Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


10.1. антипохідні (первісна та невизначений інтеграл)

10.1.1. Поняття антипохідних та інтегрування

Із елементарної математики відомі взаємно обернені дії: додаван­ня та віднімання, множення та ділення, піднесення до степеня та добування кореня, логарифмування та потенціювання. Іншою парою взаємно обернених математичних операцій є диференціювання та інтегрування.

У частині 8 викладено основи диференціального числення функцій однієї змінної. Диференціюванням функції, як відомо, на­зивають процес знаходження похідної ¥'(х) або диференціала

Обернений процес знаходження функції ¥(х) за заданою похідною ¥'(х) = /(х) або заданим диференціалом й¥(х) = / (х)йх

називають інтегруванням функції /(х), а знайдену функцію

¥(х) називають антипохідною або первісною.

Частину математики, що вивчає цей процес та його застосуван­ня, називають інтегральним численням функції однієї змінної.

Розглянемо приклад задач, що приводять до необхідності інтег­рування функції.

Якщо функція 5 (Ь) вказує закон зміни відстані Б з часом Ь  нерівномірного руху, то миттєва швидкість цього руху

 

 

 

 

 

Подпись:

 

знаходиться диференціюванням функції

297

 

Але іноді трапляється так, що швидкість нерівномірного руху V[Ь) відома як функція часу Ь і треба знайти закон зміни 5 [Ь)

відстані 5 з часом Ь. У цьому випадку 5' [Ь) задана і треба виз­начити 5 [Ь), тобто виконати операцію, обернену диференціюван­ню.

Інший приклад, якщо нам відома маргінальна функція витрат V'[х) і треба знайти функцію продуктивних витрат V[х) вироб­ництва х одиниць продукції.

• Означення 1. Первісною функцією для заданої функції

/[х) називають таку функцію ¥[х), похідна якої дорівнює

/[х), або диференціал якої дорівнює /[х)((х.

Отже, первісна функція ¥ [х) для заданої функції /[х) задо­вольняє рівності

¥'[х ) = / [х)   або   (¥ [х ) = / [х )((х.

х 3

Наприклад, функція ¥[х) = — буде первісною для функції

3

 

/ [х) = х2 тому,

що

х

= х2 або (

 

V 3 У

= х2 (х.

 

Згідно з правилами диференціювання, функції, що відрізняють­ся лише постійним доданком, мають однакову похідну, тобто

[ ¥ [х) + С ]' = ¥' [х ) = / [х).

Тому, якщо /[х) має первісну ¥[х), то вона має нескінченну кількість первісних функцій, відмінних одна від одної на постійний доданок, тобто функцій вигляду ¥ [х) + С, де С довільна стала.

Наприклад, функція /(о) = 3х2 має первісні

оо , ос і 1, ос    7, >.., ос і тому, що похідні усіх ціх функцій однакові і дорівнюють 3о2.

+ Теорема 1. Будь-які дві первісні для заданої функції /(о) відрізняються лише постійним доданком.

Доведення. Нехай і; (о) та і2 (о) первісні для функції /(о). Тоді

 

Звідси випливає, що

Р;(о)-Р2(о) = 0 або [і;(о)-Р2(о)]' = 0.

Остання рівність означає, що

Рх (о)-Р2 (о) = С або і; (о) = Р2 (о) + С,

що і треба було довести.

▼ Наслідок. Щоб знайти усю нескінченну множину первісних функцій (сукупність антипохілннх) достатньо знайти лише одну первісну функцію, а усі інші одержати додаванням до неї постійної.

Отже, сукупність первісних функцій має вигляд і (о) + С, якщо і (о) одна із первісних.

Ф Означення 2. Сукупність усіх первісних і (о) + С для заданої функції /(о) називають невизначеним інтегралом і позначають

|/(о. Отже.

| / (о     = і (о) + С. Знак | означає операцію інтегрування і називається знаком

інтеграла, вираз /(о)dх називають підінтегральним виразом,

299

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

функцію f (х) підінтегральною, змінну х, що стоїть під знаком диференціала, називають змінною інтегрування, ¥(х) деяка пер­вісна для заданої f (х), а С довільна постійна інтегрування.

Процес знаходження невизначеного інтеграла називають інтег­руванням.

у 4

у = ¥(х) + С

Мал. 1.

Якщо побудувати криву-графік однієї первісної функції ¥(х)  (мал. 1), то усі інші криві (графіки інших первісних для однієї функції) одержуються шляхом зміщення цієї кривої по Оу на вели­чину, що дорівнює значенню постійної С .

 

10.1.2. Основні властивості невизначеного інтеграла

300

1. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегрально-

Тому

І | / [х )с(х = І [ ¥ [х) + С ] = І¥ [х) = ¥'[х )сіх = / [х )сіх . 2. Невизначений інтеграл від диференціала функції дорівнює сумі функції та довільної сталої, тобто |(¥[х) = ¥[х) + С. Дійсно,

| І¥ [х) = | ¥'[х )((х = | / [х )((х = ¥ [х) + С.

Зауважимо, що з першої властивості випливає, що комбінація символів "і|", застосована до виразу /[х)((х , взаємно знищуєть­ся. З другої властивості випливає, що комбінація символів " і|",

застосована до деякої функції ¥ [х), додає до цієї функції довіль­ну сталу С .

