перетині виділених рядків та стовпців, утворюють квадратну матрицю ^го порядку, визначник якої називають міно­ром ^го порядку матриці А. Обираючи різними способами k рядків та k стовпців, одержимо деяку кількість мінорів ^го порядку. Мат­риця має мінори будь-якого порядку: від першого (елементи матриці-мінори 1-го порядку) до найменшого із чисел m та п.

Розглянемо в матриці А ті її мінори різних порядків, які відмінні від нуля і нехай їх найбільший порядок = г.

Означення 1. Рангом матриці називають найбільший поря­док її мінорів, відмінних від нуля.

Ранг матриці позначають г(А) або гА або просто г. Ранг матриці можна знаходити методом обвідних мінорів або простіше методом елементарних перетворень.

Означення 2. Елементарними перетвореннями матриці на­зивають такі перетворення:

 

перестановка рядків (стовпців) матриці;

множення всіх елементів рядка (стовпця) на число      0;

додавання до елементів рядка(стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на деяке число.

Всі ці перетворення не змінюють ранг матриці, але з їх допомо­гою матрицю зводять до матриці, у якої нижче головної діагоналі всі елементи нулі. Тоді ранг матриці дорівнює кількості елементів го­ловної діагоналі, відмінних від нуля.

■ Приклад 1. Знайти ранг матриць:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) А-

(12 3 6

 

^ Розв 'язання. Ранг матриць будемо знаходити методом елемен­тарних перетворень.

а) Елементи першого рядка матриці помножимо на (-3) і додамо до відповідних елементів другого рядка матриці А:

000

(12  31 ^ (1   2  31

А

369

Звідси випливає, що ранг цієї матриці дорівнює 1 (нижче голов­ної діагоналі нуль та один елемент головної діагоналі Ф 0).

Ь) Зробимо такі перетворення, щоб нижче головної діагоналі були нулі:

 

 

(1

-1

0 >

х(-2),(-1)

(1

-1

01

 

(1

-1

01

А =

2

0

1

 

0

2

1

 

0

2

1

 

V1

1

1J

 

V0

2

1J

 

V0

0

0)

Звідси випливає, що г(А) = 2.

с) Знову робимо такі перетворення, щоб нижче головної діаго­налі були нулі:

 

 

А

-1

3 5 -1 4 6 3

чх(-2),(-2)

 

1

-1

3

0

3

-7

0

0

0

 

Оскільки можна третій та четвертий стовпці поміняти місцями і отримати третій елемент головної діагоналі, який Ф 0, то г(А) = 3. с!) Перетворимо матрицю аналогічно попередньому

 

 

 

А

2 6 6

3

-1 10

х(-3М-3)

2 0 0

-1 0 0 3

10 1

 

 

 

2 0 0 0 0

3 1

-10

 

х 10 ^

2 0 0 0 0 (

3

1

0

 

0 0

 

Звідси випливає, що г(А) = 2.

• Означення 3. Матриця А-1 називається оберненою матри­цею до матриці А, якщо виконуються рівності

АА-1= А-1А = Е, (1)

тобто матриці А та А'1 комутують і їх добуток є одинична матриця.

Не всяка матриця має обернену. В алгебрі матриць доведено, що матриця А має обернену матрицю А-1 при виконанні двох умов:

матриця А квадратна;

визначник |А| матриці А не дорівнює нулю.

Обернену матрицю А-1 до матриці А можна знаходити двома спо­собами:

1) за формулою

 

 

 

А

 

 

-1

 

_1_ ІАІ

 

А11

А21

А11

 

п 2

А„1 ^

А

 

 

(2)

 

21

А

пп у

 

де А.. алгебраїчні доповнення елементів а., матриці А, (алгебраїчні доповнення до і-го рядка розташовані у і-му стовпці (і = 1, 2, п).

2) а також з використанням означення оберненої матриці та еле­ментарних перетворень матриць.

Ш Приклад 2. Знайти обернену матрицю до матриці

 

 

' 12 -3Л

А =

3   2 -4

 

I2  -1   5)

^> Розв'язання. Спочатку впевнимося, що матриця А має оберне­ну А-1.

Матриця А має три рядки та три стовпця, тому вона квадратна порядку 3. її визначник

 

 

А

12 -3 3 2 -4 2 -15

 

 

= 12 • 5 + 2-(-4 )• 2 + 3 -(-1)-(-3)-2 • 2-(-3)-3 • 2 • 5 5-(-1)(-4 )-1 =

= 10 -16 + 9 +12 30 4 = -19 ф 0.

