Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


7.1. функції та способи їх задання

7.1.1. Характеристики змінних величин

• Означення 1. Величиною називають те, що можна виразити в певних одиницях та характеризувати числовим значенням.

Наприклад, площа та довжина кола величини тому, що вимі­рюються в певних одиницях і характеризуються деяким числовим значенням. Коло не буде величиною тому, що для нього характерна лише певна форма.

Величини бувають розмірні та безрозмірні. Розмірністю вели­чини називають ту одиницю, через яку величина виражається.

Наприклад, розмірність площі см2, м2, км2.

Додавати та віднімати можна величини лише однакової розмірності. Множити та ділити величини можна будь-якої розмірності.

Наприклад, швидкість 10 км/оод ■

Якщо поділити дві величини однакової розмірності, то одержимо

ґ                          тт             5 см 1 безрозмірну величину. Наприклад,            = —.

10 см 2

В математиці найчастіше вивчають безрозмірні величини, які повністю характеризуються лише своїм числовим значенням. Вели­чини бувають постійні та змінні.

• Означення 2. Величина, числове значення якої при розглядає-мих умовах не змінюється, називається постійною.

Змінною величиною називається величина, яка при умовах, що розглядаються, може приймати різні числові значення.

До основних характеристик змінної величини відносяться: непе­рервність або дискретність, монотонність, обмеженість (повна або часткова) або необмеженість.

 

7.1.2. Поняття та характеристики функцій

Часто при дослідженні певного явища доводиться мати справу одночасно з деякою кількістю змінних величин. Наприклад, для виго­товлення виробів кількістю у застосовують х сировини, г палива і т.д.

Деякі з розглядаємих змінних можуть бути зв'язані одна з іншою так, що зміна однієї величини приводить до зміни іншої величини. В цьому випадку кажуть, що між цими величинами існує функціо­нальна залежність.

Серед функціонально залежних величин можна вказати такі ве­личини, значення яких можна обирати довільно (ці величини нази­вають незалежними змінними), тоді як значення інших величин виз­начаються значеннями незалежних змінних (їх називають залежними величинами).

Наприклад, якщо розглядати зв'язок між величинами кормів х та надоїв у, тоді доцільно за незалежну змінну прийняти х, а надої

 

Подпись:  • Означення 3. Змінна величина у називається функцією змінної величини х, якщо вказаний закон, за яким кожному значенню х, взя­тому з області можливих значень, відповідає певне дійсне значення у. Змінну величину х називають незалежною змінною або аргументом.

Якщо у є функцією х, то кажуть, що величини х та у зв'язані

 

Подпись: функціональною залежністю і позначають у = / (х) (замість літери Подпись:  • Означення 4. Функція у = /(х) називається однозначною,

якщо кожному значенню х відповідає одне значення у. Функцію у називають багатозначною, якщо кожному значенню х відповідає дек­ілька значень у.

Існує декілька способів задання функції: аналітичний, табличний, графічний, мовний та програмний. В математиці найчастіше вико­ристовують перші три способи, тому детально їх розглянемо.

При аналітичному способі функція задається однією або декіль­кома рівностями, що зв'язують залежні та незалежні змінні.

Наприклад:

Г2х -1, х < 0

а) 3х 2у = 6;    Ь) у = 3х2 - 4;    с) у = 0, 0 < х < 1 .

х + 3, х > 1

Якщо рівняння, що зв'язує аргумент х з функцією у, не розв'яза­но відносно у, а задано у вигляді Дх, у) = 0 (випадок а)), тоді змінну у називають неявною функцією х.

При табличному способі функціональна залежність задається у вигляді таблиці, в якій для кожного числового значення х вказано відповідне числове значення у. Наприклад:

 

х

0

л

6~

л

1

л

2~

 

0

1 2

2

1

 

Цей спосіб дуже часто використовується в економіці.

3. Графічний спосіб найбільш наглядний і базується на застосу­ванні методу координат. При цьому способі функціональна за­лежність зображується лінією, яку називають графіком функції.

^ Зауваження 1. Якщо функція задана аналітично, тобто за допомогою деякої формули, то неважко перейти до табличного або графічного способу завдання цієї функції. Перехід від табличного або графічного способів завдання функції до аналітичного способу потре­бує певних знань та навичок. Іноді такий перехід вдається здійснити лише наближено.

