Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


11.1. означення та властивості визначеного інтеграла

 11.1.1. дачі, що привели до поняття визначеного інтеграла

Розглянемо дві задачі геометричну та фізичну. 1. Обчислення площі криволінійної трапеції. Нехай на відрізку [а, Ь] визначена неперервна функція у = / (х) і будемо поки що

вважати, що /(х)> 0 для усіх хє [а,Ь].

Фігуру, обмежену кривою у = / (х), відрізком [а, Ь] осі Ох, пря­мими х = а та х = Ь, називають криволінійною трапецією (див. мал. 1). В окремих випадках може /(а) = 0 або /(Ь) = 0 і тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку.

Для обчислення площі Б цієї криволінійної трапеції

вільним чином на п частин точками

< ... < х„ = Ь.

Довжини цих частин

А.х^ —      х^_і, к — 1,2,. • •, п.

321

поділимо відрізок [а,Ь] доПерпендикуляри до осі Ox, проведені із точок ділення до пере­тину із кривою y = f (x), розділяють усю площу трапеції на n вузь­ких криволінійних трапецій. Замінимо кожну із цих трапецій пря­мокутником з основою Axk та висотою f (£k), де xk_1 <£k < xk.

Площа кожного такого прямокутника дорівнює f (£k )Axk. Сума площ усіх таких прямокутників буде дорівнювати

n

f (£1 )Axt + f & )Ax2 + ... + f (£)Axn = Z f    )Axk.

Таким чином, площа S криволінійної трапеції наближено дорів­нює цій сумі, тобто

n

S « Z f    )Axk.

k=1

Ця формула буде тим точнішою, чим менша величина .

Щоб одержати точну формулу для обчислення площі S криво­лінійної трапеції, треба в цій формулі перейти до границі, коли

Axk — 0. Тоді

n

S -   Hm  Zf (£k)Axk . (1)

max Axk —0

 

2. Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай по­трібно визначити шлях S , який пройшла матеріальна точка, що

рухається в одному напрямі із змінною швидкістю V(t) за час від t0 до T.

Поділимо проміжок часу T_t0 на n частин: At1( At2,..., Atn. Позначимо через £ довільний момент часу із проміжку Atk, а зна­чення швидкості у цій точці позначимо Vk = f (£k), k = 1,2,...,n. 322

Точка, що рухається з постійною швидкістю Vk на проміжку часу Atk, проходить за цей час шлях Vk -Atk, а за час T -t0 вона пройде шлях

nn

V1At1 + V2At2 +... + VnAtn = ^УкAtk = 2f (6)Atk ■

k=i k=i

Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено до­рівнює цій сумі. Коли Atk — 0, тоді змінна швидкість на проміжку

Atk мало відрізняється від постійної Vk. Тому дійсне значення шля­ху, пройденого точкою за час T -10 буде дорівнювати границі цієї суми при max Atk — 0, тобто

n

S =  lim02 f (6k )Atk ■ (2)

max Atk — 0Jr~/     4 '

До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена по прямій лінії траєкторії руху точки, до якої при­кладена ця сила та інші задачі.

 

11.1.2. Означення визначеного інтеграла та його зміст

Нехай функція f (x) задана на відрізку [a,Ь] ■ Розіб'ємо цей відрізок на n частин точками ділення

aa   xx 0 xxi   xx 2   . • •        Ь ■

У кожному проміжку [xk^xk ] довжиною Axk = xk xk-1 обере­мо довільну точку 6k і обчислимо відповідне значення функції f (6), k = ,\%.., n ■

Побудуємо суму ^/{В,к )Ахк, яку називають інтегральною су­мою для функції /(х) на відрізку [а,Ь].

• Означення 1. Якщо існує скінчена границя інтегральної суми при тах Ахк — 0, незалежна від способу ділення відрізка [а, Ь] на ча­стини та вибору точок £к, то ця границя називається визначеним інтегралом від функції / (х)на відрізку [а,Ь] і позначається

Ь

| / (х )сІх.

а

Математично це означення можна записати так:

а п

 

Ь          к *=і

Відмітимо, що числа а та Ь називають нижньою та верхньою межами, відповідно.

Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна записа­ти у вигляді

ЬТ

Б = |/(х)сІх, Б = |/(ь)сСь, (4)

 

тобто площа криволінійної трапеції Б та шлях Б, пройдений точкою

із змінною швидкістю V = /(ь) виражаються визначеним інтегралом.

Перевірка існування скінченої границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему.

+ Теорема 1. Якщо функція /(х) неперервна на відрізку [а, Ь]

або обмежена і має скінчену кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція

/(х) інтегрована на [а,Ь].

11.1.3. Основні властивості визначеного інтеграла

Із означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про границі випливають слідуючі властивості.

1. Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтег­рала, тобто якщо А стала, то

ьь

|А • / (х )(Сх = А • | / (х )сіх .

аа

2. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченої кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кож­ного доданку, тобто

ь

/[/і (х)±/2 (х)±...±/п (х)]Сх =

а

ьь ь

= /і (х )сСх ± /2 (х )сСх ± .„ ± /т (х )сСх.

 

3. Якщо поміняти місцями межі інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто

ьа

| / (х )сСх = -| / (х )сСх .

аь

Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто

а

| / (х )сХ = 0

а

для будь-якої функції /(х) .

ьь

Якщо / (х )<?(х ), х е[а, Ь], то | / (х )сСх <     х )Сх .

6. Якщо т та М найбільше та найменше значення функції / (х) на відрізку [а, Ь], то

 

т

(Ь а )< |/ (х )(х < М (Ь а).

 

 

ь

7. |/(х)(іх = /(£)(Ь а), де а <£< Ь.

 

и          ь и

8. |/(х)йх = |/(х)сХ +1/(х)йх; а < с < Ь.