Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


9.7. вправи до розділів 9.2-9.5

1. Зайти усі похідні другого порядку функції:

 

а) г­

2х ;

у+1'

Ь) z =  х2 + у2;

с) z = 2х2у 3у2;

 

d) z = 5х3 + 3у4 +10; е) z = х 1п у у21п х; 0 z = е2х+3у; Я) z = (3х + 2у)5.

2.

 

4Л,5

функції z = 3ху

84 z

Знайти похідні гух та

9х (8у)

 

Ь) Знайти похідні       та       функції z = хе2х+у .

3. Для заданої функції знайти похідну за напрямом І та градієнт в точці М0:

 

а) и = 1^2х2 + 2 у2; /

VI 1

2 ,2

,  ^0 (1,-1);

 

 

 

Ь) г = 2х2 -3у2; І

л/3 1

22

М 0 (0, -2);

 

 

 

с) и = х3 + у3 3ху; І

1 ^ї"

2, 2

,  М0 (2,1);

 

 

 

d) и = 3 х2 + 2 у3 + г2; І =

1>/3 72

22 2

М0 (2, -2,1).

 

4. Зайти повний диференціал функції

х

а) г = еу;     Ь) и = ху + 2уг-г2х;      с) и = 3х2 + 4у2 + г2;

сі) тю = х + 2у + 5[х2 + у2 3);

 

і) тю = ^1 у2 4 х;

5. Знайти екстремуми функцій

е) г

2 2 1 Х+ У

9 4 Я) и = їй (4 х2 у2).

 

 

а) г =

х2 ху + у2 + 9х 6у + 20;

Ь)

г = ех-у ■[х2

с) г =

х

е2 ■ (х + у2);

с) и

8 х = + + у;

ху

е) тю =

= х3 + у3 3 ху;

і) и

4,4

-х + у -х

Я) г =

3х2 х3 + 3у2 + 4у;

Ь) г

= х3 + 3 ху2 -

Знайти умовні екстремуми функцій:

ч          11 1

г = х + у при — + — = -;

ху 2

11

и = — + — при 3х + у 2 = 0;

ху

г = х2 + у2 ху + х + у 4 при х + у + 3 = 0; сі) тю = ху2 при х + 2у = 1;

е) и = 2х + у 2г при х2 + у2 + г2 = 36.

Знайти найбільше та найменше значення функції в області £).

 

г = 1 + х + 12у; Я = {х >0; у >0; х + у< 1};

г = х2у; в = {х2 + у2 < 1}.

 

 

 

 

Ь) с)

 

а)

 

X

3

4

5

6

7

8

у

0,7

1,9

2,1

2,5

3,4

4,5

 

 

 

 

 

 

 

X

0

1

2

3

 

 

У

1

1,5

2,5

3

 

 

 

X

2

3

4

5

6

у

2

4       3,5       5 6,5

 

 

Задачі з економічним змістом

9. Розв'язати задачі з використанням частинних похідних.

Відкритий циліндр радіуса г та висотою Н виготовлено із матеріалу вартістю 20 гривень за м2. Встановити можливу вартість циліндра V як функцію г та Н .3 якою швидкістю змінюється

вартість при зміні г або Н ?

Закономірність втрати теплоти внаслідок конвекції має виг­ляд у = с(Т-Т0 V3, де Т температура тіла, Т0 температура зовнішнього середовища, V швидкість вітру, с деяка стала.

Знайти: у'т, уТ0, у'у, та вказати їх смисл.

Задана функція попиту на товар А

ХА = 500 + 3РВ 6Р2,

де РА та Рв вартість одиниці товарів А та В, відповідно. Визначити еластичність функції попиту відносно РА та Рв , коли РА = 5, Рв = 30.

а) Перевірити конкурентність товарів А та В, якщо функції попиту на ці товари

ХА = 500 + 8РВ 4РА2; Хв = 300 9РВ + 2РА.

е) Знайти маргінальну продуктивність праці та капіталу для про­дуктивної функції Р = с • Ка ■ х1-а, де с та а постійні. 294

10. Розв'язати задачі оптимізації.

а)-Ь) Мале підприємство виробляє товари А та В. Загальні щоденні витрати С виробництва (у гривнях) х одиниць товару А та у одиниць товару В відомі:

С = 1500 7,5х -15у 0,3ху + 0,3х2 + 0,2у2;

С = 250 4х 7у + 0,2х2 + 0,1у2.

Визначити кількість одиниць товарів А та В , яку треба вироб­ляти, щоб загальні витрати підприємства були мінімальними.

Використовуючи х одиниць праці та у одиниць капіталу (тисяч гривень), підприємство виробляє продукцію, загальна вартість V якої (у тисячах гривень) має вигляд

V = 40 50у 3 х 2 ху + 1,5у2 + х2.

Знайти кількість одиниць праці та капіталу, при яких підприєм­ство має оптимальну загальну вартість продукції. Чому дорівнює значення оптимальної загальної вартості?

сі) Підприємство виготовляє два різних типи товарів собіварті­стю 10 та 30 гривень. Річний попит на товари х1 та х2 відомий (у тисячах одиниць):

х1 = 30 + 2Р2 5Р1; х2 = 100 + Р1 + 2Р2.

де Р1 та Р2 ціна продажу товарів першого та другого типів, відповідно.

Визначити Р1 та Р2 , при яких підприємство одержить максималь­ний прибуток. Знайти величину максимального річного прибутку.

е) При складанні телевізорів завод може використовувати кінес­копи виготовлені в Кореї та Японії. Застосування кожного кінеско­па із Кореї дає прибуток 5 гривень, а із Японії 6 гривень.

Згідно з умовами постачання, кожного тижня завод може вико­ристати х та у (тисяч) кінескопів, виготовлених в Кореї та Японії,

відповідно, причому х2 + у2 + 2х + 4у 56 = 0. Знайти максималь­ний щотижневий прибуток заводу і відповідний попит на кількість кінескопів з Кореї та Японії.

11. Розв'язати задачі з використанням методу найменших квад­ратів.

а) Таблицею задані величини товарного обігу х (тис. гривень).

 

х

60

80

120

160

240

320

у

5510

5760

6235

6750

7685

8635

Обрати вигляд залежності між у та х і визначити її параметри. Ь) В таблиці вказано кількість внесених добрив на 1 га (х) та врожай пшениці (у) центнерів.

 

х

1

2

3

5

7

9

11

12

у

24

26,5

28

37

40

46

49

50,5

Обрати вигляд залежності між у та х і визначити її параметри. с) Таблицею задані витрати пального на 100 км (у) в залежності від пробігу автомобіля (х) тис. км.

 

х

1

5

15

30

50

60

70

100

120

150

у

23,026

27,57

22,275

23,18

22,5

22,6

22,9

25

27,4

32,5

Обрати вигляд залежності між х та у і визначити параметри цієї залежності.