Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


11.2. обчислення визначених інтегралів

Раніше ми навчились знаходити невизначені інтеграли. Тому для обчислення визначених інтегралів доцільно встановити зв'язок між ними.

 

11.2.1. Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами

• Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою ме­жею та змінною верхньою межею називають інтегралом із змінною верхньою межею.

Щоб мати звичне позначення, змінну верхню межу позначимо

х

через х, а змінну інтегрування і. Одержимо інтеграл | / (і     , який

 

є функцію х, тобто Ф(х) = |/(і.

 

+ Теорема 2. Якщо /(х) неперервна функція, то похідна

визначеного інтеграла від неперервної функції по змінній верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї верх­ньої межі, тобто

 

Ф(х ) = (]/(і )(і 1 = / (х). (5)

V а )

Доведення. Надамо аргументу х приріст Ах, тоді функція Ф(х)

одержить приріст, який згідно з властивістю 8 визначеного інтеграла можна записати у вигляді

АФ (х ) = Ф (х + Ах)Ф (х ) =

хх+Ах х          х+Ах

= jf (t)dt + j f (t)dt-jf (t)dt = j f (t)dt.

ах        а х

До останнього інтеграла застосуємо властивість 7, тоді

АФ(х) = f (£)(х + Ах-х) = f (£)-Ах, де х<£<х + Ах. Згідно з означенням похідної маємо

Ф'(х) = Um АФ^ = lim f (^'Ах = limf U) = f (х),

Ах ^>0     Ах  Ах ^>0       Ах            Ах ^>0     v   ; v ;

що й треба було довести.

+ Теорема 3. Визначений інтеграл від неперервної функції до­рівнює різниці значень будь-якої її первісної для верхньої та ниж­ньої меж інтегрування, тобто якщо F(х) є первісна функції

f (х), то має місце рівність

b

j f (х )ek = F (b)-F (a), (6)

a

яка називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Доведення. Нехай F(х) деяка первісна функції f (х). За теорех

мою 2 j f (t)dt також первісна для f (х). Але дві первісні функції

а

f (х) відрізняються лише на постійний доданок C. Тому

х

jf(t)dt = F^) + C. (7)

a

Ця рівність (7) при відповідному обранні С буде тотожністю, тобто має місце для усіх х.

Для визначення С візьмемо у формулі (7) х = а. Тоді

а

І І (і )а = ¥ (а) + С => 0 = ¥ (а) + С => С = -¥ {а).

а

Отже,

х

I           / (і )аг = ¥ (х)-¥ (а).

а

Якщо у цій рівності покласти х = Ь, то одержимо

II         (і )аі = ¥ (Ь)-¥ (а).

а

Змінюючи змінну інтегрування і на х, одержимо формулу (6), що й треба було довести.

 

Відмітимо, що різницю ¥ (Ь)¥ (а) позначають часто так:

 

¥ (х)

а

тобто  ¥ (х)

а

¥ (Ь)-¥ (а).

 

Тому формулу Ньютона-Лейбніца (6) можна записати у вигляді

 

ІІ (х )ах=¥ (х) .

Ця формула вказує не тільки на зв'язок визначеного інтеграла з

Ь

невизначеним, але й спосіб обчислення ІІ (х )ах.

 

Приклад 1. Обчислити 13х2сіх.

 

^> Розв'язання.

 

J 3 x2 dx = 3 J x 2dx = 3

x

73

 

-1

 

-1

= 23-(-1)3 = 8 +1 = 9.

 

 

 

11.2.2. Інтегрування частинами

Якщо проінтегрувати обидві частини рівності

d [u (x )■ v (x)] = v (x )du (x) + u (x )dv (x) в межах від a до b, то одержимо

ьь         ь abb

J d [u (x )v (x)] = J v (x )du (x) + J u (x )dv (x )=> u ■ v   = J vdu + Judv.

aa         a          a a

Звідси одержуємо важливу формулу інтегрування частинами виз­наченого інтеграла:

ь          a ь

J udv = u ■ v   J vdu. (8)

 

■ Приклад 2. Обчислити інтеграл J x cos xdx .

