Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


9.1. функції, їх способи задання, області визначення, границі та неперервність

9.1.1. Поняття функції кількох змінних та області її визначення

При дослідженні процесів часто спостерігають одночасну зміну декількох величин і залежність однієї з них від інших.

Означення 1. Якщо змінна величина т залежить від п неза­лежних змінних х1, х2 ... хп, то її називають функцією цих змінних,

а функціональну залежність позначають так:

т = /(х1,х2,...,хп), або т = /(М), де точка Мє Еп. Незалежні змінні рівноправні і називаються аргументами.

Означення 2. Сукупність усіх числових значень, які можуть прий­мати аргументи х1, х2, ... хп і при яких функція т = / (х1, х2,..., хп) приймає певні дійсні значення, називають областю визначення функції.

Якщо функція визначена для усіх х1, х2 ... хп з деякої області Б та її межі (Ю, тоді кажуть, що функція визначена у замкненій області В = Б и (В.

 

■ Приклад 1. Знайти область визначення функції

и = -у/25-(х +1)2-(у-2)2 -г2 .

^> Розв 'язання. Задана функція и залежить від трьох змінних х, у та г. Вона приймає певні дійсні значення лише при умові

25-(х +1)2-(у-2)2 -г2 >0(х +1)2 +(у-2)2 + г2<25.

Рівність (х а )2 +(у Ь )2 +(г с )2 = Я2 є рівнянням сфери з

центром у точці С (а, Ь, с) і радіусом Я.

Отже, одержана нерівність означає, що областю визначення

функції и буде куля радіуса 5 з центром в точці С^1,2,0).

Нерівність нестрога, тому функція и визначена на сфері - межі цієї кулі. Отже, задана функція и визначена у замкненій області

В = {(х +1)2 +(у-2)2 + г2 <25}.

Згідно з основними поняттями аналітичної геометрії, функція двох змінних г= /(х, у)в тривимірному просторі зображується деякою поверхнею. Кожна точка цієї поверхні М' має координати (х,у, г). Областю визначення функції г = /(х,у) буде деяка об­ласть Б площини хОу (див. мал. 1). Коли точка М(х,у) пробігає область Б, тоді точка М'(х,у,г) пробігає поверхню Б, рівняння якої г= /(х, у).

 

Отже, функцію двох змінних х , у можна зада­ти як функцію змінної точ­ки М , що змінюється в об­ласті Б , тобто

г = / (М).

Аналогічно можна розг­лядати і функцію в аргу­ментів, як функцію точки

М , що знімається в області

Б п -вимірного простору

Еп, тобто т = /(М), М є Б є Еп.

 

 

9.1.2. Способи задання функції кількох змінних

Функцію однієї змінної можна задавати аналітично, таблично, графічно, мовно і за допомогою комп'ютерної програми. Функцію

двох змінних г= /(х, у), крім цих способів, можна задавати ще й геометрично, за допомогою ліній рівня.

У табличному способі завдання функції г = /(х,у) використо­вують таблицю з двома входами вигляду

 

 

 

Уі

 

Уп

 

 

 

 

 

X 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

п

 

 

 

 

У кожній клітці вказують значення г для відповідної пари (х, у).

Розглянемо геомет­ричний спосіб задання функції. Нехай графі­ком функції г= /(х, у)

, /(х, у)=Н2

буде поверхня, зображе­на на мал. 2. Неважко ба­чити, що різні точки цієї поверхні знаходяться на різній відстані від пло­щини хОу.

Якщо придати г постійні значення

/(х, у)=п

Мал. 2.            К, /г2,..., то одержимо

в площині аргументів

лінії / (х, у) = Н1 та / (х,у) = й2,..., які називають лініями рівня функції / (х, у).

• Означення 3. -Криві лінії Ь , що лежить у площині хОу і ма­ють рівняння / (х, у ) = с (с стала) називають лініями рівня

функції г= / х, у).

Іншими словами: лінія рівня це множина усіх точок площини хОу, для яких функція г= / х, у)приймає одне значення.

 

■ Приклад 2. Визначити лінії рівня функції г = (х 2 )2 +(у + 3 )2.

^> Розв'язання. Згідно з означенням 3 рівняння ліній рівня має вигляд

(х-2)2 +(у + 3)2 = с .

