Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


7.5. задачі економічного змісту

■ Приклад 4. (Витрати, доход та прибуток). Економічним підрозділом заводу встановлено, що при виробництві х одиниць про­дукції А щоквартальні витрати У(х) виражаються формулою У(х) = 20000 + 40х (гривень),

а доход £>(х), одержаний від продажу х одиниць цієї продукції, вира­жається формулою

Б(х) = 100х 0,001х2 (гривень).

Кожного кварталу завод виробляє 3100 одиниць продукції А, але бажає збільшити випуск цієї продукції до 3200 одиниць. Обчислити приріст витрат, доходу та прибутку. Знайти середню величину при­росту прибутку на одиницю приросту продукції.

^> Розв'язання. Запланований приріст продукції буде

Дх = 3200 3100 = 100 (одиниць продукції А). Приріст витрат

Д У(х) = У(3200) У(3100) = [20000 + 40 • 3200] --[20000+ 40 • 3100] = 148000 144000 = 4000.

Приріст доходу

Д Б(х) = £>(3200) £>(3100) = (1003200 - 0,013200] --[1003200 0,013100] = 217600 213900 = 3700.

Позначимо прибуток Р(х). Тоді

Р(х) = Б(х) У(х) = 100х 0,01х2 (20000 +40х) = =60х - 0,01х220000.

Приріст прибутку буде

Д Р(х) = Р(3200) Р(3100) = [60 • 3200 0,0132002 20000] -[603100 0,0131002 20000] = 69600 69900 = -300.

Отже, прибуток зменшиться на 300 гривень. Середня величина приросту прибутку на одиницю приросту про­дукції буде

ДР (х) = -300 =_3 Дх   = 100 = .

Отже, кожна одиниця додаткової продукції зменшує прибуток на 3 гривні.

■ Приклад 5. (Зміна кількості населення). Зміна кількості населення деякого міста за час Ь, що вимірюється роками, здійснюєть­ся за формулою

Р(Ь) = 10000 + 1000Ь 120Ь2.

Визначити середню швидкість зростання населення в період між

1

часом: а) Ь = 3 та Ь = 5; Ь) Ь = 3 та Ь = 3^.

^> Розв'язання. Середню швидкість зростання населення міста за час Ь знайдемо за формулою

ДР (Ь) = Р (Ь + М)_ Р (Ь)

 

а) В цьому випадку: Д Ь = 5 3 = 2

Д Р(Ь) = Р(5) Р(3) = [10000 + 5000 120 • 25] -[10000 + 3000 1209] = 2000 1920 = 80.

Середня швидкість зростання населення міста в цей період буде

80:2 = 40.

11

Ь) В цьому випадку: Д = 3^-3 = 2

 

ДР (г ) = Р і 321" Р (3) =

10000 + 3--1000 -120 • {3-^

2          І 2)

 

1

220.