Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


8.6. один з прикладів економічного використання похідної

Розглянемо ще одне із можливих використань похідної в еконо­мічних задачах.

 

8.6.1. Поняття еластичності попиту

В багатьох задачах суттєву роль грає еластичність попиту. Оз­найомимось з поняттям еластичності та деякими застосуваннями її.

Нехай р вартість одного виробу, ах кількість виробів, що виготовлена та продана за деякий певний інтервал часу. Нехай

х = / (р). Еластичність попиту позначають літерою ] (ета) і визна­чають так:

р ^ ах   р/ р) (28)

хар  } (р)

Дамо пояснення еластичності попиту г]. Якщо вартість виробу зросте зр до р + Др, тоді і кількість виробів також зміниться на величину Дх = /(р + Др) — /(р). Відносний приріст вартості буде

Др Дх

—, а відносний приріст функції попиту буде       . Якщо відносний

рх

приріст помножити на 100, то одержимо відповідний відсоток змін

початкової вартості та початкового попиту.

Наприклад, початкова вартість одного виробу 2 гривні зросла до

2,1 гривень, тоді Др = 2,1 — 2 = 0,10 гривні. Отже, відносна вартість Др = 0,05 вказує зростання початкової вартості. Якщо цю величир

ну помножити на 100, то одержимо відсоток зміни початкової вар­тості кожного виробу:

100 •Др = 100 • 0,05 = 5\%. р

Дх

Аналогічно 100         дорівнює відсотку зміни початкового попих

ту. Якщо зростання вартості р викликає спад попиту, тоді Дх < 0 .

Розглянемо відношення відносного приросту попиту до віднос­ного приросту вартості одиниці продукції

Дх : Др = рДх х рхДр

Це співвідношення показує, в скільки разів відносний приріст попиту більше відносного приросту вартості кожного виробу.

Якщо в останній рівності перейти до границі при Др — 0, то

одержимо:

р  ах рДх

г = —х—= іші ^

 

азу x Ap

 

рДх

Оскільки границя г відрізняється від виразу —          на нескінченно малу більшого порядку малості відносно Др — 0, то г ~        ,

х Др

або відсоток зміни попиту ~]. (Відсоток зміни вартості).

Наприклад, якщо зростання вартості на 2\% викликає спадання

—3

попиту на 3\%, тоді еластичність попиту буде Т = ~^ = —1,5.

Якщо еластичність попиту г = —0,5 , тоді 4\% зростання вартості викликає зміну попиту на (—0,5) • 4\% = —2\% .

Ф Означення 14. Якщо відсоток зміни попиту більше відсотка зміни вартості (г <—1), тоді попит називають еластичним. Якщо

відсоток зміни попиту менше відсотку зміни вартості (—1 <г<0),

тоді попит називають не еластичним. Якщо г = — 1, то попит на­зивають адекватним вартості одиниці вибору.

258

Поняття еластичності можна застосувати і до інших функцій економічного змісту.

Узагальнення формулюється так.

Ах

Нехай задана функція у = f (х). Будемо називати              відносх

АУ      •           ф ...

ним приростом аргументу, а                  відносним приростом функції.

У

lim

' Ау

Ах ^

= lim

( ху

 

Ах н>0

V У

х j

Ах н>0

V У

Ах j

Якщо існує похідна функції у = f (х), тоді існує границя

 

:£ lim Ау = х х ^ = х х f '(х),

уАх ->° Ах   у  ах у

яку називають еластичністю функції у = f (х) відносно змінної х

і позначають Ех (у). Отже, еластичність

 

у ах

Ця еластичність є наближений відсоток приросту функції (зрос­тання або спадання), відповідний приросту незалежної змінної на

1\%.

 

■ Приклад 15. Встановити зв'язок між доходом підприємства та еластичністю попиту.

^ Розв'язання. Функція доходу підприємства

D (х) = х ■ p,

де х кількість виготовлених та проданих виробів, p - вартість кож­ного виробу. Маргінальний доход відносно вартості буде

dD(х)    d ,     ,ах     (.   p ах^ ч —-Г~і = -г(х■ p) = х + p— = х 1 + —■— = х(1 + ?]). (30) dp     dp           dp     V    х dp j

Якщо попит еластичний, то ї]<—, тому 1 + 7]<0 і з формули

 

(ЗО) випливає, що       < 0, тобто доход В, який розглядають як йр

функцію вартості р , спадає.

 

Якщо попит не еластичний, то —1 < 7] < 0, тоді 1 + 7] > 0 і      > 0.

йр

Отже, у цьому випадку доход В зростає.

 

Якщо попит адекватний вартості, то 7] = — 1, 1 + 7] = 0 і       = 0,

йр

тобто доход не змінюється.

 

8.6.2. Вправи до розділу 8.6

Задано зв'язок між кількістю виготовлених та проданих виробів х та вартістю кожного виробу р. Треба:

визначити еластичність попиту при р = 12. При зростанні вар­тості на 8^\% знайти наближене значення відсотку зміни попиту.

х = 250 — 30р + р2.

При р = 250 — 0,5х і 0 < х < 250 показати, що попит на х еластичний і функція доходу спадає, а також показати що при 250 <х <500 функція попиту не еластична і доход підприємства зростає.