Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


7.3. границя змінної та її властивості

Із всієї множини змінних величин виділимо такі, процес зміни яких відбувається особливим чином, що дозволяє назвати ці вели­чини прямуючими до границі.

 

7.3.1. Поняття границі

Ф Означення 13. Постійна величина а називається границею змінної величини x, якщо абсолютна величина різниці x a є вели­чиною нескінченно малою, тобто |x a| <є.

Якщо число а є границею змінної х, то кажуть, що х прямує до

границі а і позначають так: lim x = a або x — a .

З цього означення границі випливає, що границя нескінченно

малої величини дорівнює нулю, тобто lim аг = 0 або а — 0 .

Нескінченно велика величина х границі не має, але умовно вва­жають, що границя нескінченно великої величини є оо, тобто |x| —>°° або lim x = ±оо.

Із означення 13 випливає: якщо в процесі своєї зміни змінна ве­личина має границю, то лише одну, а сама змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу величину, тобто x = a + ос. Саме цей факт в математичному аналізі часто використо­вується.

Тепер розглянемо границю різновидів змінної величини - послідов­ності та функції.

• Означення 14. Число a називається границею послідовності

для будь-якого наперед заданого, скільки завгодно малого є > 0 існує такий номер N, що для усіх n > N виконується нерівність xn a < є.

Позначають границю послідовності так:

lim xn = a або xn —» a при n —>°°.

Відмітимо, що номер N залежить від є і найчастіше він зростає, коли є зменшується.

• Означення 15. Число А називається границею функції у = f(x)

при x —» x0, якщо для будь-якого наперед заданого, скільки завгодно

малого є > 0 знайдеться таке число 8 > 0, що для усіх х, відмінних від x0 і які задовольняють нерівність x xJ < 8, виконується

Відмітимо, що 8 залежить від є і найчастіше зменшується, коли зменшується є.

Покажемо на графіку (мал. 2), як здійснюється прямування функції /(х) до границі А. Відклавши на осі Оу є -окіл точки А, знайдемо

проміжок (х0 -81, х0 + 821 осі Ох, для усіх точок якого значення

функції /(х) не виходить із смуги завширшки 2 є. Із

81, та 82 візьмемо менше

і позначимо його 8. Те­пер для усіх х, таких, що

|х х0| <8 виконується нерівність / (х) А <8.

 

Мал. 2.

^ Зауваження 5. Якщо функція у = /(х) має границею число А1, лише при умові, що х — х0 зліва, то використовують такий

запис:

А = Піп / (х),

 

а число Ар називають однобічною границею функції у = / (х) зліва.

Якщо число А2 є границею функції у = /(х) при х —» х0 справа, то

використовують запис:

 

Подпись: х—х0+0А2 =

1іт01 (х),

 

а число А2 називають однобічною границею функції у = / (х) спра­ва. Ці границі функції називають однобічними.

Для існування границі А функції /(х) в точці х0 необхідно і достатньо, щоб існували в цій точці границі функції зліва та справа і щоб вони були рівні, тобто А = А2 = А.

7.3.2. Порівняння нескінченно малих та нескінченно великих

Ділення двох нескінченно малих або двох нескінченно великих величин не визначено тому, що їх відношення може бути нескінчен­но малою або нескінченно великою або постійною величиною.

Дійсно, нехай а нескінченно мала величина, тоді /3 = а2,

у = 3а також нескінченно малі величини. Маємо:

/За2

— = — = а нескінченно мала величина, аа

 

Подпись: а _ а _ 1
ßa2 а
— _ —тг_ — нескінченно велика величина,

 

у   3а „

— _     _ 3 постійна величина.

аа

Використовуючи ділення, можна порівнювати нескінченно малі та нескінченно великі величини.

Означення 16. Нескінченно малі величини а та ß називаються нескінченно малими одного порядку малості, якщо їх відношення

мас скінченну границю, відмінну від нуля, тобто якщо lim ß = k Ф 0.

Якщо k _ 1, то а та ß називають еквівалентними нескінченно малими величинами.

Означення 17. Якщо відношення двох нескінченно малих вели­чин є нескінченно мала величина, тобто 1іта _ 0, то а називають

ß

нескінченно малою величиною вищого порядку малості в по­рівнянні з ß.

 

Наприклад, якщо a_ß, то limß = limß= limß _0.

Нескінченно великі величини порівнюють таким же чином.

Знаходження границі відношення двох нескінченно малих або двох нескінченно великих величин називають розкриттям невизна­ченості їх відношення.

