Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


6.2. аналітична геометрія

Основні поняття, методи та формули аналітичної геометрії ши­роко застосовуються в багатьох навчальних дисциплінах вищих еко­номічних навчальних закладів, а також в різноманітних економічних задачах. Найчастіше використовуються рівняння прямої та кривих ліній на площині, рівняння площини та прямої в просторі та їх гра­фіки.

Предмет та метод аналітичної геометрії

З шкільного курсу математики відомо, що предметом вивчення геометрії є геометричні об'єкти (точки, лінії, фігури), а предметом вивчення алгебри числа, рівняння, функції.

Предметом вивчення аналітичної геометрії є вивчення геометрич­них образів алгебраїчними методами.

Для застосування методів алгебри до розв'язування задач геометрії встановлюється зв'язок між геометричним об'єктом та числами. Спо­собом встановлення такого зв'язку є метод координат, який першим систематично використовував французький математик Рене Декарт (1596-1650).

При цьому методі найпростішому геометричному образу точці ставиться у відповідність упорядкована множина чисел координат цієї точки. Більш складні геометричні образи розглядають як мно­жину точок, що задовольняє певним умовам. Ці умови зв'язують координати точок у відповідне рівняння.

Таким чином, метод координат дозволяє кожному геометрично­му образу поставити у відповідність його рівняння, а потім шляхом аналітичного дослідження цього рівняння вивчити властивості цьо­го геометричного об'єкта.

Отже, основним методом аналітичної геометрії є метод ко­ординат.

Основні та найпростіші задачі аналітичної геометрії

В аналітичній геометрії вивчаються дві основні задачі:

Складання рівняння геометричного об'єкта, який розглядають як геометричне місце певних точок.

Дослідження властивостей геометричного об'єкта за його рівнян­ням і побудова його.

Виділяють також дві найпростіші задачі аналітичної геометрії:

знаходження відстані між двома точками;

ділення відрізка у заданому відношенні.

 

Розв'яжемо найпростіші задачі аналітичної геометрії.

Знаходження відстані між двома точками

Нехай задані точки М1 та М2. Якщо вони лежать в площині хОу,

то кожна з них має дві координати М1 (х1,У1), М2(х2,у2). Якщо вони із тривимірного простору, то кожна з них має три координати

 

Якщо ці точки із п-вимірного простору, то кожна з них має п координат.

Відстань між двома точками М1 та М2 дорівнює довжині вектора

М1М2, координати якого дорівнюють різниці однойменних коорди­нат точки М2 та М1. Але довжина вектора дорівнює квадратному ко­реню із суми квадратів його координат. Отже, маємо, що відстань між двома заданими точками М1 та М2 знаходять за формулами:

ММ2І = ^2 X )2 +(^2 У1 )2 , (1)

коли М1 та М2 належить Е2;

М1М 2 ^(Х2 X )2 +(У2 У1 )2 + ... + (^2 21 )2 , (2)

коли М1, М2 є Е3;

 

 

 

коли

М1М 2 = у](У1 X )2 +(У2 Х2 )2 + ... + (Уп Хп )2, (3) М1 (Хр x2,..., Хп ) та М2 (yl, yï,■■■, Уп )Є Еп .

 

Ділення відрізка у заданому відношенні

Нехай є заданий відрізок М1М2 тобто відомі координати його

кінців точок М1 та М2.

Поділити відрізок М1М2 у відношенні А означає, що треба знай­ти координати точки М такої, що виконується відношення мм 2 — .

З цієї рівності випливає: М1М — аММ2 .

Остання рівність означає, що вектори М1М та ММ2 колінеарні, тому їх координати пропорційні, тобто в просторі Е3 маємо:

 

X 2    х     У 2    У 2

де Мі (х.,у., гх), М2 (х2,У2,г2), М(х,у, г). З рівності х—— — а одержимо

хх 2 хх

 

хх  хх і — А(х2 -х) == хх ххі — Ах2 ах == (1 + А)

х1+ а х2

1 +л

л      •        •      • У-Уі    ^                  У + лу2 Аналогічно з рівності                       = л одержимо у = — —, а з

У2-У   1+ л

рівності                      = л одержимо 2 = — .

^2 2   1 + л

Отже, в тривимірному просторі координати точки М(х, у, 2), що поділяє відрізок М1М2 у відношенні л , знаходять за формулами

X +лх 2           У +лу2            21 +л22

 

У випадку двовимірного простору координата 21 = 22 = 0 тому координати точки М(х, у) знаходять за першими двома формулами

із (4).