 

10.1.3. Таблиця основних інтегралів

Згідно з означенням невизначеного інтеграла

якщо І¥[и) = /[и)((и, то |/[и)((и = ¥[и) + С.

Тому, використовуючи таблицю диференціалів основних елемен­тарних функцій, одержимо таблицю інтегралів

к+1

( ип+1 ^

V п + 1У

= ипіи,            і. ГипІи = — + С, [п

•'          п +1

І [1пи) = -,      2. ГІи = 1пи + С;

 

Подпись: и аи
= аиІи,	з. ГаиІи = Ж— + С;
•І	1п п
Подпись: V 1п а 

1па

І [еи ) = еиіи,  4. еиіи = еи + С ;

 

 

Подпись: 8.| 9.1Подпись: диПодпись: 10. 1Подпись: 22
а2+ и2
д (ът и ) = соэ иди, д (-соэ и) = иди,

соэ и ди

д (tg и )■■ ди

д (-ctg и) =

и

ади

д I агсэт и д І arctgи І

 

и

ди

эт2 и

ди

л/а2 и2

ди

22

а + и

 

и

= агсэт— + С; а

 

1 ^ и „ —агС£— + С. аа

 

Додамо до цієї таблиці ще три інтеграла, які часто використову­ються.

 

Подпись: +С .

 

Подпись: +С.

11.       1

12.       1

ди

и2-а22а ди

= 1п

и-а

и+а

 

и + V+ а

 

 

13.       = ііп и2 ± а + С.

 

У цих формулах и може бути незалежною змінною [и = х) або

проміжним аргументом [и = ср[х)).

Основні (табличні) інтеграли грають важливу роль в інтеграль­ному численні, тому їх треба запам'ятати. Більш повна таблиця не-визначених інтегралів наведена у таблиці в кінці підручника.

10.1.4. Основні правила інтегрування

Постійний множник A можна виносити за знак інтеграла:

y = j Af (u )du = Aj (u )du.

Дійсно, позначимо y = Aj(u)du, тоді

dy = d [ A j f (u )du J = Ad ^j" f (u )du = Aj f (u )du.

Звідси одержуємо:

y = j" Af (u )du.

Отже,

j Af (u )du = AJ f (u )du,

що і треба було довести. Наприклад,

rcos X j       1 f            ,       1   . „

"           —dx = — " cos xdx =— sin x + C.

J  12        1^ 12

Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченої кількості функцій дорівнює тій самій алгебраїчній сумі невизначених інтегралів від кожної із функцій-додатків:

{[f (u)±f2(u)±„.± fm(u)}iu = jf1 (u)du± jf2(u)du±...± jfm(u)du. (1) Дійсно, позначимо

y = j f1 (u )du ± j f (u )du ±. „ ± j fm (u )du (2) і знайдемо диференціал цієї функції

dy = d j f1 (u )du ± d j f2 (u )du ±... ± d j fm (u )du =

= f (u )du ± f2 (u )du ±... ± fm (u )du.

Але тоді первісною буде

y = j[ f1 (u )± f2 (u )± ± fm (u )^ du . (3)

Ліві частини в (2) і (3) рівні, тому і праві частини також рівні, тобто має місце рівність (1), яку треба було довести.

Зауважимо, що застосування цих правил в деяких випадках по­требують певних перетворень.

 

■ Приклад 1.

а) г[2х +1)2 Іх = г[4х2 + 4х + 1)іх = 4|х2Іх + 4|хіх +1Іх =

3 2

= 4. ±_ + 4. ±_ + х + С.

 

Ь) Знайти антипохідні функцій / (і ) =

3 5і + 7і2 + І3

і2

 

^ Розв'язання,. Сукупність усіх антипохідних це невизначений інтеграл. Згідно з правилами інтегрування та таблиці інтегралів одер­жуємо:

3 5і ++ 7 2 ++3 а = \[3 5+7 ++ у а = 31+2 а 5 {^+7 |іі +

+ -2+1 +1+1    3 +2

+ Г і = 3 і        51п і + 7+ + — + С = 3 51п 1+1 + 7+ + — + С.

•"-12    і       11 2

 

■ Приклад 2. Заданий маргінальний доход фірми

Г' [х ) = 15 0,01х.

Знайти функцію доходу та визначити відношення між вартістю одиниці продукції та проданою її кількістю.

^ Розв 'язання. Функцію доходу фірми можна знайти інтегруван­ням маргінального доходу, тобто

Г[х) = Г[х)іх = \[15 0,01х)іх = 15|Іх 0,01|хіх =

х 2

= 15 х 0,01— + С = 15х 0,005х2 + С,

2 де C постійна інтегрування. Для знаходження C використаємо той факт, що доход повинен дорівнювати нулю, коли не продано жодної одиниці продукції, тобто при x = 0 маємо

0 = 15 • 0 0,005-(0 )2 + C => C = 0.

Отже, функція доходу фірми має вигляд

D (x ) = 15x 0,005x2.

Якщо вартість кожної одиниці проданої фірмою продукції P і продали x одиниць продукції, то доход буде

D (x ) = Px.

Отже, маємо

Px = 15x 0,005x2 => P = 15 0,005x.

Остання рівність описує потрібне відношення.