 

7.3.3. Ознаки існування границі змінної величини

 

 

Не слід вважати, що будь-яка змінна величина має границю. Роз­глянемо, наприклад, послідовність

Ця послідовність не має границі тому, що при будь-якому п сусідні два значення цієї змінної відрізняються за модулем на дві

одиниці Отже, для є < 1 на числовій осі не має такої точки, є -окіл якої містив би усі значення х, починаючи з деякого N.

В курсі математичного аналізу для студентів університетів мате­матичної спеціальності доведені такі ознаки існування границі змінної величини.

*          Ознака 1. Якщо в одному процесі змінна величина y заключена між двома іншими змінними x та z, які мають однакову границю a, то й змінна величина y мае границю, що дорівнює a. Іншими сло­нами: якщо x < y < z, та lim x = a, lim z = a , то y також має гра­ницю lim y = a.

Цю ознаку іноді називають теоремою про двох міліціонерів.

*          Ознака 2. Обмежена монотонна змінна величина мас границю. Ця ознака вказує умови, при яких існує границя змінної величини.

Перша ознака вказує не тільки умови існування границі змінної величини, але й величину самої границі.

7.3.4. Основні властивості границі змінної величини

+ Теорема 3. Якщо х = С постійна величина, то limC _ C, тобто, границя постійної величини дорівнює самій постійній.

Дійсно, якщо усі значення х дорівнюють С, то виконується

нерівність |х C _ C — C _ 0 <є, Де є скільки завгодно мале до­датне число. Ця нерівність означає, що С є границею х = С.

 

+ Теорема 4. Границя алгебраїчної суми скінченної кількості змінних величин, що мають границі, дорівнює такій самій алгеб­раїчній сумі границь доданків, тобто

1im(x ± y ±... z) _ lim х ± lim y ± ...lim z.

Доведення. Нехай lim х _ a, lim y _ b, lim z _ c. Змінна вели­чина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу величину, тому можна записати:

х_a + а, y_b + ß,..., z_c + у,

де а, ßу нескінченно малі величини. Тепер маємо:

х ± y ±... ± z _ (a ± b ±... ± c) + (a±ß±... ±у).

В останній дужці правої частини цієї рівності маємо нескінченно малу величину, а в першій дужці постійна величина. Отже,

lim( х ± y ± ...z) _ a ± b ±... ± c _ lim х ± lim y ± ...lim z,

що й треба було довести.

 

+ Теорема 5. Границя добутку скінченної кількості змінних величин, що мають границю, дорівнює добутку границь множ­ників, тобто

lim(х• y    ■ z) _limх■ limy■ limz.

Доведення. Спочатку доведемо твердження теореми для двох множників. Нехай limх _ a, limy _ b, тоді х _ a + а, y _ b + ß, де а та ß нескінченно малі величини.

Згідно з властивостями нескінченно малих величин у_ a • ß +    b + а^ ß також нескінченно мала. Тому

х^у_a^b + у або lim(х^у)_a^b_limlimy.

Тим самим твердження теореми для двох множників доведене.

 

У випадку трьох множників доведення твердження теореми вип­ливає із доведення для двох множників та рівностей:

lim(х^у^) _ lim\^(х^у)• z] _ lim(х^у)-limz _ limlimy • limz

Аналогічно доводиться твердження теореми для будь якої кількості множників.

Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак гра­ниці, тобто

lim Сх _ lim C • lim х _ C lim х.

Наслідок 2. Границя цілого додатного степеня змінної величи­ни дорівнює тому ж степеню границі цієї змінної величини, тобто

lim (xn) = (lim x)".

+ Теорема 6. Границя частки від ділення двох змінних вели­чин дорівнює частці від ділення їх границь, якщо тільки границя дільника не дорівнює нулю, тобто

х   Ііт х Л

Іші— = -         , Ііш у Ф 0.

у   Ііт у

Доведення.. Нехай Ііт х = а, Ііт у = Ь. Тоді х = а + а, у = Ь + /3,

де а та / нескінченно малі величини. Розглянемо різницю

х   а = а + а  а = аЬ + аЬ аЬ а/ = аЬ - а/

у -Ь=ь+р~Ь=    ь2 +/ь    = ь2 +/ь '

Величини а/, аЬ, /3Ь нескінченно малі, тому чисельник правої частини є нескінченно малою величиною, а знаменник -200

скінченною величиною. Отже, дріб —      — буде нескінченно мааЬ а/З Ь2 +/ЗЬ

лою величиною, яку позначимо через у. Тепер маємо:

 

xa xa             = У або — —ь у.

yb yb

Знайдемо границю обох частин останньої рівності:

xa   lim х

lim— = — = .

y   b   lim y

що і треба було довести.

Розпишемо деякі особливі випадки обчислення границі част-y

ки z

1. Якщо lim z = °°, а y обмежена величина, тоді lim y = lim (y ■ — "1 = lim y ■ lim — = 0.