Якщо точка М поділяє відрізок М1М2 навпіл, тоді вона знахо­диться у середині відрізка, А = 1 і формули (4) приймають вигляд

 

2^2 2

Якщо точки М1 (а1,а2,...,ап), М2 (Ь1,Ь2,...,Ьп)є £п, тоді коор­динати точки М(х1,х2,...,хп), що поділяє відрізок М1М2 у відно­шенні А, знаходять за формулами

= аІ±Ак, * = 1, 2,п. (6) *     1+ А

Ш Приклад 1. Знайти відстань між точками М1 (6, 5, -3) та

М2 (1, 2, 7), а також координати точки М, що поділяє відрізок навпіл.

^> Розв'язання. За формулою (3) знайдемо відстань між точками: М1М2 =^(1 -6)2 + (2-5)2 +(7 + 3)2 =уі25 + 9 +100 =7Ї34 .

Координати точки М, що поділяє відрізок М1М2 навпіл знайде­мо за формулами (5):

6 +1   7       5 + 2   7       -3 + 7 _ 2     2  у     2     2 2

 

Отже, шукана точка М

{ По I2,2,°

 

 

6.2.3. Рівняння ліній на площині

• Означення 1. Рівнянням лінії і на площині називають рівнян­ня із змінними х та у, якому задовольняють координати довільної точки М цій лінії і не задовольняють координати будь-якої точки, що не належить лінії І.

Математично це означення можна записати так:

і7(х, у) = 0 буде рівнянням лінії / на площині, якщо: і(х,у) = 0 , М(х,у)є І;

і (ос, у )ф 0, М (ос, у )і І.

Найпростішою лінією на площині є пряма. Щоб скласти рівнян­ня прямої лінії на площині треба якимось способом задати умови, які визначають її положення відносно координатних осей. Способів може бути декілька, тому можна одержувати рівняння прямої різно­го вигляду.

При складанні рівнянь ліній на площині будемо використовува­ти апарат векторної алгебри.

 

6.2.4. Різновиди рівняння прямої на площині

а) Рівняння прямої, що проходить через задану точку М0(х0, у0) перпендикулярно заданому вектору п(А,В) (див. мал. 1).

 

 

 

Подпись: Візьмемо довільну точку М(х, у) цієї прямої і розглянемо
п(А, В) вектор
М0 М = (х-х; у-уо).

Вектори М0М та п перпен­дикулярні, тому їх скалярний до­буток дорівнює нулю, тобто

А(х хо) + В (у уо) = 0. (7)

Координати будь-якої точки прямої задовольняють рівняння (7), а координати точки, що не лежить на цій прямій, не задовольняють рівняння (7). Тому рівняння (7) є рівнянням прямої, що проходить

 

через точку М0 (х0,у0) перпендикулярно вектору

п

(А, В).

 

 

Ь) Загальне рівняння прямої

+ Теорема. Будь-яке рівняння першого степеня відносно х та у визначає пряму лінію на площині.

Доведення. Розглянемо довільне рівняння першого степеня віднос­но х та у

Ах + Ву + С = 0. (8)

Це рівняння має нескінченну кількість розв'язків. Нехай (х0, у0) -один з цих розв'язків. Тоді

Ах0 + Ву0 + С = 0. (9) Віднімаючи із рівняння (8) рівняння (9), одержимо

А(х -     + В(у у) = 0. (10) Ліву частину цієї рівності можна розглядати як скалярний добу­ток векторів п = (А, В) та М0М = (х-хо; у-уо). Ці вектори перпен­дикулярні тому, що їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Отже, кінці вектора М0М належать прямій, що перпендикуляр­на вектору п і проходить через точку М0. Рівняння (8) та (10) еквіва­лентні, тому рівняння (8) є рівнянням прямої, перпендикулярної

вектору п = (А, В), що і треба було довести.

 

• Означення 2. Рівняння вигляду Ах + Ву + С = 0 називають загальним рівнянням прямої.

Це рівняння при різних числових значеннях А, В, С визначає будь-яку пряму на площині.

Проведемо дослідження загального рівняння прямої. Нехай в загальному рівнянні (8) довільний член С = 0. Тоді рівняння матиме вигляд Ах + Ву = 0. Це рівняння задовольняють координати точки 0(0, 0). Тому в цьому випадку (С = 0) пряма проходить через поча­ток координат.

Нехай в рівнянні (8) А = 0. Тоді рівняння приймає вигляд

Ву + С = 0 => у = -С-. (11) В

У цьому випадку пряма перпендикулярна вектору п =(0, В), який є паралельним осі 0у, тому пряма паралельна осі 0х і відтинає від

С

осі 0у відрізок, що дорівнює            (див. мал. 2).

В

у 4       Якщо в рівнянні (8) коефіцієнт В = 0, то воно приймає вигляд

С         Ах + С = 0 ==х = -—. (12)

В         і

Рівняння (12) є рівнянням

            ^      прямої, як;і паралельна осі Оу і

X       відтинає від осі Ох відрізок, що

Мал. 2. С

дорівнює а ■

Якщо в загальному рівнянні прямої А = С = 0, тоді рівняння прий­має вигляд у = 0 і є рівнянням осі Ох.

