Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


8.2. знаходження похідних першого порядку

8.2.1. Основні правила диференціювання

Правила сформулюємо у вигляді теорем. + Теорема 1. Похідна постійної величини C дорівнює нулю, тобто C = 0.

Доведення. Дійсно, нехай y = C, тоді Ay = 0 для будь-якого Ax, в тому числі і при Ax — 0. Згідно з означенням похідної

y = lim Ay = lim -°L = 0 ,

Ax—0 Ax   Ax—0 Ax

що і треба було довести.

 

+ Теорема 2. Якщо кожна із функцій f1(x), f2(x)fn(x)

(n скінченне число) диференційована в деякі точці x, то їх алгебраїчна сума також є диференційованою в цій точці, причо­му похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі їх похідних, тобто

U(x)±f2(x)±...±fn(x)/ = f(x)±f/(x)± ... ±f (x). (10)

Доведення. Нехай y = f1(x)±f2(x)± ... ±fn(x) і аргумент x одержує приріст Ax . Тоді y також одержує приріст

Ay = [   x + Ax) ± f( x + Ax) ± ... ± fn (x + Ax )]-If1(x) ± f2(x) ±... ±fn (x)] = Af ±Af2 ± ... ±Afn.

Згідно з властивостями границі і з тим, що існують похідні функцій f1 (x), f2(x),... , fn(x) маємо, що y існує, причому

y = lim Ay = lim Af-± lim f ± ... ± lim f.

Ax—0 Ax   Ax—0 Ax   Ax—0 Ax        Ax—0 Ax

Підставивши значення y, одержуємо

[f1(x) ± f2(x) ± ... ± fn(x)]' = f (x) ± f/(x) ± ... ± f (x),

що і треба було довести.

Аналогічно можна довести слідуючі теореми.

+ Теорема 3. Якщо кожна з функцій u(x) та v(x) диферен­ційована в точці x, то добуток цих функцій також має похідну в точці x, причому цю похідну знаходять за формулою

[u( x) v( x)] = u'(x) v( x) + u( x) v'(x) . (11)

 

 

+ Теорема 4. Як^о и(х) ота о(х) мають похідні в точці х і

u'(x) v( x) u(x) v'(x) v 2( x)

ю(х) Ф 0, то частка цих функцій також має похідну в точці х, яку знаходять за формулою

(12)

и( х) _ ю( х)

 

> Теорема 5. Якщо у = /(и), и = ср(х) і функції / та ер ди­ференційовані функції своїх аргументів, то існує похідна по х складної функції у, причому вона дорівнює добутку похідної функції у по проміжному аргументу и та похідної функції р по аргументу х, тобто

Ух = Уи • и'х •

8.2.2. Похідні основних елементарних функцій

 

+ Теорема 1. Якщо y = loga x (a > 0, a Ф 1), то y = — loga e.

x

Доведення. Нехай x довільна точка із (0, °°). Візьмемо приріст аргумента JAx < x| і знайдемо приріст функції

 

Ay = loga (x + Ax) loga (x) = loga   = log a I 1 + — ] .

x          {     x J

Тому

 

Ax ^Ax _ 11

^ = _L log a [l +          ] = loga I 1 + ~ Г = " l0ga

Ax   Ax      [     x J        [     x J x

1 +

Ax V

x]J

 

Звідси, за допомогою граничного переходу, використовуючи дру­гу чудову границю, одержимо

 

Ay1

y _ lim —  — 1oga

Ax-° Axx

lim I 1 +

Ax -»0l

Ax ^)A x]J

1

_~ l0gae •

x

 

 

▼ Наслідок. При a = e, маємо: якщо y = lnx, то y ■.

1

 

x

 

+ Теорема 2. Якщо у = Xа, де а довільне дійсне число, тоді

у' = аXа-1.

Доведення. Функція у = Xа визначена лише для х > 0 для довільних

а, тому вона додатня і її можна прологарифмувати, тоді 1п у = аіп х.

а-1

1

y _а-xa — _а-x

x

Використовуючи правило диференціювання складної функції, одержимо

1,1, 1 — • у =а— => у = у-а—

ух X що і треба було довести. 224

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної Аналогічно доводять слідуючу теорему.