Отже, матриця А має обернену А-1, яку знайдемо за формулою (2). У даному випадку алгебраїчними доповненнями до елементів матриці А будуть:

 

Подпись: 2 -4 -15Подпись: :-7;


5;
Подпись: 2 -3
-15
Подпись: 23Подпись: :-4.Подпись: 33Подпись: 2-3 2-4
Таким чином, одержали
А11

А

31

 

А21 =Н 6; Л2

А

 

= -7; А22

 

-2;

32 3-4 25

1-3 25

1-3 3-4 = -23;

 

11;

А

 

-5; А

32 2-1

12

2-1

12 32

 

 

 

 

А

 

-1

-1

19

( 6    -7  -21

-23 11 -5

 

 

Ш Приклад 3. Знайти обернену матрицю до матриці

Г12   3 1

 

А

 

5 7

7 10

 

^> Розв 'язання. Задана матриця А квадратна порядку 3, її визнач­ник:

12 3

|А| = 2  5   7 = 1-5-10 + 2 • 7 • 3 + 2 • 7 • 3 3 • 3 • 5 2 • 2-10 7 • 7-1 = 0. 3  7 10

Отже, ця матриця оберненої не має.

^ Зауваження. Якщо матриця А квадратна другого порядку

 

 

А:

Г СІ 11 0?121 V С21     С22 J

 

, визначник якої А Ф 0, то обернену до неї матрицю

 

А 1 можна знайти за формулою

 

А

 

А

1

 

22

1 Г а

V С21

 

С

12

11 J

 

(3)

 

тобто треба елементи головної діагоналі матриці А поміняти місцями, елементи неголовної діагоналі помножити на (-1) і одержану матрицю

 

помножити на

А

 

 

 

 

Ш Приклад 4. Знайти обернену матрицю до матриці

Г 2 11 V4 6J

 

^> Розв'язання. Задана квадратна матриця другого порядку, її виз­начник

 

2 1

4 6

2• 6-4•! = 12-4 = 8 ф0.

 

тому    для    знаходж ення

А 1 можна застосувати формулу (3).

 

Одержимо:

 

А

 

8

(6 -11 -4 2

 

Визначити матрицю потреб-пропозицій А.

Припустимо, що через три роки потреби інших галузей зрос­туть до 24, 33 та 75 показників для галузей 1, 2, 3, відповідно. Скільки продукції повинна виробити кожна галузь, щоб задовольнити ці по­треби?

^ Розв'язання.

а) Елементи шуканої матриці А дорівнюють відношенню потреб і-тої галузі до загальної кількості пропозицій цієї галузі. Тому для знаходження елементів і-го стовпця (і = 1, 2, 3) матриці А треба поділити потреби і-тої галузі, вказані у таблиці, на загальну кількість пропозицій цієї галузі.

Таким чином, ми одержуємо матрицю потреб-пропозицій вигляду

 

( 0,2

0,4

0,11

0,3

0,1

0,3

, 0,3

0,3

0,2,

Ь) Нехай ^-одинична матриця третього порядку. Позначимо: ( 241

 

В

 

X бам:

 

33

V 75 )

матриця-стовпець нових потреб, матриця нових пропозицій, що відповідають новим потре-

 

Подпись: (44)
Для обчислення майбутніх пропозицій залишилось знайти В-1. Матриця В квадратна третього порядку, її визначник
 

(1

0

о 1

(0,2

0,4

0,11

( 0,8

-0,4

-0,1л

В = Е А =

0

1

0 -

0,3

0,1

0,3 =

= -0,3

0,9

-0,3

 

V0

0

1)

V 0,3

0,3

0,2 у

V-0,3

-0,3

0,8 у

Тоді

 

 

 

X

= В-1

• В.

 

 

(

 

 

0,8

-0,4

-0,1

 

В=

-0,3

0,9

-0,3

= 0,336

 

-0,3

-0,3

0,8

 

Для знаходження матриці В 1, яка існує, знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці В: В11 = 0,63; В12 = 0,33; В13 = 0,36; В21 = 0,35; В22 = 0,61; В23 = 0,36; В31 = 0,21; В32 = 0,27; В33 = 0,6.

Отже, обернена матриця В-1 має вигляд

 

Подпись: 1Подпись: (0,63	0,35	0,21"
0,33	0,61	0,27
ч 0,36	0,36	0,6 у
-1

0,336

(0,63

0,35

0,33

0,61

ч 0,36

0,36

33

75

 

Підставимо В та знайдену В-1 у формулу (4), одержуємо

 

1

0,336

143,75 195

Таким чином, через три роки першій галузі треба виробити 126,25 одиниць продукції, другій галузі потрібно виробити 143,75 одиниць продукції, а третій галузі треба виробити 195 одиниць продукції .

 

Вправи до розділу 4.4

1. Знайти ранг матриці:

 

 

' 2

-3

5

 

7 1

 

Г 2

1

1

-3 ]

 

(1

ГГ2

-1 01

а)

4

-6

2

3

; Ь)

4

0

1

-7

; с)

 

01

 

2

-3

-11

-

15 )

 

0

V

2

3

1

)

 

V1

11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3 21

 

 

(1

1

3

5 1

 

 

(1

2

1

3 "

 

8

64

 

сі)

2

1

1

4

 

е)

3

6

3

-1

; 0

4

32

 

 

12

2

6

3 )

 

 

V3

6

3

10 ,

 

4

8

32

6 4,

 

 

 

( 3 21

11

 

 

<\/a>") //-->