7.1.3. Деякі властивості функцій

Функція є змінною величиною, тому вона може бути монотон­ною або не монотонною, обмеженою (зверху або знизу, або зверху та знизу) або необмеженою. Крім цих властивостей часто використову­ють властивості парності та періодичності.

Означення 5. Функція у = f(x) називається парною, якщо

Д(-х) = Д(х), тобто при заміні х на (-х) функція не змінюється.

Функція у = Д(х) називається непарною, якщоД(-х) = -Д(х), тобто при заміні х на (-х) функція лише змінює свій знак на протилежний.

Відмітимо, що графіки парних функцій симетричні відносно осі ор­динат, а непарних функцій симетричні відносно початку координат.

Наприклад, функція у = созх є парною функцією тому, що соз(-х) = созх, а її графік є симетричним відносно осі Оу. Функція у = 8Іпх є непарною функцією тому, що 8Іп(-х) = -8Іпх, а її графік є симетричним відносно початку координат (див. мал. 1).

Означення 6. Функція у =Д(х) називається періодичною,

якщо існує таке постійне число со, що виконується рівність

Д(х + со) = Д(х) для будь-якого х.

Найменше додатне число со, що задовольняє цю рівність, нази­вають періодом функції. Наприклад, функції 8Іпх та созх періодичні

 

 

з періодом ш = 2п. Функції tgx та ctgx періодичні з періодом ш = п.

7.1.4. Області визначення та значень функції, заданої аналітично

• Означення 7. Областю визначення функції називають су­купність усіх тих значень аргументу х, для яких значення у , обчис­лене за формулою, будуть певними дійсними числами.

Наприклад, якщо у = х2, то х може приймати будь-які значення, тобто областю визначення цієї функції буде числова вісь

(—°°< х <°°, символ оо означає нескінченність).

Якщо у = х — 2, то у приймає дійсні значення лише при

х2 — 2 > 0 => х2 > 2 => |Х >л/2.

Таким чином, областю визначення цієї функції буде об'єднання

областей

• Означення 8. Областю значень функції у = /(х) називають сукупність усіх значень у, коли х змінюється в області визначення

цієї функції.

Так, для функцій 8Іпх та созх областю значень буде відрізок

[-1,1]

7.1.5. Основні елементарні функції

Степенева функція y = xn, де n дійсне число.

Показникова функція у = а1 , де а > 0, a Ф 1.

Експоненціальна функція (показникова з а = e) у = ех, де e - 2,7182.

Логарифмічна функція y = logax, де а > 0, a Ф 1.

Натуральна логарифмічна функція y = ln x.

Тригонометричні функції:

 

y = sinx, У = tgx,

y = secx, y = cosx, y = ctgx, y = cosecx.

 

7. Обернені тригонометричні функції:

у = аітаіпх,     у = агссозх,

у = агй^г,       у = агсй^,

у = аітаесх,     у = агссозесх.

^ Зауваження 2. Основні елементарні функції та їх графіки вив­чають у середній школі, вони відіграють важливу роль в математич­ному аналізі, тому ці функції, їх області визначення та графіки тре­ба добре знати.

 

7.1.6. Складні та елементарні функції

• Означення 9. Якщо змінна величина у залежить від другої змінної величини и, яка в свою чергу є функцією х, то у називають

функцією від функції або складною функцією. Математично це можна записати так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кажуть: у складна функція х, и проміжний аргумент, х -аргумент (незалежна змінна). Наприклад:

у = 8Іи3х, або у = и3, де и = 8Іпх.

у = агй^х2, або у = агй^и, де и = х2.

^ Зауваження 3. Від вміння швидко розщепляти складну функ­цію на основні елементарні залежать навички техніки диференцію­вання.

• Означення 10. Елементарною функцією називають таку функцію, яку можна задати однією формулою вигляду у = /(х), де вираз правої частиш складено з основних елементарних функцій та постійних за допомогою скінченної кількості операцій додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, добування ко­реня та побудови функції від функції.

Наприклад, функція

^2 х + 4-/3х — ап^ х +10х 5 — х + tg х

буде елементарною функцією, а у = 1 •2• 3• п (у = п!) не буде еле­ментарною функцією тому, що для одержання у треба зробити п опе­рацій множення, але із зростанням п кількість таких операцій буде необмеженою.