Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


11.3. невласні інтеграли

11.3.1. Поняття та різновиди невласних інтегралів

Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інтеграл існує, якщо виконані умови:

відрізок інтегрування [а, Ь скінченний;

підінтегральна функція / (х) неперервна або обмежена і має

скінченну кількість точок розриву. Якщо хоча б одна із умов не ви­конується, то визначений інтеграл називають невласним.

Якщо не виконується перша умова, тобто Ь = °° або а = _оо або

а = -оо та Ь = °°, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченними межами.

Якщо не виконується лише друга умова, то підінтегральна фун­кція / (х) має точки розриву другого роду на відрізку інтегрування

 

333

 

и

[а, Ь]. В цьому випадку |/(х)(1х називають невласним інтеграа

лом від розривної функції або від функції, необмеженої в точках відрізку інтегрування.

 

11.3.2. Дослідження невласних інтегралів

Дослідження невласних інтегралів проводять шляхом викорис­тання граничного переходу до визначеного інтеграла. Інтеграли з необмеженими межами розглядають так:

с°         b bb

jf [x)dx = limj" f [x)dx; j f [x)dx = lim j" f [x)dx;

а

 

j / (x )dx = j / (x )dx +j / (x )<ix = Hm j / (x )dx + lim j / (x )dx.

Якщо вказані границі існують (будуть скінченними числами), то відповідний інтеграл називають збіжним і він дорівнює своїй гра­ниці.

Якщо якась границя не існує або дорівнює нескінченності, то інтеграл називають розбіжним.

 

Ш Приклад 4. Обчислити інтеграл [або встановити його

1 х

розбіжність.

^> Розв'язання. Згідно з означенням невласного інтеграла, маємо

 

b = lim (+і] = 1.

rdx dx Л. (-Г "     = lim " —г= lim І —

J

0          "  " " " "      І    д          І  І  І І I

-у2      Ь—>со * у2      Ь—>со І у

1   ./V  ^   ./V  \^ .л/

Отже, цей інтеграл існує, збіжний і дорівнює 1.

У випадку необмеженої на [а, Ь] функції /(х) її точки розриву можуть бути на лівому кінці або на правому кінці або всередині

проміжку інтегрування [a, b. У цих випадках невласні інтеграли визначають так:

b          b-i bb

j/(x)dx = lim j /(x)dx; j/(x)dx = lim j /(x)dx;

 

b          c-i b

j/(x)dx = |im j /(x)dx + |im j /(x)dx.

 

Якщо вказані границі існують, то відповідний інтеграл нази­вають збіжним. У протилежному випадку інтеграл називають роз­біжним.

 

■ Приклад 5. Обчислити інтеграл j

розбіжність.

dx

ъ1

або встановити його

 

^> Розе 'язання. В точці х = 0 підінтегральна функція необмеже­на, тобто вона має розрив всередині проміжку інтегрування. За озна­ченням такого невласного інтеграла маємо

 

dx

-lim—

2 £-0 x

-12x2   £-02 x2   £-0£ 2x

dx

—= lim —т + lim —= — lim—

J 9-r2      £-0 J  9-r2     £—0J

£   1V 1 —lim—

-1   2 £-0 x

2

 

 

 

Подпись: 1 1Подпись: 1= —lim

2 £-o і+1

—lim

2 £-o

 

1 1

(

111

c„   =   + — li^^-7       + — li^—г = '

2   £)     2   2 £-o£  4   2 £-o£

 

Отже, інтеграл розбіжний.