Якщо В = С = 0, тоді загальне рівняння приймає вигляд х = 0 і буде рівнянням осі Оу.

^ Зауваження 1. Рівняння прямої у загальному вигляді (8) з кон­кретними числовими значеннями коефіцієнтів А, В, та С використо­вуються дуже часто.

Для побудови прямої у системі координат хОу, заданої загаль­ним рівнянням, доцільно знайти точки перетину прямої з осями ко­ординат і через ці дві точки провести пряму.

Якщо в рівнянні покласти х = 0, то одержимо точку перетину прямої з віссю Оу. При у = 0 одержуємо точку перетину прямої з віссю Ох.

Якщо в загальному рівнянні коефіцієнт А, що стоїть при х, дорів­нює нулю, то пряма горизонтальна, а при В = 0 пряма буде верти­кальною.

■ Приклад 2. Побудувати лінію, рівняння якої 3х 2у + 6 = 0.

^> Розв 'язання. Задано рівняння першого степеня відносно х та у, тому ця лінія пряма, її рівняння задано у загальному вигляді. Для побудови цієї прямої знайдемо точки її перетину з осями координат.

При х = 0 маємо

-2 у + 6 = 0 => 2 у = 6 => у = 3.

При у = 0 маємо 3х + 6 = 0 == х = -2. Отже, пряма проходить через точки М1(0, 3) та М2(-2, 0).

у 4

м

Через ці дві точки можна провести лише одну пряму (див. мал. 3).

А1 х + В1 у + С1 = 0 А2 х + В2 у + С2 = 0,

^ Зауваження 2. Якщо дві прямі задані загальними рівнян­нями

та

Мал. 3.

(13)

(14) (15)

тоді умова їх паралельності має вигляд:

А1_ = В

А = В2"'

а умовою їх перпендикулярності буде

А2 + ВХВ2 = 0. Косинус кута між прямими знаходять за формулою

А2 + ВВВ2

А2 + В2 ■./А2 + В2

11   V     2 2

Відстань д, від заданої точки М0(х0, у0) до прямої, що задана за­гальним рівнянням, знаходять за формулою

 

Ахо + Вуо + С уіА2 + В2

(16)

 

с) Канонічне рівняння прямої

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через задану точку М0(х0, у0) паралельно заданому вектору £ = (/, т) (див. мал. 4). Візьмемо довільну точку М(х, у) на прямій і розглянемо вектор

М0М = /х х0,у у0). Вектори М0М та £ паралельні, тому їх координати пропорційні, тобто

у у0

, (17) Іт

Якщо точка М(х, у) не лежить

на прямій, тоді вектори М0М та

5 не будуть паралельними і рівність (17) не виконується.

Отже, рівність (17) є рівнян­ням прямої, що проходить через точку М0(х0, у0) паралельно векто-

 

ру £ = //, т).

Рівняння вигляду (17) називають канонічним рівнянням пря­мої, а вектор £ = //, т) напрямним вектором прямої.

 

d)   Якщо   напрямним  вектором   прямої  взяти вектор

 

М1М2 = (х2 х1,у2 у1) тоді одержимо рівняння прямої, що про­ходить через дві задані точки М1 (х1, у1) та М2 (х2, у2) вигляду

х          у У1

у2 у1

(18)

х2 х1

 

е) З рівняння (18) легко отримати рівняння прямої вигляду

 

ху ,

+Ь=1

аЬ

(19)

 

яке називають рівнянням прямої у відрізках, оскільки пряма відти­нає від координатних осей відрізки а та Ь (див. мал. 5).

Дійсно, пряма проходить через точки А(а, 0) та В(0, Ь). Підста­вивши координати цих точок у рівняння (18), одержимо

х 0   у Ь

а 0   0 Ь

ху

—+т = 1.

аЬ

^ Зауваження 3. Якщо дві прямі задані канонічними рівняннями

СС   ОС г

y Уо ш.

СС   СС г

та

y уо

ш2

то умовою їх перпендикулярності буде

 

l1 ■ l2 + mx ■ m2 = 0.

Умова паралельності прямих має вигляд:

ш,

/2 Ш2

(20) (21)

 

Косинус кута <р між цими прямими знаходять за формулою:

11 • 12 + ^1 • т2 (22)

cosp =

 

/2 + ш2

11

/2 + ш2

22

 

 

f) Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Нехай а кут нахилу прямої до осі Ox, тобто кут, на який по­трібно повернути вісь Ox, щоб вона співпала з прямою.

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через точку M0(x0, у0) з кутом нахилу а (див. мал. 6).