0

^ Розв'язання. Нехай u = x , dv = cos xdx , тоді знаходимо du = dx, v = J cos xdx = sin x (взята первісна без сталої С). Застосовуючи до заданого інтеграла формулу (8), одержимо

J x ■ cos xdx = x ■ sin x   J sin xdx =

 

2n

 

= 2n^ sin 2^ 0 ■ sin 0 + cos x

= cos 2я" cos 0 = 0 .

 

 

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів» 11.2.3. Заміна змінної у визначеному інтегралі

 

ь

+ Теорема 4. Нехай задано інтеграл |/ (х)сіх , де / (х) неа

перервна на відрізку [а,Ь]. Зробимо підстановку х = р(£), а< £ </, де р(ь) неперервна диференційована функція на відрізку [а,/3].

Якщо: 1) при зміні £ від а до // змінна х змінюється від а до Ь, тобто р(а) = а, р(/3) = Ь;

2) складна функція /_р(£)] визначена і неперервна

на відрізку [а,/], тоді має місце рівність

ь /

|І(х)Сх = |/_р(і)]р(£)Сі . (9)

а а

Доведення. Нехай і(х) деяка первісна для функції /(х), тобто

¥'(х) = /(х). Розглянемо складну функцію і\_р(ї) . Застосовую­чи правило диференціювання складної функції, одержимо

 

= К №)]-Рг ) = І _Р(г)]?(().

Це означає, що функція і_р(£) є первісною для функції 1 _р(£)]р(£).

Звідси, за формулою Ньютона-Лейбніца і рівностей р(а) = а та р(//) = Ь, одержуємо

= і (6)-і (а ) = | / (х )йх.

а

що й треба було довести.

3

■ Приклад 3. Обчислити |х41 + хйх.

 

^> Розв'язання. Нехай і = V1 + х , тоді і2 = 1 + х == х = і2-1, йх = 2ійі . Знайдемо межі інтегрування, використовуючи рівність

 

і = 41 + х :

 

Отже,

 

ін = 71+0 = 1; ів =л/ї+3 = 2.

 

3 2

2

 

і хлЯТІйх = і (і2 1)2і 2йі = 2| (і4 і2 )йі

 

 

 

 

= 296 40 3 + 5 = 116 =

=          15       = 15 = 15.

 

11.2.4. Методи наближеного обчислення

Для деяких неперервних підінтегральних функцій /(х) первіс­ну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначеного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе.

Крім того, у практичній діяльності часто досить знати лише на­ближене значення визначеного інтеграла і знаходити це наближене значення такими методами, які дозволяють використовувати сучас­ну обчислювальну техніку.

Тому математики багатьох країн розробляють ефективні методи наближеного обчислення визначеного інтеграла.

Найбільш часто використовують три методи: метод прямокут­ників, метод трапецій та метод парабол (метод Сімпсона).

Якщо відрізок інтегрування [а, Ь поділити на п рівних частин

Ь а .   е          . .

довжиною Дх =                     і позначити через дк середню точку відрізку

п

\^ хк-4, хк ~^, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

 

|/ (х )аХ » ^ [/(£) + / (£) +... + / &)], (Ю)

а П

яку називають формулою прямокутників. Чим більше буде п тим

 

менший буде крок Дх =       і права частина (10) буде давати більш

п

точне значення інтеграла.

Якщо поділити відрізок інтегрування точками ділення

аа   хх 0        хх 2   . • •           1 Ь

Ь _ а .  і ...

на п рівних частин довжиною Дх =           і позначити значення функції

п

в точках ділення / (хк), тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

 

(11)

2          к=1

ь Ь _ а І / (х )сІх ~     

п

яку називають формулою трапецій. Легко бачити, що при зростанні

 

п крок Дх =    зменшується, тому значення інтеграла буде більш

п

точним. 332

Частина 11. Визначені та невласні інтеграли

 

 

 

 

яку називають формулою Сімпсона. Ця формула дає більш точне зна­чення визначеного інтеграла тому, що для її доведення використовуєть­ся метод парабол, за яким на кожному відрізку [хк_4, хк три значення

функції / (х) входять до інтегральної суми.