Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


11.4. застосування визначених інтегралів

11.4.1. Обчислення площ

Якщо на відрізку [а, Ь] функція / (х )> 0, то згідно з формулою

(4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на мал. 1, можна знайти за формулою

Ь

5 = | / (х )сІх.

а

Якщо на відрізку [а, Ь] функція /(х)< 0, то криволінійна тра­пеція, обмежена кривою / (х), відрізком [а, Ь] та прямими х = а і х = Ь, буде розташована нижче осі Ох . Визначений інтеграл

Ь

|/(х)(1х у цьому випадку буде < 0. Але площа є невід'ємною веа

личиною, тому площу криволінійної трапеції, розташованої нижче осі Ох , треба знаходити за формулою

 

5 = ії / (х )сІх

або 5 = -}/(х)йх, (/(х)<0).

 

Якщо / (х) на відрізку [а, Ь] декілька разів змінює свій знак, то інтеграл по відрізку [а, Ь] треба розбити на суму інтегралів по част­кових відрізках. Інтеграл буде додатним на тих відрізках, де /(х)> 0

та від'ємним там, де / (х) < 0. Інтеграл по відрізку [а, Ь] дає різни­цю площ, що лежать вище та нижче осі Ох (див. мал. 2).

Щоб одержати суму площ (без врахування розташування віднос­но осі Ох ) треба знайти суму абсолютних величин інтегралів по часткових відрізках або обчислити інтеграл від абсолютного значен­ня функції тобто

336

 

 

 

Мал. 2.

Ь

5 = || / (х ))а1х.

а

■ Приклад 6. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом

2       У2 4

х2 + — = 1.

 

 

 

^> Розв'язання. Із аналітичної гео­метрії відомо, що цей еліпс має вигляд такий, як на мал. 3.

Шукана площа 5 дорівнює 451, де

51 площа заштрихованої частини еліп­са, що розташована у першому квадранті Отже,

5 = 41 уйх

Із рівняння еліпса знаходимо у : У2 = 4 (1 х2 )=> => у = ±2у/1 х .

 

Для заштрихованої частини еліпса у > 0 , тому у = 2/l- х2 і ми одержуємо

і            і

S = 4 j 2>/1 х2 dx = 8 jV 1 х2 dx. (13)

0 0

Заміна x = sin t дає:

dx = cos t ■ dt; t = arcsin x, л/і x2 = 41 sin21 = cos t;

 

tH = arcsinO = 0; tB = arcsin1 = —.

Отже,

л/л/      л/ л/

1    .                 /2/2 і +        2£ 1 /2      1 /2

^ 1 -х2<ir = j cost• cost dt = j ■—■—dt = — j dt + — j cos2tdt-

 

0 0

0

 

л2 = 11 л sin л о = 2і 2* + 2

 

21 2

л

 

За формулою (13) одержимо

 

5 = 8 ■= 2п

4

(квадратних одиниць).

Якщо треба обчис­лити площу фігури, обмеженої кривими

 

прямими х = а , х = Ь (дивись, наприклад, мал.

4), то при /1 (х)> /2 (х) її можна знайти за формулою

 

a

■ Приклад 7. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями у = у[х та у = х2.

 

 

 

•у-1   Ч   у — -у

4   х = 0

^> Розв'язання. Спо­чатку зобразимо фігуру, площу якої треба знайти (мал. 5). Знайдемо точку перетину цих парабол. Координати точок пере­тину задовольняють обом рівнянням, тому

Г~     2 _^ 4 хх         —^    

х

ос 1   0, ос 2 1

 

Отже, площа заштрихованої фігури буде

 

Подпись: х'2 -1

5 = |[л/х 0

 

х

Ґ2 3 13

х

1 = 2 -1=1

0 = 3  3 = 3

 

(квад. одиниць).

 

 

 

11.4.2. Обчислення довжини дуги кривої

 

Нехай крива на площині має рівняння у = / (х). Треба знайти

довжину дуги АБ цієї кривої, обмежену прямими х = а та х = Ь (див. мал. 6).