Нехай напрямним вектором буде  s = (cosa,cos/?). Але

Р = ~2^~а, тому cos/? = cos^= sina, тому s = (cosa,sina). Використовуючи канонічне рівняння прямої (17), одержимо:

 

 

cos а

y y

since

У Уо = tga-(\% Со)

 

У 4      Позначимо tg а = к, тоді остання рівність буде виглядати так:

у уо = к(х хо>(23) Це рівняння прямої, що прохо­дить через точку М0(х0, у0) з куто­вим коефіцієнтом к.

Мал. 6.

Якщо в рівнянні (23) розкрити дужки і позначити у0 кх0= Ь, то рівняння (23) прийме вигляд:

у = кх + Ь. (24)

При х = 0 ця пряма перетинає вісь Оу в точці В(0, Ь).

Рівняння (24) називають рівнянням прямої з кутовим кое­фіцієнтом к = tgа, де а кут нахилу прямої до осі Ох, Ь відрізок, який відтинає пряма від осі Оу.

^ Зауваження 4. Рівняння з кутовим коефіцієнтом вигляду (24) часто використовується в економічних задачах, тому треба вміти будувати пряму в системі хОу по її рівнянню з кутовим коефіцієн­том.

Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом у = к1х + Ь та  у = к2х + Ь2, тоді кут <р між цими прямими знаходять за формулою:

к2 к1,

(25)

 

умова паралельності прямих має вигляд:

к1= к2,

а умова перпендикулярності виглядає так:

 

(26)

 

 

 

■к2 =-1

або

к =-1

(27)

 

 

^ Зауваження 5. Рівняння прямої у різних формах дуже часто використовуються, тому для більш глибокого їх засвоєння доцільно усі поняття, позначення та формули систематизувати, наприклад, та­ким чином, як у таблиці 4, що додається в кінці цього підручника.

6.2.5. Криві лінії другого порядку

Означення 3. Кривими лініями другого порядку називають лінії, координати точок яких задовольняють рівняння другого степеня.

 

а) Рівняння кола

Означення 4. Колом називають геометричне місце точок, рівновіддалених від фіксованої точки центра кола.

Знайдемо рівняння кола.

Позначимо С(х0, у0) центр кола радіуса Я. Візьмемо довільну точку М(х, у) кола (див. мал. 7).

Тоді, за означенням кола,

 

см

М(х, у)

= Я. Але СМ = (х-х0, у-у0). Тому

д/(х-х0)2 +(у-у0)2 = Я .

Звідси одержимо:

X

(х х 0 )2 +(у У0 )2 = Я2. (28)

Мал. 7.

Цю рівність задовольняють ко­ординати довільної точки М(х, у), що належить колу, і не задоволь­няють координати точки, що не належить колу.

Отже, рівність (28) є рівнянням кола, яке називають канонічним рівнянням кола.

Якщо центр кола знаходиться в точці 0(0, 0). тоді рівняння кола спрощується і приймає вигляд

 

Я2.

2,2

х + у

(28)

Ь) Рівняння еліпса

• Означення 5. Еліпсом називають геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) дорівнює постійній величині 2а.

Знайдемо рівняння еліпса. Позначимо через Б1 та _Р2 фокуси

еліпса. Вісь абсцис Ох проведемо через фокуси Б1 та Е2, а вісь Оу 164

 

проведемо через середину відрізка [і*!, і2] перпендикулярно до осі Ох (див. мал. 8).

Позначимо відстань між фо­кусами 2с. У такій системі коор­динат і1(-с, 0), і2(о, 0), 2а >2с. Візьмемо довільну точку М(х, у) еліпса. За означенням 5 еліпса

маємо

ІіМ + Іі2 М = 2а

 

але

 

і2 М

22 + У ,

 

тому одержуємо рівняння еліпса вигляду:

■^{х + о )2 + у2 +^(х о )2 + у2 = 2а.

Будемо спрощувати це рівняння. Перенесемо один корінь у пра­ву частину рівняння та піднесемо до квадрату обидві частини:

{х + о)2 + у2 = 4а2 4ау/{х о)2 + у2 +{х о)2 + у2 =>

 

2 22

+ у = ох а .

Знову піднесемо до квадрату обидві частини, тоді одержимо

22     о2       ,22,22        22      о2 ,4

ах 2а сх + ас + а у = с х 2а сх + а =>

/2       22,22        2/2 2

== (а -с )х + а у = а (а -с ).

Поділимо обидві частини останньої рівності на а2 (а2 с2) і одержимо:

 

2 2

£_ + у

2          2 2

аа о

= 1.

 

22

Оскільки а > о , то можна позначити

Ь2 = а2 о2 ,

(29) 165

 

тоді рівняння еліпса матиме вигляд

 

2 2

+ У2 ь2

= і.

