Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


8.1. похідна і диференціал

8.1.1. Деякі задачі, що привели до поняття похідної

а) Задача про швидкість прямолінійного руху

Нехай тіло рухається прямолінійно вздовж осі 0s, але нерівномір­но. Тоді координата s точки буде змінюватись з часом за деяким

законом, тобто s = s(t). Починаючи з деякого моменту t, за час At тіло пройде шлях As = s(t + At) s(t).

Середня швидкість vc руху за проміжок At буде vc = At • Серед­ня швидкість дає лише наближене уявлення про рух в окремі мо­менти часу. Так, на початку проміжку At тіло могло рухатись при­скорено, а в кінці цього проміжку часу уповільнено.

Коли проміжок часу At зменшується, тоді vc наближається до швидкості руху в момент t, що відповідає початку проміжку At.

 

ф Означення 1. Миттєвою швидкістю v (або швидкістю в

момент t) називають границю відношення приросту шляху As до

приросту часу At, коли At — 0, тобто

 

v(t) = lim —, (1)

At—0 At

Миттєва швидкість v залежить від часу t, а також від вигляду функції s = s(t).

Ь) Задача про дотичну

Нехай задана функція у = /(х). Графіком цієї функції на пло­щині хОу буде деяка крива лінія.

• Означення 2. Дотичною до кривої у = /(х) в точці М(х, у) (точка дотику) називають граничне положення МТ січної ММ1, коли точка М1, рухаючись вздовж кривої, прямує до точки дотику М (див. мал. 1).

З малюнка видно, що тангенс

кута нахилу січної ММ1 до осі ()х

буде

 

1 ДхДх Із означення дотичної випли­ває, що її кутовий коефіцієнт

к = tga є границя, до якої пря­мує кутовий коефіцієнт к1 = tga1

Мал. 1.

Отже, одержали & = tga

січної при необмеженому набли­женні точки М1 до точки М, тоб­то при Дх — 0 .

Ах —>0 Дх     Ах^0

 

(2)

Ах

 

с) Задачі про маргінальні вартість, доход, прибуток

Маргінальними витратами називають гранично можливі витра­ти в умовах хоча б постійного відтворення виробництва відповідної продукції. Аналогічно визначають маргінальні доходи та прибуток.

Позначимо через V(х), £)(х) та Р(х) витрати, доходи та при­буток виробництва х одиниць продукції. Кожна з цих величин є певною функцією кількості одиниць х виробленої та проданої про­дукції.

Якщо підприємство збільшує випуск продукції на Ax одиниць, то ці функції одержать приріст

AV ( x ) = V ( x + Ax ) V ( x ); AD( x) = D( x + Ax) D( x); AP( x ) = P ( x + Ax ) P ( x ).

Відношення приросту функцій до Ax характеризує приріст відпо­відної функції на одиницю приросту продукт, а границя цього відно­шення при Ax — 0 стає маргінальною.

Отже, маємо:

V ( x + Ax ) -

V(x).

Ax

 

D( x + Ax )-

D( x )

Ax

 

P ( x + Ax) -

P(x).

Маргінальна вартість

lim AV(x) = lim ' ул ,LM7   ' w . (3)

Маргінальний доход

lim AD(x) = lim       ' ^>         . (4)

Ax—0     Ax   Ax—0

 

Маргінальний прибуток

AP(x) P lim       = lim —           . (5)

Ax—0   Ax     Ax—0 Ax

Розглядаючи різні задачі, ми одержимо однакові формули (1)-(5) для їх розв'язків, а саме, шукану величину знаходять шляхом застосування граничного переходу до відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

 

8.1.2. Означення похідної та деякі її інтерпретації

 

• Означання 3. Похідною функції у = /(х) за аргументом х

називають границю відношення приросту функції Ду до приросту аргументу Дх, коли Дх довільним образом прямує до нуля. Якщо ця

границя існує, то її позначають через /'(х) або у' або —, або 218 —f (x)

—dx— ■ Отже, математично похідна функції визначається за фор­мулою:

f Xx) = lim f (x + Ax) f (x + Ax) ■ (6)

Ax—0 Ax

Відмітимо, що похідну f'(x) одержали за допомогою гранично­го переходу при постійному x, тому при x = а вона приймає кон­кретне значення, яке позначають f (а) або ——У

dx

• Означання 4. Операцію знаходження похідної функції

y = f (x) називають диференціюванням цієї функції. Функцію f (x),

яка має похідну в точці х, називають диференційованою в точці х. Якщо функція має похідну в кожній точці деякого проміжку, то її називають диференційованою у цьому проміжку.