Якщо надати c різні числові значення (наприклад, c = 4 , c = 9, c = 16,...), то одержимо сукупність кіл з центром в точці C(2,-3) з

відповідними радіусами (наприклад, 2, 3, 4,...).

Відмітимо, що лінії рівні широко використовуються в топографії. На топографічних картах нанесені лінії рівня, для яких величина c

дорівнює hk. Величина h вказана на карті (наприклад, h = 3 м) і доз­воляє ефективно використовувати умови місцевості.

У випадку залежності функції від трьох та більшої кількості змінних найчастіше використовують аналітичний спосіб задання функції.

 

9.1.3. Границя та неперервність

•           Означення 4. Околомрадіуса r точки M0(x10, x20, xn0) називають сукупність усіх точок M(x1, x2,     xn) простору En,

-j(xi — xio )   + (x2 — x20 )   + ... + (xn — xn0 )    — Г .

•           Означення 5. Число A називають границею функції w = f (xi,x2,...,xn) (або w = f (M)) в точці M0(x10, x20, xn0), якщо для будь-якого є> 0 знайдеться число r таке, що для усіх то- чок      з околу радіуса r точки M0 , відмінних від точ- ки M0 , виконується нерівність

) — A <£ або f(M) — A <£■ Використовується позначення:

lim f (x1, x2,     xn ) = A або lim f (M) = A.

... ...

xn ~—xn 0

відстань яких до точки M0 менше або дорівнює r, тобто виконується співвідношення

0 Означення 6. Функція тю = f (х1,х2,...,хп) (® = f (М)) на­зивається неперервною в точці М0 (х10, х20, хп0), якщо вона визначена в цій точці і ^ііш f (М) = f (М0) незалежно від способу

прямування точки М до точки М0.

Функція, неперервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області.

Якщо функція неперервна в області В та на її межі (В, тоді

кажуть що вона неперервна в замкненій області В = В [] (В.

При знаходженні області неперервності функції багатьох змінних доцільно використовувати слідуючу властивість неперервних функцій:

області визначення та неперервності функцій співпадають.

Крім цієї властивості неперервних функцій часто використову­ють ще таку властивість:

функція, неперервна в замкненій області В, обмежена, тоб­то існують такі числа т та М, що виконується співвідношення

т < f (х1, х2,     хп)<М для усіх (х1, х2,     хп)є В.

 

9.1.4. Вправи до розділу 9.1

1. Знайти значення заданої функції у вказаних точках:

a)         f (х,у,г) = х2 + 2у2 + 3г2, М0(1,2,3), М1 (-2,1,-4);

b)         f (x, у о=х+у+!", (x, y, *)=(І 1Д), (x, у *)=(Іт-1);

c)         f(и,V) = и + їйVI, (и,V) = (2,1), (и,о) = (-2,-в), (и,V) = (0,в3);

а) f (х,у) = (х"1}; М0 (1,-2), М1 (3,-2), М2(2,-2). х + у

2. Знайти області визначення та неперервності функцій:

 

 

 

Подпись: x + у

z =

2,2

х + у

; c) z = ln (4x2 + 9y2 36);

ln (x у)

Подпись: 3а) z = yj 16 х2 у2; Ь)

d) z = ^Jх-*Jy ;      e) u = ху + 2yz-3zx;    f) z

 

3. Побудувати графіки ліній перетину поверхні г = ^(х,у) та площин х = 0, ±1;  у = 0, ±1:

 

а) z =х2-у2;

c) z = J 25-(х + 3)2 у2

Ь) z =2х2+у2; d) z = 2х2 у2.

 

22

х + у2

4. Обчислити границі: а) їіт

у^л/ х2 + у2 +1 -1

 

Ь) hm-*—=2   2—;

у^о°     х +у

 

1

 

sin (х2 + у2) c) lim   \          

х ^°    х2 + у

d) lim—2         г

у-° х + у

 

 

 

f) lim—2         2r.

хУЛх + у

e) lim(l + х2 • у2 )х2 у2; 5. Знайти розрив функції:

1          у2 + 2 х

а) z =   ;    Ь) z = J2       ;    c) z:

х у     у 2х