(30)

 

 

В-(0,Ь)

К (-с, 0) 0

БЛ0,-Ь)

 

Мал. 9.

 

АЧа, 0)

Рівняння (30) називають канонічним рівнянням еліп­са. Дослідження рівняння еліп­са дозволяє зробити висно­вок, що параметри рівняння а та ь дорівнюють півосям еліп­са, що розташовані на осях координат Ох та Оу, відпові­дно. Еліпс має форму, зобра­жену на мал. 9.

 

 

с) Рівняння гіперболи

• Означення 6. Гіперболою називають геометричне місце то­чок, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох заданих то­чок (фокусів) дорівнює постійній величині 2а.

Виведення рівняння гіперболи здійснюється аналогічно до виве­дення рівняння еліпса. Таким же чином позначаються фокуси Т7, К2, та довільна точка М гіперболи. За означенням гіперболи маємо;

 

К2 М = 2а:

К2 М = ±2а

 

Перехід в останній рівності до координатної форми та алгебраїчні перетворення дозволяють одержати рівняння гіперболи вигляду:

 

X

а

У

2 2

а с

= і.

 

22

XI МІ = і

2       1,2      1,

а Ь

Для гіперболи с2 > а2, тому Ь2 = с2 а2 і рівняння гіперболи буде мати вигляд:

 

який називають канонічним рівнянням гіперболи.

Дослідження рівняння (31) дозволяє одержати властивості гіпер­боли та її вигляд (див. мал. 10).

 

0

 

Мал. 10.

 

 

й) Парабола та її рівняння

Ф Означення 7. Параболою називають геометричне місце то­чок, відстань яких до заданої прямої (директриси) та заданої точки (фокуса) рівні.

 

Для одержаним рівнян­ня параболи у системі коор­динат хОу вісь Ох побудує­мо перпендикулярно до директриси і так, щоб вона проходила через фокус па­раболи - точку і. Початок координат візьмемо посере­дині між фокусом та дирек­трисою (див. мал. 11).

Відстань між фокусом і та директрисою позначимо р.

 

Тоді FX)J, рівнянням директриси буде х = ~Р■ Візьмемо дов­ільну точку М(х, у) парабола

Згідно з означенням параболи маємо:

FM = КМ.

У координатній формі ця рівність має вигляд: х+р=1(х рІ+У 2.

Ця рівність є рівнянням параболи. Піднесемо до квадрату обидві частини і, спростивши одержаний вираз, одержимо рівняння вигляду:

у2 = 2рх, (32)

яке називають канонічним рівнянням параболи.

^ Зауваження 6. Парабола у2 =-2рх розташована зліва від осі

Оу, симетрично з параболою у2 = 2рх.

Рівняння х2 = 2-у визначає параболу, віссю симетрії якої буде

вісь Оу, а рівняння директриси має вигляд: у = -—^ Зауваження 7. Якщо задано алгебраїчне рівняння другого сте­пеня вигляду

Ах2 + Бу2 + Сх + Ву + ¥ = 0, (33)

то для визначення геометричного образу, який описує це рівняння, тре­ба звести це рівняння до одного з канонічних рівнянь кривих ліній другого порядку шляхом виділення повних квадратів.

 

Ш Приклад 3. Визначити лінію, рівняння якої 2х2 8х + у2 + 6у + 1 = 0,

та побудувати її.

^> Розв'язання. Спочатку об'єднаємо члени рівняння, які містять х та у окремо, тоді одержимо:

(2х2 -8х) + (у2 + 6у) +1 = 0.

Рівняння не зміниться, якщо ми у першу дужку додамо та відніме­мо 8, а в другій дужці 9. Тоді матимемо.

(2 х2 8 х + 8 8 ) + (у2 + 6 у + 9 9) +1 = 0.

Виділимо повні квадрати:

2(х-2)2 + (у + 3)2 -8-9 +1 = 0 =>2(х-2)2 + (у + 3)2 =

 

Подпись: Позначимо= 16 ^ (Х -     , (у + 3)2 = 1.

8

16

 

Гх 2 = х

 

Гх = х + 2

(34)

 

[у + 3 = у'    [у = у'-3'

Якщо ми побудуємо нову систему координат х'О'у', початок якої

в точці О'(2, -3), а осі О'х' та О'у паралельні осям старої системи

Ох та Оу, тоді у новій системі х'О'у' координат рівняння (34) має вигляд:

 

Подпись: 8 16

=1.

 

Це є канонічне рівняння еліпса

з півосями а = 2/2 ~ 2,82, Ь = 4.

Отже, задане рівняння є рівнян­ням еліпса, який можна зобразити у системі координат (див. мал. 12).

