Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


8.4. основні теореми диференціального числення

Застосування похідних під час дослідження функції базується на слідуючи теоремах, що доведені математиками Франції у XVII та XVIII століттях.

т . (2і)

+ Теорема Лагранжа (про скінчений приріст функції). Якщо функція у = /(х) неперервна на [а,Ь] і має похідну в усіх точ­ках інтервалу (а,Ь), то всередині цього інтервалу існує хоча б одна точка £(а <£,< Ь) така, що виконується рівність

 

Ь а

Дамо геометричне дове­дення цієї теореми. Прове­демо січну АВ до графіка

у = /(х) (див. мал. 2) і буде­мо пересувати цю січну пара­лельно самій собі, поки вона не стане дотичною до графіка

функції в деякій точці С з аб­сцисою Відмітимо, що до­тичну до графіка функції можна провести в кожній точці, що лежить всередині

[а, Ь], тому що за умовою теореми функція має похідну в усіх точ­ках (а, Ь).

Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює кутовому коефіцієнту січної, а саме

ВМ = / (Ь)-/(а)

АМ       Ь-а '

Але, згідно з геометричним змістом похідної, кутовий коефіцієнт

дотичної до графіка функції в точці С дорівнює /'(£). Одержимо рівність

 

Ь а

=ґ 0?),

 

що і треба було довести.

 

Рівність (21) називають формулою Лагранжа. Її можна записа­ти у вигляді

/ (Ь)-/(а ) = Г(Ї)Ь а), (22)

і тоді доведену теорему можна сформулювати так: скінчений приріст диференційованої функції на відрізку дорівнює відповідному приросту аргументу, помноженому на значення похідної функції в деякій внутрішній точці відрізка.

 

+ Теорема Ролля (про нулі похідної). Якщо функція у = / (х)

неперервна на відрізку [а, Ь], диференційована в усіх внутрішніх точках цілого відрізка, а на його кінцях приймає рівні значення, то похідна / (х) дорівнює нулю хоча б в одній внутрішній точці

£(а<^<Ь) цього відрізка.

Доведення. Якщо /(х) неперервна на [а,Ь] і диференційована в усіх внутрішніх точках, тоді для /(х), згідно з теоремою Лагранжа,

має місце рівність (22). За умовою теореми Ролля / (Ь) = / (а), тому одержуємо

(Ь а )• / '(£) = 0.

Але Ь Ф а, тому Ь а Ф 0 і з останньої рівності випливає, що = 0. Теорема доведена.

 

Теорема Ролля має простий геометричний зміст: якщо функція задовольняє умовам теореми Лагранжа і приймає рівні значення на кінцях відрізка, то знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка функції буде паралельна осі абсцис.

 

+ Правило Лопіталя. Нехай /(х) та g(х) неперервні та

мають похідні в усіх х Ф а з околу точки х = а, а в точці а рівні нулю або нескінченності. Тоді граниіця відношення функцій дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання існує, тобто

Якщо відношення —-—знову є невизначеністю вигляду — або g (x) 0

 

— і похідні f (x) та g(x) задовольняють умовам правила Лопі—

таля, то для обчислення границі можна застосувати правило Лопіта-ля вдруге і т.д.

 

X3

■ Приклад 9. Обчислити lim—.

 

\% Розв'язання. Уданому випадку f (x) = x3 та g(x) = ex задо­вольняють умовам правила Лопіталя. Відношення їх є невизначеність

вигляду — при x -— —. Застосувавши правило Лопіталя, одержуємо:

-і.   xx    -і.   3 xx    -і.   6і xx   -і. ^) lim— = lim      = lim— = lim— = 0.