 

sin x

Наприклад, lim—t— = 0.

 

2. Якщо lim y Ф 0, a lim z = 0, тоді

lim У = lim ( y ■—І = lim y • lim f11 = <

 

1

тому, що         нескінченно велика величина.

z

Х 2 + 3

Наприклад, lim          = °°.

x -1

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Виша математика для економістів» 7.3.5. Чудові границі Перша чудова границя

При знаходженні границі виразів, що містять тригонометричні функції, часто використовують границю

 

sin X . lim       = 1,

(1)

 

яку називають першою чудовою границею.

ж

Для доведення рівності (1) побудуємо коло одиничного радіуса

та кут АОВ = х (радіан), де 0 < х < — (див. мал. 3).

 

Побудуємо лінію синуса ВС та лінію тан­генса AD. Із мал. 3 видно, що площа AAOB менше площі сектора АОВ, а остання менше

площі AAOD.

1

Площа AOAB дорівнює —sinх, площа

 

сектора ОАВ дорівнює — х, а площа AOAD

 

 

 

дорівнює — tg х. Отже, маємо нерівності sin х < х < tg х.

 

ж

При 0 < х < — маємо sin х > 0 , тому нерівності можна поділити

 

х 1

на sin х. Одержимо 1 < —    <          .

sin х   cos х

 

<1.

Для обернених величин можна записати такі нерівності

sin х

cos х <

 

 

(2)

 

х

Оскільки limcos x = 1, то за першою ознакою існування границі

x -—0

змінної величини із нерівностей (2) одержимо

 

Hm— = 1. (3)

x —0 x

x >0

Отже, рівність (1) доведена для x > 0. При x < 0 позначимо x = -t, t >0, тоді

sin x = sin (-t) = sin t = sin t x        -t        -t t Тому, для x < 0 маємо

т   sin x   Л.   sin t .

lim       = lim    = 1. (4)

x—>0     x       t -—0 t

x<0      Л         t>0 L

Із рівностей (3) та (4) випливає рівність (1), яку треба було до­вести.

■ Наприклад,

Л. sin5 x -,. 5sin5 x sin5x - lim       = lim    = 5lim  = 5.

x—0    x       x—0    5 x          x—0   5 x

 

Друга чудова границя

(    1 У

Розглянемо послідовність и = 11Н— І , " = 1,2,3,... та підрахує­мо декілька її значень

Ц = 2; и2 = (11 + 1)' = 2,25;    из = (1 + 3) = ^ = 2,37; и = ґ|1 = 2,441;           и5 = (|Т = 2,488; ...

Бачимо, що и1 < и2 < и3 < и4 < и5. Можна довести, що для будь-якого п має місце нерівність ип < ип+1 яка означає, що змінна ип монотонно зростає. В той же час усі підраховані значення ип задо­вольняють нерівність ип < 3. Можна показати, що ця нерівність має

місце для усіх значень п. Отже, змінна ип монотонно зростає і зали­шається обмеженою зверху числом 3. Згідно другої ознаки існуван­ня границі змінної величини робимо висновок, що ця змінна ип має скінченну границю.

Гі+1'

• Означення 18. Скінченну границю послідовності un

 

n = і, 2,3, ... називають числом e, тобто

 

lim Г і + 1 = e. (5)

n—°° ^    n )

Оскільки для будь-яких значень n > і мають місце нерівності 2 < un < 3 , тому число e задовольняє нерівностям 2 < e < 3 .

Число e ірраціональне, воно часто використовується в мате­матиці та економіці і дорівнює e ~ 2,718281... .

В практичних підрахунках наближено приймають e ~ 2,72. Рівністю (5) ми визначили число e при n — о, коли n приймає лише цілі та додатні значення. Можна довести таке твердження:

Якщо змінна x —>оо, приймаючи будь-які дійсні (раціональні та

 

ірраціональні) додатні значення, то функція f (x) = І 1 +—І має

 

своєю границею також число e, тобто

(    1 ^x

lim 1 + — І = e. (6)

x—>°° ^    x ) 1

x

Якщо в лівій частині рівності (6) зробити заміну — = а то ця

рівність приймає вигляд

 

lim (1 + а)<х = e.

а—0 v '

(7)

 

Рівності (6) та (7) називають другою чудовою границею. Цю

границю часто використовують в різних галузях техніки, економіки.

■ Приклад 1. Обчислити lim f1 + — 1   при постійному а.

 

^ Розв'язання. Будемо використовувати другу чудову границю. Маємо:

 

 

 

x

 

 

X

lim

fl+—1—

= <

X —»со

l    x J

 

 

lim [1 + —