Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


7.2. нескінченно малі та нескінченно великі величини

• Означення 11. Змінна величина х називається нескінченно малою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого, абсолютна величина змінної стає і залишається менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа є,

тобто |Х < є .

Нескінченно малі величини найчастіше позначають літерами а, Р, V.

Наприклад, величина ^А при п —>оо є нескінченно малою.

^ Зауваження 4. Нескінченно мала величина є змінною величи­ною. Але, якщо постійну величину О розглядати як змінну величину, що приймає одне й те ж значення, то в цьому розумінні вона є не­скінченно малою, тобто якщо а = 0, то нерівність |а| < є виконуєть­ся для будь-якого є > 0.

Жодну іншу постійну величину, якою б малою вона не була (на­приклад, розмір електрона), не можна назвати нескінченно малою.

Розглянемо деякі властивості нескінченно малих величин.

+ Теорема 1. Алгебраїчна сума будь-якого скінченного числа нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

Доведення. Нехай задано к нескінченно малих величин

а1, а2,..., ак. Доведемо, що їх алгебраїчна сума (а1 ± а2 ±... ±ак)

буде величиною нескінченно малою. Візьмемо скільки завгодно мале є>0. Згідно з означенням нескінченно малих в процесі їх зміни наступить такий момент, починаючи з якого будуть виконуватися нерівності:

192

 

Є      \    Є        і    і є

аі\<к> N<кN<к■

 

 

 

Отже, маємо: а1 ±а2 ±... ±ак < є.

Ця нерівність, згідно з означенням 11, означає, що (а1 ± а2 ±... ±ак) є нескінченно малою величиною. Теорема доведена.

 

+ Теорема 2. Добуток обмеженої величини на нескінченно малу величину є величина нескінченно мала.

Доведення. Нехай у обмежена величина, а нескінченно мала.

Для обмеженої величини у існує таке число М, що |у| < М. Згідно з

означенням нескінченно малої в процесі змінювання наступить та­кий момент, починаючи з якого буде виконуватися нерівність

 

а < — для будь-якого є > 0. Тому, починаючи з деякого моменту, 1 1 М

буде виконуватись нерівність

а\< М   = є .

1 М

Ця нерівність означає, що у -а є величиною нескінченно малою, що і треба було довести.

Наслідок 1. Добуток постійної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

Наслідок 2. Добуток скінченної кількості нескінченно малих ве­личин є величина нескінченно мала.

Дійсно, постійні та нескінченне малі величини обмежені величи­ни, тому для них має місце твердження теореми 2.

• Означення 12. Змінна величина х називається нескінченно ве­ликою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого абсолютна величина x стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед заданого додатного числа N, тобто X > N.

Наприклад, величина 10" при n —>оо є величина нескінченно велика.

Між нескінченно великими і нескінченно малими величинами існує простий зв'язок: якщо х нескінченно велика величина, то

1 .

y = — нескінченно мала, і навпаки, якщо у нескінченно мала і

X

y * 0, то x = і буде нескінченно великою величиною.

y

Тому можна довести, що алгебраїчна сума скінченної кількості нескінченно великих величин буде величиною нескінченно великою, добуток нескінченно великої величини на обмежену величину також буде нескінченно великою величиною.

Ділення нескінченно малих та нескінченно великих величин поки що не визначено і буде розглянуто далі, після визначення границі змінної величини.