Візьмемо на АБ точки А, М1, М2,..., Мп-1, Б з абсцисами а, х1, х2,..., хп-1, Ь відповідно, та проведемо хорди АМ1, М,М2^., Мк_,МкМ„-1Б, довжини яких позначимо А/1, А/2,..., А/п .

 

Одержимо ламану у ^ лінію, вписану в дугу

AB. Довжиною лама­ної буде

n

ln = S^ .

k=1

 

 

Ф Означення 3. Довжиною І дуги AB називають границю, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбільшої ча­стини прямує до нуля, тобто

n

l =  lim Т Alk.

+ Теорема 5. Якщо на відрізку [a,Ь] функція f (x) та її по­хідна f '(x) неперервні, то довжина дуги кривої y = f (x), обме­женої прямими x = a та x = Ь, обчислюється за формулою

l = j^j 1 + [ f '(x)]2 dx. (15)

a

Доведення. Із малюнка 6 бачимо, що за теоремою Піфагора

 

Подпись: V Axk J1 +

■Axk •

 

Згідно з теоремою Лагранжа маємо: tyk _f (xk)f (xk-i)_ f

f (gk), де xk-i <£k < xk ^

Ax,

Тому Alk =   1 + [f '(b,k )J ■ Axk і довжина вписаної ламаної буде

in=і >/1+№)ї7 'Ax,.

За умовою теореми f (x)  неперервна, тому і функція також неперервна, а це означає, що існує скінченна

границя

1=.о IV1+[f (&)] 2-Ax>=1+[f )]2dx •

що й треба було довести.

 

▼ Наслідок. Якщо дуга задана параметрично x = <p(t), у = i/f(t),

a < t < /3, то її довжину знаходять за формулою

i=jV[<'(t я2+[i/(t я2 dt. (16)

 

11.4.3. Обчислення об'єму та площі поверхні тіла обертання

 

Нехай криволінійна трапеція обмежена кривою у = /(х)

відрізком [а, Ь] осі Ох та прямими х = а та х = Ь, обертається

навколо осі Ох (мал. 7). Тоді об'єм тіла обертання можна знайти за формулою

Ь

V = — /2 (х )йх, (17)

а

5

а площу поверхні обертання за фор­мулою

щ / (х у,} 1 + [ / х )]2аЪс. (18)

 

^ ■ Приклад 8. Обчислити об'єм X  кулі радіуса Я.

^> Розв'язання. Кулю можна розглядати як результат обертання півкруга, обмеженого частиною

кола х2 + у2 = Я2, у > 0, навколо

осі Ох.

 

2х2, симетричність кола

Використовуючи рівність у = у[я відносно осі Оу та формулу (17), одержимо об'єм V кулі

 

Я  .      . 2 Я

V = я N Я2 х2) ах = 2я (Я2 х2 )ах = 2л

Я х     

3

 

 

 

Подпись: Я3 Я-= 2л

3 Л   4 3

= —лЯ (кубічних одиниць).

3 ) 3

 

 

11.4.4. Обчислення роботи

Нехай під дією сили і7 матеріальна точка М рухається по прямій О5 і напрям сили співпадає з напрямом руху.

 

 

Тоді роботу А, виконану змінною силою і (5) для переміщення точки М із положення 5 = а до 5 = Ь знаходять за формулою

Ш Приклад 9. Стиск 5 гвинтової пружини пропорційний при­кладеній силі і. Обчислити роботу, виконану силою і для стиску пружини на 8 см, якщо для її стиску на 1 сантиметр потрібна сила в 1 кг.

^> Розв 'язання. Згідно з умовою задачі сила і пропорційна стис­ку 5 , тобто

і = К ■ 5,

де К деяка постійна величина, коефіцієнт стиску пружини. Якщо стиск пружини вимірювати у метрах, а силу і у кілограмах, то за умо­вою задачі при 5 = 0,01 сила і = 1, тобто 1 = 0,01К => К = 100, а тому і = 1005.

За умовою задачі сила і стиснула пружину на 8 см, тобто із по­ложення а = 0 до Ь = 0,08.

За формулою (19) знаходимо шукану роботу:

 

0,08     5 2

А = | 100 ■ 5 ■ <І5 = 100 ■ — 0,08 100

= —■ 0,0064 = 0,32 (кгм). 0 2