Повертаючись до розглянутих вище задач, які привели до понят­тя похідної, робимо такі висновки:

механічний зміст похідної: похідна S' (t) є величиною миттє­вої швидкості в момент t тіла, що рухається за законом S = S(t);

геометричний зміст похідної: похідна f'(x) дорівнює куто­вому коефіцієнту дотичної до графіка функції y = f(x) в точці з абсцисою x;

економічний зміст похідної: похідні V'(x) , D'(x) , P'(x) до­рівнюють маргінальній вартості, доходу та прибутку, відповідно.

Нижче, у розділі 8.6, буде детально розглянуто ще один при­клад економічного змісту похідної першого порядку, а саме елас­тичність функції, яку часто застосовують при розв'язанні економіч­них задач.

8.1.3. Зв'язок між неперервністю та диференційованістю функції

+ Теорема. Якщо функція y = f(x) диференційована в деякій точці x0, то вона в цій точці неперервна.

Доведення. Якщо y = f (x) диференційована в точці x0, то згідно

з означенням похідної при x = x0 існує скінченна границя

 

Aim0 7у=f (x0).

В силу того, що границя змінної величини відрізняється від самої змінної лише на нескінченно малу а, то з останньої рівності маємо

Ay = f(x0) + а^> Ay = f(x0)Ax + aAx. (7) Ax

Оскільки f'(x0) постійна величина, то з властивостей не­скінченно малих випливає, що обидва доданки в правій частині (7) є нескінченно малих величинами. Із (7) випливає, що Ay — 0, тоб­то функція y = f (x) неперервна в точці x0. Теорема доведена.

Т Наслідок. З цієї теореми випливає, що неперервність функції є необхідною умовою диференційованості функції. Це означає, що в точ­ках розриву функція не має похідних, тобто вона не диференційована.

Функція, яка неперервна в точці x0, може бути не диференційо­ваною в цій точці. Наприклад, функція y = |x| неперервна в точці x = 0, але не має похідної в цій точці тому, що

 

lim — = -1, а lim — = 1,

Ax—-0 Ax      Ax—+0 Ax

 

тобто границя відношення —y залежить від способу прямуванAx

ня Ax — 0 .

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної 8.1.4. Означення диференціала

Нехай функція y = f (x) диференційована в інтервалі (а, b), xє (а,b).

Згідно з означенням похідної функції y = f (x) маємо

 

lim — = f( x).

Ax—0 Ax

Зміна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малуа , тому

Ay = f( x) + а => Ay = f ( x )Ax + aAx. (8) Ax

Функція диференційована в точці x, тому вона неперервна в цій точці, але тоді при Ax — 0 величини Ay, f'(x)Ax та а-Ax бу­дуть нескінченно малими. Порядок малості цих трьох величин різний: f'(x)Ax та Ay мають однаковий порядок малості, а величина а-Ax є нескінченно малою вищого порядку малості. Отже, при f'(x) Ф 0 перший додаток у правій частині рівності (8) є головною частиною приросту функції. Він є лінійним відносно Ax .

• Означення 5. Головну лінійну частину приросту функції нази­вають диференціалом цієї функції. Диференціал функції y = f(x) по­значають dy або df(x).

Таким чином,

dy =f (x)Ax .

Отже, для знаходження диференціала функції y = f (x), що має по­хідну в точці x, треба помножити значення цієї похідної на приріст

аргумента Ax або на —x (Ax = —x). З рівності

—y = f( x )—x (9)

одержимо /'(х) =     , тобто похідна функції дорівнює відношенню йх

диференціала функції до диференціала незалежної змінної.

Диференціали часто застосовують для знаходження наближених значень функції.