^ Зауваження 8. Для зведення рівняння вигляду Ах2 + Ву2 + Сх2 + і = = 0 до канонічного рівняння треба мати на увазі таке:

якщо коефіцієнти А та В од­ного знаку і рівні, то це буде рівнян­ня кола;

якщо А та В одного знаку, але не рівні, то це буде рівняння еліпса;

якщо А та В різних знаків, то

 

це буде рівняння гіперболи;

й) якщо А = 0 або В = 0, то це буде рівняння параболи.

6.2.6. Задачі економічного змісту

а) Дослідження впливу розширення тракторного парку на зростання врожаю зернових

В 1980 р. держава мала 108,5 тисяч тракторів і одержала з одного гектара 8,5 ц зернових.

В 1995 р. держава мала 510 тисяч тракторів і одержала з одного гектара 21 ц зернових.

Позначимо час х, кількість тисяч тракторів у; врожай, який одержали з одного гектара, позначимо г (центнерів).

За умовою задачі маємо чотири точки:

А(х1,у1): х1 = 1980, у1 = 108,5; В(х2,у2): х2 = 1995, у2 = 510; М1 (х1,г1): х1 = 1980, г1 = 8,5; М2 (х2,г2): х2 = 1995, г2 = 21.

Знайдемо рівняння прямих графіків зростання тракторного парку та врожайності зернових з одного гектара за 1980-1995 роки у вигляді у = кх + Ь рівняння прямої з куто-вим коефіцієнтом.

Використовуючи рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, одержимо:

х -1980      у -108,5      х -1980 _ у -108,5

 

 

 

 

 

Подпись:

 

 

 

 

 

Подпись:

Таким чином, кутовий коефіцієнт прямої зростання тракторного

парку буде:

 

401,5 15

26,77.

 

Використовуючи точки М1 та М2, аналогічно знаходимо рівнян­ня прямої зростання врожайності зернових з одного гектара. х -1980   = г 8,5     х -1980 = г 8,5 1995-1980 = 21 -8,5 ^    15    = 12,5 ^

=> 12,5х 1980 • 12,5 = 15г 8,5 • 15 =>

=> 5г = 12,5х • 12,5 • 1980 8,5 • 15 => 15г = 12,5х 24877,5. Отже, її кутовий коефіцієнт буде:

12 5

к2 =125 « 0,83.

2 15

З умов задачі можна зробити висновок, що при зростанні трак­торного парку врожайність зернових з 1 га зростає. Але кутовий

коефіцієнт к1 графіка зростання кількості тракторів значно більший

за кутовий коефіцієнт к2 графіка зростання врожайності зернових.

Таким чином, зростання тракторного парка сприяє зростанню вро­жайності зернових, але не пропорційно.

Зростання кількості тракторів зростання енергоозброєності сільського господарства не є основним факторам у підвищенні ефек­тивності сільського господарства. Необхідно враховувати вплив інших факторів, наприклад, якості насіння, культуру агротехніки.

 

Ь) Визначення рентабельності транспортного постачання

Транспортні витрати перевезення одиниці вантажу (у) залізнич­ним та автомобільним транспортом на відстань х знаходять за фор­мулами:

1

у = 2 х +10 та у = х + 5,

де х вимірюється десятками км.

Побудуємо графіки транспортних витрат перевезення (див. мал.

13).

Графіки прямих перетинаються в точці ІУ(10, 15). Для перевірки координат точки ^ знайдемо точку перетину аналітично:

 

 

Подпись: х + 2 у = 20 х у = -5

Подпись:  —х + у = 10 х + у = 5 у = 15; х = 10.

 

Мал. 13.

Графіки витрат дозволяють зробити висновок:

а) коли х є [0,10), тобто

х < 100 км, транспортні витра­ти у перевезення автотранс­портом нижче витрат переве­зення залізничним транспор­том;

Ь) коли хє [10,°°), тобто

х > 100 км, більш рентабельним буде залізничний транспорт.

 

 

с) Визначення витрат палива судном на підводних крилах

Дослідженням виявлено, що витрати палива судном на підвод­них крилах зростають пропорційно квадрату швидкості судна.

Треба знайти аналітичну залежність між витратами палива т та швидкістю судна V, враховуючи, що при V = 40 км/год витрачено 20 л палива за годину, а також визначити витрати палива за годину при швидкості 60 км/год.

^ Розв'язання. Згідно з умовою задачі шукану залежність можна записати у вигляді:

V2 = Ы,

де £ деякий коефіцієнт пропорційності.

Порівняння цієї формули з рівнянням параболи у2 = 2рх дозво­ляє зробити висновок, що витрати палива змінюються за параболіч­ним законом. При т = 0 швидкість V = 0, тобто парабола проходить через початок системи координат тОУ. Згідно з умовою задачі пара­бола проходить через точку М0(20, 40), тому її координати задовольняють рівняння параболи:

402 = £ • 20 => £ = 80.