Теорема 3. Якщо y = ax, то y' = ax ■ In a . T Наслідок. Якщо y = ex, то y = ex.

Теорема 4. Якщо u = sin x, то u = cos x .

Якщо v = cosx, то v =-sinx.

Доведення. Доведення проведемо, спираючись на означення по­хідної. Дамо x приріст Ax, тоді приростом функції буде

,      . ,     а*       о* xx i^Axx*  xx      xx I ^Ax* I xx Au = sin(x + Ax) sin x = 2 sin          cos       =

 

. Ax

Ism      cos

2

( Ax' x +—

2

 

,     . ч  ,. . х + Ах-х   . х + Ах + х

Av = cos(х + Ах) cosх = -2sm         sm       

2 2

„ . Ах   . (     АхЛ

= -2sm sml х + — І.

2      І     2 )

Використовуючи першу чудову границю і властивості неперерв­них функцій, одержимо

sin Ах

u = lim Аи = lim——2■ lim cos(х + А^-І = cos х,

Ах—0 Ах     Ахн>0     Ах      Ахн>0        і  2 )

 

sin Ах

v = lim Аи = lim ——2■ lim sin | х + Ах | = sin х,

Ах—0 Ах       Ах—0     Ах      Ах—0       і  2 )

 

що і треба було довести.

♦ Теорема 5. Якщо и = tgx, v = ctgx, mo

1          n -1

и = —2—' x Ф — + nn; v = —2—' x * nn.

cos x       2       sin x

sin x     cos x

Доведення. Маємо: и = tgx =           ; v = ctgx =      .

cos x    sin x

Використовуючи правило диференціювання частки, одержимо

/        ч/   (sin xУ • cos x (cos xУ • sin x   cos2 x + sin2 x 1 и = (tgx) =-     —        cos2xcos2xcos2x

sin2xsin2x

/ / ^ 4,(cos)' • sinx (sinX) ■ cos x -1 о = (ctgx) -—— що і треба було довести.

 

8.2.3. Диференціювання функцій, заданих неявно та параметрично

Якщо функціональна залежність між у та х задана неявно, тоб­то рівністю ¥(х, у) = 0 , тоді для знаходження похідної по х функції у треба продиференціювати тотожність ¥(х, у(х)) = 0, враховую­чи, що у залежить від х, а потім розв'язати рівняння, яке одержа­ли, відносно у .

 

■ Приклад. Знайти у , якщо у2 2рх = 0.

^ Розв 'язання. Продиференціюємо задане рівняння по х:

2 у ■ у' 2 р = 0 => 2у • у' = 2 р => у' = Р.

у

Використовуючи цей спосіб, знаходять похідні обернених триго­нометричних функцій, а саме:

 

якщо у = ап^т х, то у   —      ;

VT"?

, -1

якщо y = arccos x, то y

t      , 1

якщо y = arctgx, то y =          2;

 

-1

якщо y = arcctgx, то y

1 + x2

Нехай залежність y від x задана параметрично у вигляді

 

і   ,L> (14)

де t параметр.

При зміні t змінюється x та y , а точка з координатами (x, y) рухається по деякій лінії на площині, яка є графіком залежності y від x.

Якщо t одержить приріст At, то x та y також одержать прирісти Ax = (p(At +1) -cp(t), Ay = ^(At +1 )-ys{t), причому при At — 0 , Ax — 0 та Ay — 0. Тому

 

yx =lim^y = Ii m W = ±t—°к^^^ =гф.

^ At)    Aim0 Г At )

Отже, похідну функції, яка задана параметрично, знаходять за формулою

у,=4. (15)

Усі правила та одержані формули знаходження похідних доціль­но записати у вигляді таблиці і добре запам'ятати тому, що вони часто використовуються. Така таблиця є в цьому підручнику (дивись таб­лицю 5 наприкінці).

8.2.4. Приклади з економічним змістом

Приклад 1. Для функції витрат підприємства (у гривнях)

V(х) = 0,001х3 0,3х2 + 40х +1000

знайти маргінальну вартість як функцію х та обчислити маргінальну вартість, коли вироблено х1 = 50, х 2 = 100 та х3 = 150 одиниці про­дукції.

