Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


8.3. похідні вищих порядків

8.3.1. Поняття похідних п -го порядку

Нехай функція у = /(х) визначена та має похідну першого по­рядку в інтервалі (а,Ь). Тоді її похідна у = /' (х) також буде функ­цією, що визначена в (а, Ь). Можна чекати, що ця функція /'(х) має похідну в деякій точці х інтервалу (а, Ь). Таку похідну називають другою похідною або похідною другого порядку функції у = f {х) в точці x і позначають

Ґ{х) або у* у"х або °-у-.

ах

Аналогічно визначають похідні третього, четвертого порядків. • Означення 6. Нехай п = 1, 2, 3,... Якщо функція у = Ґ {х) має

похідну {п-1) порядку, диференційовану в деякій точці х інтервалу

{а,Ь), то похідну від Ґ{п-1){х) називають похідною п-го порядку і позначають так:

Ґ {пх), у{п), у?, або ^.

Згідно з цим означенням п похідна функції у = Ґ {х) визначаєть­ся рівністю

у -1 у ']. (16)

Похідні вищих порядків мають широке застосування.

Так, якщо функція 5 = 5 {і) описує закон руху матеріальної

точки, то її перша похідна Б' {і) дає величину миттєвої швидкості, а

друга похідна Б"{і) дорівнює швидкості зміни швидкості, тобто це є прискорення в момент і.

Якщо V{х) є функція виробничих витрат (витрати на виготов­лення х виробів), то V'{х) дає маргінальну вартість, тобто витрати на досить малу частину виготовлення додаткової продукції. Друга похідна V"{х) дає швидкість зміни маргінальної вартості відносно змін кількості випуску продукції. 234

Ш Приклад 7. (Аналіз функції витрат). Для функції витрат V(x) = 0,001x3 0,3x2 + 40x +1000

маргінальна вартість буде

V (x ) = 0,003x2 0,6x + 40, друга похідна має вигляд

V" (x ) = 0,006x 0,6 = 0,006 (x -100).

Коли x = 150 маємо: V(150) = 17,5; V"(150) = 0,3.

Остання рівність означає, що кожна додаткова одиниця виробле­ної продукції спричиняє зростання на 0,3 маргінальної вартості.

 

Ш Приклад 8. Знайти похідну першого та вищих порядків функції

y = 3 x4 5 x3 + 7 x2 -1. ^ Розв'язання. Шляхом послідовного диференціювання знаходимо: y' = 12x3 15x2 +14x y = 36x2 30x +14

y(3) = 72x 30 У(4)= 72 Для n > 5 маємо      = 0.

Вкажемо декілька формул, які використовуються при знаходженні похідних порядку n > 2 .

і   ■       (n)        ■    ( яЛ

(sinx)   = sin I x + n ■ — I (17)

 

I           (n)       ( ПЛ

(cos x)   = cos I x + n ■ — I (18)

 

(y ± u ± v )(n)= y(n)± u(n)± v{n) (19) (и• V){п) = и{п) • V + Єпи{п-1) • V + С2пи{п-2) • V" + Сп3и(п-3) • с(3) +...

М (20)

 

Подпись: т 	
п
де С

п!

т !(п т)!

 

 

8.3.2. Вправи до розділу 8.3

Знайти похідні усіх порядків функції

у = 3 х5 + 7 х3 4 х2 +12. 1

Знайти и", якщо и = —2       .

х2 +1

Знайти у", якщо у = (х + і)е-х.

Знайти маргінальну вартість та швидкість її зміни відносно кількості виробів для функції витрат

V (х ) = 500 + 30х 0,1х2 + 0,002х3.