Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


5.1. різновиди систем лінійних алгебраїчних рівнянь

• Означення 1. Система алгебраїчних рівнянь називається лінійною, якщо вона може бути записана у вигляді

 

а21Х1  +       Х2   + . • •  + а2кХк  + .шш   + а2пХп     ~ Ь2

 

аі1 Х1   + аі 2 Х2    + " "   + аікХк    +        + аіпХп     ~ Ьі

(1)

 

 

I       Х1   + ат 2 Х2   +-   + ашкХк   +"■  + атпХп   = к

де х1, х2,... Хп, невідомі; а~ дійсні числа, які називають коефіцієнтами системи (індекс і вказує рівняння, а індекс ] невідоме, при якому запи­сано цей коефіцієнт); Ьк (к = 1,2,..., т) вільні (від невідомих) члени або їх називають правими частинами рівнянь.

Якщо Ьк = 0 для усіх к = 1, 2,..., т, тоді систему називають одно­рідною. Якщо хоча б один вільний член Ьк не дорівнює нулю, тоді си­стема алгебраїчних рівнянь називається неоднорідною.

Означення 2. Розв'язком системи (1) називається множина дійсних чисел а1,а2,...ап, підстановка яких у систему замість не­відомих Х1, х2, ... , хп, перетворює кожне рівняння системи у тотожність (іноді кажуть, що ця множина задовольняє систему рівнянь).

Означення 3. Система лінійних алгебраїчних рівнянь, що має хоча б один розв'язок, називається сумісною, а система, що не має розв'язку, називається несумісною.

5.1.1. Теорема Кронекера-Капеллі

Німецький математик Леопольд Кронекер (1823-1891) та італійсь­кий математик Альфред Капеллі (1855-1910) довели дуже важливу теорему, яка використовується у багатьох випадках.

Позначимо через А основну матрицю системи (1), яка складена з

коефіцієнтів при невідомих, а через А розширену матрицю цієї системи, яка одержана шляхом доповнення матриці А стовпцем вільних членів, тобто

 

а,

а

12

а

а

11

12

1п

 

А:

*21

*22

*2п

А —

21

а

22

2п

Ь2

 

 

 

а

т 2

т 3

а

тп у

а

т1

т1

т3

 

 

+ Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних алгебраїч­них рівнянь (1) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці

г(А) = г( А ), (2) причому, система має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли

г(А) = г( А) = п. (3)

 

■ Приклад 1. Дослідити сумісність системи

             у     _|_  <у                 <у         1

<    1    Xі 2    X з + X 4 — 0 .

-2 X,, + 2 X 4 — -0,5

^> Розв'язання. Задана неоднорідна система трьох лінійних ал­гебраїчних рівнянь з 4 невідомими. Для перевірки умови (2) теоре­ми Кронекера-Капеллі знайдемо ранги основної та розширеної матриць заданої системи, застосовуючи до матриць елементарні пе­ретворення.

Розширену матрицю одержуємо шляхом дописування до основ­ної матриці системи стовпця вільних членів.

 

 

А =

 

1

1

-1

+1

1

-1

1

0

1

-2

2

-0,5

 

V

 

-1

1

-1

-1

0

-2

-2

-1

0

-3

-3

-1,5

 

Еквівалентну матрицю отримали шляхом множення елементів першого рядка на (-1) та додавання до елементів другого та третьо­го рядків. Тепер елементи другого рядка помножимо на ^ ^ і до­дамо до елементів третього рядка, а потім поміняємо місцями дру­гий та третій стовпчики.

 

 

А

 

-1

1

-1

1

0

-2

2

-1

0

0

0

0

1

-1

-1

1

-2

0

2

-1

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

З останнього запису випливає, що г (А) = 2 та г(А) = 2, тобто г(А) = г (А), а це означає, що задана система рівнянь є сумісною.

 

5.1.2. Еквівалентні системи

Ф Означення. 4. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь назива­ють еквівалентними, якщо їх розв'язки співпадають.

Розглянемо довільну систему лінійних алгебраїчних рівнянь виг­ляду (1). Якщо в цій системі рівняння поміняти місцями, будь-яке рівняння помножити на дійсне число к Ф 0, тоді розв'язок системи не зміниться, тобто система матиме інший вигляд, еквівалентний по­чатковому.

Відомо, що сума скінченного числа доданків не зміниться, якщо їх поміняти місцями. Тому розв'язок системи не зміниться, якщо ми в усіх рівняннях доданки з хк поміняємо місцями з доданками, які містять хі, але це приведе до перепозначення невідомих. Розв'язок сис­теми не зміниться, якщо ми будь-яке рівняння системи помножимо на дійсне число к Ф 0 і додамо почленно до іншого рівняння системи. Вказані перетворення системи називають елементарними перетворен­нями системи. Доцільно замість системи рівнянь розглядати її роз­ширену матрицю та робити перетворення з цією матрицею. Саме такі елементарні перетворення були проведені при розв'язуванні прикла­ду 1.