^ Розв'язання. Згідно з пунктами 1.1 та 1.2 цього розділу для знаходження маргінальної вартості треба знайти похідну функції витрат, тобто

V (х) = [0,001х3 -0,3х2 + 40х +1000]' = 3• 0,001х2 -0,6• х + 40.

Одержали функцію маргінальної вартості для довільної кількості х виготовлених одиниць продукції, коли приріст х зростає на дос­татньо малу величину.

При х1 = 50 одержимо

V'(50) = 0,003-(50)2 -0,6• 50 + 40 = 7,5-30 + 40 = 17,5. При х2 = 100 маємо

Г(100) = 0,003-(100)2 -0,6-100 + 40 = 30-60 + 40 = 10.

Коли х3 = 150, тоді

V'(150) = 0,003-(150)2 -0,6-150 + 40 = 67,5-90 + 40 = 17,5.

Отже, можна казати, що вартість виготовлення 51-ої та 151-ої одиниць продукції підприємства буде 17 гривень 50 копійок (Ах = 1), а вартість 101-ої одиниці буде лише 10 гривень.

Приклад 2. Для функції витрат виробництва х одиниць про­дукції (у гривнях) вигляду V (х) = 1000 +10х + 0,1х2 знайти маргі­нальну вартість та середню вартість виробництва одного виробу підприємства.

^ Розв'язання. Маргінальна вартість виробництва буде

V (х ) = 10 + 0,2х. Середня вартість виготовлення одиниці продукції буде

тТ, ,   V(х)   1000        _ . V (х ) = —^ = +10 + 0,1х.

Неважко бачити, що ці величини зовсім різні.

Приклад 3. Визначити маргінальний доход виробництва 300 одиниць виробів, якщо кількість виготовлених виробів знаходиться за формулою

х = 1000 -100р,

де р роздрібна вартість одного виробу.

^ Розв'язання. Спочатку визначимо роздрібну вартість р оди­ниці виробу як функцію кількості х, виготовлених виробів. Із заданої рівності

х = 1000 -100р => 100 р = 1000 х => р = 10 0,01х.

Функція доходу буде

В (х ) = х р = х (10 0,01х ) = 10 х 0,01х2.

Для знаходження маргінального доходу при х = 300 треба знай- ти значення    при х = 300. Шляхом диференціювання функції В(х) одержимо

В (х ) = 10 0,02 х.

Отже, маємо

В (300) = 10 0,02 300 = 10 6 = 4.

Приклад 4. Підприємство виготовляє х виробів, роздрібна вартість кожного з них р, причому

р + 0,1х = 80, а функція витрат V (х) = 5000 + 20х (у гривнях).

Знайти маргінальний прибуток, якщо виготовлено та продано 150 і 400 виробів.

^ Розв'язання. У даному випадку функцією доходу буде

В (х ) = х • р = х (80 0,1х ) = 80 х 0,1х2. Прибуток від виготовлення та продажу х виробів буде Р(х) = В(х)V(х) = 80х-0,1х2 -(5000 + 20х) = 60х-0,1х2 -5000. Знайдемо маргінальний прибуток для довільного х:

Р (х ) = (60 х 0,1х2 5000) = 60 0,2х. Тому для х = 150 та х = 400 одержимо: Р (150 ) = 60 0,2 • 150 = 30, Р (400 ) = 60 0,2 • 400 = -20.

Отже підприємство буде мати збитки розміром 20 гривень за кожний виріб, який буде виготовлено та продано при зростанні кількості виробів.

 

■ Приклад 5. (Прибуток та реклама). Мале підприємство може виготовити та продати кожну одиницю виробу з прибутком 10 гривень. Якщо підприємство витрачає х гривень на рекламу виробів, тоді кількість проданих виробів дорівнює

1000 (1 е "0,001х)х • 10-1. Знайти швидкість зміни прибутку, відносно зміни витрат на рек­ламу при х = 1000 та х = 3000.

