Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


7.4. неперервні функції та дії з ними

7.4.1. Неперервність функції в точці і на відрізку

 

Нехай у = /(х) і аргумент х змінюється від значення х = х1, до

значення х = х2. Різницю між цими значеннями аргументу назива­ють приростом аргументу і позначають Ах. Отже, Ах

При х = х1, маємо у1 = /(х1), а при х = х2 маємо у2 = /(х2). Різницю функції, яка викликана зміною аргументу, називають при­ростом функції і позначають Ау .

Отже,

Тепер можна перейти до поняття неперервності функції. Дамо два означення неперервності функції в точці, які досить часто вико­ристовуються.

Ф Означення 19. Якщо нескінченно малому приросту аргументу Ax в точці x = x0 відповідає нескінченно малий приріст Ay функції,

що визначена в точці x0 та в її околі, то функцію y = f (x) назива­ють неперервною при x = x0 або в точці x0.

Із цього означення випливає, що для дослідження неперервності функції в точці x = x0 достатньо впевнитись, що при Ax — 0 буде Ay — 0.

Ф Означення 20. Функцію y = f (x) називають неперервною

при x = x0, якщо:

f (x) існує при x = x0 та в деякому околі точки x0;

існує скінченна границя lim f (x);

 

3) lim f (x) = f (x0) незалежно від способу прямування x до x,

тобто  Ііт /(х)= Ііт /(х) = /(х0). Останню умову можна записати так:

Ііт/(х) = / Іітх = /(хо).

х »хо   х »хо

Ця ознака нижче буде використана для класифікації точок розриву.

Ф Означення 21. Якщо функція неперервна в кожній точці дея­кого інтервалу (а,Ь), то її називають неперервною в інтервалі

(а,Ь). Якщо функція визначена при х = а і 1іто /(х) = /(а), то

кажуть, що /(х) неперервна в точці а справа. 206

Якщо f (x) визначена при x = b і lim f (x) = f (b), то кажуть,

що f (x) в точці x = b неперервна зліва.

Якщо f (x) неперервна в кожній точці інтервалу (a,b) та непе­рервна на кінцях інтервалу, відповідно справа та зліва, то функцію f (x) називають неперервною на відрізку [a, b].

Приклад 2. Знайти інтервал неперервності функції y = x2.

^> Розв'язання. Будемо використовувати означення 19 неперерв­ності функції. Візьмемо довільну точку x0 на числовій осі та позна­чимо через Ax приріст x. Тоді функція y = x  одержить приріст Ay = (x0 + Ax)2 - x2 = xö; + 2x0 • Ax + (Ax)2 x2 = 2x0 • Ax + (Ax)2.

Якщо Ax — 0, то згідно з властивостями нескінченно малих величин, Ay — 0, тобто Ay є нескінченно малою. Отже, функція неперервна в точці x0. Це твердження має місце для будь-якої точки числової осі, тому функція y = x2 неперервна на всій числовій осі.

Приклад 3. Знайти lim x2.

x—3

Разв'язання. В прикладі 2 одержали, що функція y = x2 неперер­вна при -оо < x < 00. Тому для знаходження її границі при x — 3 достатньо замість х підставити х = 3, тобто перейти до границі під знаком функції

lim x2 =(3 )2 = 9.

7.4.2. Класифікація розривів функції

Якщо при деякому х = хх будь-яка із умов неперервності озна­чення 20 не виконується, то кажуть, що функція в цій точці має розрив, а точку х, називають точкою розриву функції.

Поняття неперервності та розриву функції можна наочно пока­зати на графіку функції (див. мал. 4).

 

 

 

Подпись:

0

 

X

 

Мал. 4.

В околі точки x0 графік має вигляд неперервної лінії. При будь-якому прямуванні x — x0 f (x) — f (x0). В точках x1 та x2 інша ситуація. При наближенні x до x1 зліва f (x) — a, а при x — xx справа f (x) — b, тобто lim f (x) залежить від способу прямуван­ня х до x1. В точці х2 умова неперервності функції також не вико­нується тому, що lim f (x) = °°, тобто не існує скінченної границі.

Графік функції, що зображений на малюнку 4, має розриви в

точках x1 та x2 208

Розриви функції бувають ліквідовні та неліквідовані:

якщо функція f (x) не визначена в точці x1 або визначена, але мають місце співвідношення

Hm о f (x )= Hm о f (x )Ф f (xj),

то розрив в точці x1 називають ліквідовним. В цьому випадку функ­цію можна визначити або змінити її значення в точці x1 так, щоб вико­нувались рівності

x H^, f (x ) = xH^, f (x ) = f ).

неліквідовні розриви поділяються на розриви першого та дру­гого роду:

a)         якщо однобічні границі функції lim f (x),   lim f (x) існуx  x1-0 x  x1 +0

ють та скінченні, але не рівні між собою, то x1 називають точкою розриву першого роду, а різницю  lim f (x)lim f (x) називаx  x1+0x x1-0

ють стрибком функції;

b)         якщо хоча б одна з однобічних границь не існує або дорівнює оо, то розрив в цій точці називають розривом другого роду.

На малюнку 4 функція має розрив першого роду в точці x1, її стрибок дорівнює b а, а в точці x2 функція має розрив другого роду.

 

7.4.3. Властивості неперервних функцій та дії з ними

Приведемо без доведень властивості неперервних функцій.

+ Теорема 7 (Вейєрштрасса). Якщо функція y = f (x) непе­рервна на відрізку [a, b], то вона обмежена на цьому відрізку, тобто існують такі числа M та m, що

m < f (x)<M   для усіх xє [a,b].

+ Теорема 8. Усі основні елементарні функції неперервні в кожній точці своєї області існування.

 

+ Теорема 9. Алгебраїчна сума, добуток (скінченної кількості доданків та множників) та частка функцій, неперервних при

х = х0 (в останньому випадку дільник в цій точці не повинен дорівнювати нулю) є також неперервна функція при х = х0.

 

+ Теорема 10. Неперервна функція від неперервної функції є також неперервна функція.

 

+ Теорема 11. Будь-яка елементарна функція неперервна в кожній точці своєї області існування.