Таким чином, аналітична залежність між витратами палива та швидкістю судна буде:

 

V2

V2 = 80 • т == т = —.

80

602 80

т ■■

Графік цієї залежності зоб­ражено на малюнку 14. З ос­танньої формули випливає, що при швидкості 60 км/год витрати палива (у літрах) за годину повинні дорівнювати

 

= 45 (літрів).

 

(і) Рівновага доходу та збитків

Компанія виробляє вироби А та продає їх по 2 долари за кожний. Керівництво компанії встановило, що сума УБ загальних щотижне­вих витрат (в доларах) на виготовлення виробів А кількістю х (ти­сяч одиниць) має таку закономірність

У, = 1000 + 1300х + 100х2.

Визначити щотижневу кількість виготовлення та продажу виробів А, яка забезпечує рівновагу витрат та доходу.

^> Розв 'язання. Доход від продажу х тисяч виробів А вартістю 2 долари за кожний буде:

УД = 2000х.

Для рівноваги доходу та витрат треба щоб виконувалась рівність:

 

У = У

1000 +1300х +100х2 = 2000х => х2 7х +10 = 0

 

=>[х-2)(х-5) = 0 =>х1 = 2; х2 = 5.

Отже, ця задача має дві точки рівноваги. Компанія може вироб­ляти 2000 (х = 2) виробів А з доходом та витратами 4000 доларів, або 5000 (х = 5) виробів з доходом та витратами 10000 доларів.

Розглянемо на цьому прикладі можливості компанії. Позначимо щотижневий прибуток Р, тоді

P = YД YB = 2000x (1000 +1300x +100x2) =

= -1000 + 700x-100x2 =-100 (x-2)^-5).

З останньої рівності випливає, що при х = 2 або х = 5 маємо Р = 0, тобто ці значення х будуть точками рівноваги.

Коли 2 < х < 5, тоді х 2 > 0, х 5 < 0 і маємо Р > 0, тобто компанія одержить прибуток. При інших значеннях х, тобто коли х£ [2, 5] будемо мати Р < 0 компанія несе збитки.

 

6.2.7. Рівняння прямої та площини в просторі

а) Рівняння площини, що проходить через задану точку М0(х0, у0, г0) перпендикулярно заданому вектору п = (А, В, С) (мал. 15).

Візьмемо довільну точку площини М^, у, z) і побудуємо вектор М0M = (x-Xo, у-у0, z-Zo).

Вектори M0M та п перпендикулярні, тому їх скалярний добу­ток дорівнює нулю. Отже, маємо:

А(х-х,) + В(у-у) + C(z-Zo) = 0. (35)

 

Координати довільної точки М, що лежить в пло­щині, задовольняють рів­ність (35), а координати точки М, що не лежить в площині, не задовольняють рівність (35). Отже, рів­ність (35) є рівнянням пло­щини в просторі.

 

ь) + Теорема. Будь-яке рівняння першого степеня відносно х, у, z визначає площину.

Доведення. Розглянемо довільне рівняння першого степеня віднос­но х, у, z:

Лх + By + Cz + D = 0. (36) Це рівняння має нескінченну кількість розв'язків. Нехай

(х0,у0,z0) один з цих розв'язків. Тоді маємо:

Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0. (37) Різниця рівнянь (36) та (37) має вигляд:

А(х -     + В (у у) + С ( Zo) = 0. (38) Ліву частину цієї рівності можна розглядати як скалярний добу­ток векторів п = (А, В, С) та М0M = (х х0, у у0, z z0).

З рівності нулю скалярного добутку випливає, що п 1 M0M.

Отже, кінці вектора M0M лежать в площині, перпендикулярній п

і яка проходить через точку М0, тобто рівняння (38), а значить і (36),

визначає площину перпендикулярну вектору п .

• Означення 8. Рівняння вигляду (36) називають загальним рівнянням площини в просторі.

Дослідження загального рівняння площини дозволяє визначити її положення в просторі. Так, рівняння вигляду

Лх + Бу + Cz = 0    ф = 0)

визначає площину, що проходить через початок координат; рівняння вигляду Ах + Ву = 0 в просторі визначає площину, яка паралельна осі Oz і проходить через початок координат; рівняння х = 0 визначає пло­щину уС^; у = 0 визначає площину xOz; z = 0 визначає площину хОу.

■ Приклад 1. Задані точки М0(4, 6, 1), М1(1, 0, -2), М2(4, -2, 4). Треба:

скласти рівняння площини, що проходить через точку М0 пер­пендикулярно відрізку М1М2;

одержане рівняння звести до загального вигляду;

побудувати цю площину в системі Охуг.

^> Розв'язання.

Спочатку знайдемо координати вектора:

п = М1М2 = (4 1, -2 0, 4 (-2)) = (3, -2, 6).