^ Розв'язання. Оскільки кожен виріб дає 10 гривен прибутку, тому   задана   кількість   проданих   виробів   дає прибуток

Р = 10000(1 -е"0,001х)-х з урахуванням витрат на рекламу. Швидкість змін прибутку відносно зміни витрат на рекламу знайде­мо шляхом диференціювання Р:

Р = -10000(е"°'001х) -1 = -10000 -(-0,001)е-°тх -1 = 10е-),001х -1. 230

При х = 1000 та х = 3000 маємо

Р(1000) = 10 • е-1 -1 = 10 • 0,3679 -1 = 2,679,

Р(3000) = 10• е~3 -1 = 10• 0,0498-1 = -0,502.

Отже, при витратах на рекламу 3000 гривень прибутки спадають.

 

■ Приклад 6. Нехай валовий продукт деякої держави змінюєть­ся з часом Ь за формулою

П = 100 + Ь (мільярдів гривень), а кількість населення змінюється за законом

Р = 120 + 2Ь (мільйонів). Знайти швидкість зміни частини валового продукту держави, що припадає на кожного громадянина.

^ Розв'язання. Позначимо через у(Ь) частину валового продук­ту держави, що припадає на кожного громадянина. За умовою цього прикладу

(Ь)   П    100 + Ь (       б)

у(Ь ) = — =     (тисяч гривень на одну особу).

Використовуючи механічний зміст похідної та правило диферен­ціювання частки, знаходимо шукану швидкість

(100 + Ь ))(120 + 2Ь )-(100 + Ь )(120 + 2Ь ) = У (Ь)= (120 + 2Ь)2 ~

= 1 ^(120 + 2Ь)-2 (100 + Ь ) = (120 + 2Ь )2

120 +2Ь-200 -2Ь-80 -20

4 (60 + г)         4 (60 + £)    (60 + Ь)

Отже, частина валового продукту кожного громадянина з часом

зменшується.

Барковський В.В., Барковська H.B. «Вища математика для економістів» 8.2.5. Вправи до розділу 8.2

1. Знайти похідні першого порядку заданих функцій

b) u

(y2 -5);

y+­.    y)

ґ     3 Y

а) y = (x +1) (x3 + 3 );

 

с) f (x ) =x-+r;d) y=~z—H";

x -1      t 5

e) u = (2x2 +1)2;

 

f) z-­

x

) y = x

^ x ,

h) y = ln

ґ x2 + 1 >

v x + 1 )

 

2. Знайти диференціали першого порядку функцій

 

Подпись: ч	1 +
a) y = —
b) y = sin3 2x ;c) y = 3cosx;

1 tgx

d) y = lnctg3Vx ;e) y = (esinx 1)2;f) y = 3arctgx2; g) y = x • arcsin2x.

3. Знайти границі функцій при x —> x0.

 

Подпись: + xа) f (x)

1Y. лЯ

x

x = o;

0

 

 

ln-2 x2

 

x0 = 1 ;

b) f (x ) =

30

1-x

f (x ) = (2x + 3x ): (2x 3x ), x0 -—«>;

f (x) = (ex x) : x, x0 = 2.

Подпись: 4. Знайти похідні першого порядку функцій, заданих неявно та параметрично
a) x sin y y cos x = 0;
c) xy + In y 2 • In x = 0;

e)

[ x = t + lncos t y = 1 -lnsint ;

 

b) exy -x2 + y2 = 0; d) y ln x x ln y = x + y;

[ x = 2t sin2t f) [y = sin21 ;

 

 

 

h)

x = ctgt

1

y =

cos2t

 

5. Розв'язати задачі з економічним змістом, використовуючи по­хідну.

Знайти маргінальний доход підприємства, якщо кількість ви­готовлених та проданих виробів х та роздрібна вартість кожного

виробу р зв'язані рівністю х = 4000 2р.

Розв'язати задачу а) при умові, що х = 4000-^р.

Функція витрат підприємства має вигляд

V (х ) = 2000 +10х 0, їх2 + 0,002х3 (тисяч гривень). Знайти маргінальні витрати при х = 50 , х = 100 та х = 120.