Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


10.3. поняття інтегралів, що не виражаються елементарними функціями

Математиками доведено, що будь-яка неперервна функція має первісну і, отже, невизначений інтеграл. Але первісна елементарної функції не завжди буде елементарною функцією. Існують прості елементарні функції, первісні яких не можна виразити скінченою комбінацією елементарних функцій.

Доведено, наприклад, що жоден із інтегралів

І           ах,   І   ах,   І в ах,   І в   ах,   І— ах,

•'•у      у          Л         Л         J у

 

■' іпх   3 X

rsin X , „ І           dx = C +

X

не виражається елементарними функціями. Такі інтеграли іноді зуст­річаються у практичній діяльності, тоді їх розглядають як нові функції і обчислюють за допомогою рядів або нескінченних добутків елемен­тарних функцій. Наприклад, доведено, що

3 5

1!   313   515

Суму членів степеневого ряду правої частини приймають за нову

sin X

функцію, яку позначають 8і (х) = \  dx і називають синус

3 х

інтегральний змінної х.