Підставивши координати вектора п та точки М0 в рівняння (35), одержимо:

3(х 4) 2(у 6) + 6(2 1) = 0.

В одержаному рівнянні розкриємо дужки, тоді

3х 12 2у + 12 + 6г 6 = 0 => 3х 2у + 6г 6 = 0.

Для побудови площини в просторі знайдемо точки перетину площини з осями координат, тоді побудуємо площину по 3-х точках:

При х = 0, у = 0 маємо 6г 6 = 0 => г = 1. При х = 0, г = 0 маємо 2у 6 = 0 => у = -3. При у = 0, г = 0 маємо 3х 6 = 0 => х = 2.

 

4

1

-3^

ЩЙ/

Побудуємо в системі координат ці три точки (див. мал. 16).

Задана рівнянням площина прохо­дить через точки М3(0, 0, 1), М4(0, -3, 0), М5(2, 0, 0) і на мал. 16 заштрихована.

^ Зауваження 1. Рівняння площи- У~2   ни, що проходить через три точки

,           ,           М1(х1, у1, г1), М2(х2, у2, г2), М3(х3, у3, г3)

х          знаходять за формулою:

Мал. 16.

 

х.

2

1   у у1   г г1

1     у2 — У1     22 — г1

х3 — х1   у3 — у1   г3 — г1

 

= 0.

 

(39)

 

с) Канонічні та параметричні рівняння прямої в просторі

Нехай здана точка М0(х0, у0, z0) на прямій Ь та вектор £ =(/, т, р) паралельний прямій. Знайдемо рівняння цієї прямої.

Візьмемо довільну точку М(х, у, z) на прямій і розглянемо вектор

М0М = (х-Хр у~yo, z-zo)

(мал. 17). 176

 

 

Подпись: Вектори М0 М та 5 пара¬лельні, тому їх координати пропорційні,

,           . (40)

Іт р

Якщо точка М не нале- жить прямій Ь, тоді координа- ти  цих векторів  не про- порційні і (40) не має місця. Мал. 17.          Отже, співвідношення (40) є

рівняннями прямої Ь, які на­зивають канонічними рівняннями прямої. Вектор 5 називають на­прямним вектором прямої.

Позначимо через ґ загальне значення відношень канонічних рівнянь прямої Ь:

 

0

у — у0 _ г — г0 _

 

т

р

 

Звідси одержуємо:

(41)

 

< у = У0 + тЬ. = ^ + рЬ

Ці рівняння називають параметричними рівняннями прямої в

просторі, яка проходить через точку М0(х0, у0, z0) паралельно векто 

В рівняннях (41) Ь розглядають як параметр, що довільно змінюється в інтервалі (—о°,00). Координати х, у, z точки М залежать від Ь, тому при зміні Ь точка М(х, у, z) рухається по прямій Ь.

 

d) Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Нехай на прямій задані дві точки М1 (х1,у1, z1), М2 (х2, у2, z2).

Знайдемо рівняння такої прямої. Нехай напрямним вектором прямої буде вектор £ = M1M2 (х2 x1, у2 у1, z2 z1). Тоді, підстав­ляючи координати вектора £ в рівняння (40), одержимо рівняння

 

_          _          _   , (42)

X 2 _ Хі     у 2 _ уі     22 _ 2^

яке називають рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки М1 та М2.

 

Ш Приклад 2. Скласти канонічні та параметричні рівняння пря­мої, що проходить через точки М1(3, -5, 2) та М2(1, -1, -4).

^> Розв'язання. За формулами (42) маємо:

х_3 _ у + 5 _ 2_2 х_3 _ у + 5 _ 2_2 1_3 _ _1 + 5 _ _4_2 ^ _2 _~Т~_~_6~

або

х_3 _ у + 5 _ 2_2

1 _ ~_г _ ~3~

це канонічні рівняння прямої.

Для одержання параметричних рівнянь цієї прямої використовує­мо формули (41), тоді:

 

х

= 3 + і

= -52і

z

= 2 + Зі

 

(і) Деякі важливі формули

Вкажемо деякі формули, які можуть бути корисними при розв'я­зуванні багатьох задач і які доведені у більш повному курсі аналі­тичної геометрії.

1. Відстань і від точки М0(х0, у0, 20) до площини, заданої загаль­ним рівнянням Ах + Ву + С2 + £) = 0, знаходять за формулою

,   І Ах0 + Ву0 + С20 + Б і _]       °0      0 —к (43)

4 А2 + В2 + С2

2. Косинус кута <р між двома площинами, що задані загальними

рівняннями Ах + В1 у + С12 + Д _ 0, А2х + В2 у + С2 2 + Д _ 0, зна­ходять за формулою:

 

ео8р_— ^2 1—2     1   2 =. (44)

А2 + В2 + С2-Л А2 + В2 + С2

111 222