Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


11.5. задачі економічного змісту

11.5.1. Витрати, доход та прибуток

 

Нехай V(х) буде функцією загальних витрат на виробництво

х одиниць продукції, V'(х) функція маргінальних витрат. Тоді визначений інтеграл

]>' (х )<1х = V (х)

Ь Ь

V (Ь ) = V (а) (20)

а

дорівнює зміні загальних витрат при зростанні кількості виробленої

продукції від а до Ь одиниць.

Звідси випливає важливий наслідок.

Зміна виробничих витрат при зростанні виробленої продукції від а до Ь одиниць дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої гра­фіком функції маргінальних витрат у = V'(х), відрізком [а, Ь] та прямими х = а та х = Ь.

Аналогічно, якщо О(х) та Р(х) функції маргінального до­ходу та прибутку, відповідно, то зміни доходу та прибутку при зро­станні реалізації виробленої продукції від а до Ь одиниць обчис­люється за формулами

Ь

О (х )Ух = О (Ь)-О (а), (21)

а

Ь

Р(х)йх = Р(Ь)-Р(а). (22)

а

 

■ Приклад 10. Функція маргінальних витрат фірми має вигляд

V (х ) = 23,5 0,01х.

Знайти зростання загальних витрат, коли виробництво зростає з 1 000 до 1 500 одиниць.

^ Розв'язання. За формулою (20) зростання загальних витрат буде

 

1500 1500

V(х)йх = | (23,5-0,01хУх

1000 1000

х 2

23,5х 0,01— 2

1500 1000

 

= 23,5-1500-0,005• (1500)2 23,5-1000-0,005• (1000)

 

= 2350 • 5 50-125 = 50-(235 -125) = 5500.

Отже, витрати зростуть на 5 500 гривень.

11.5.2. Коефіцієнт нерівномірного розподілу прибуткового податку

Наприклад, якщо х = —, а у = —, то це означає, що 50\% насеНехай у є частина загального прибуткового податку пропорцій­на частині х усього населення держави.

1

1

—, а у = 2 4

лення сплачує 25\% загального прибуткового податку.

Якщо у = 0,7, коли х = 0,9, то це означає, що 90\% населення

сплачує 70\% прибуткового податку.

У загальному випадку х та у дробові частини цілого

(0 < х < 1,0 < у < 1) і  у є функцією х, тобто у = /(х).

Будемо вважати, що не має осіб, які не сплачують прибуткового податку, тобто / (0) = 0 і весь прибутковий податок сплачує 100\%

населення, тобто / (1) = 1.

Графік функції у = /(х), яка описує дійсний розподіл прибут­кового податку, називають кривою Лоренца.

Припустимо, що крива Лоренца задана рівнянням

1

у = — х2 +—х  (див. мал. 8).

16     4 '

 

 

 

Коли х = 0,2, маємо

у =15 (0,2 )2 + — • 0,2 = 0,05.

Це означає, що 20\% населення сплачує 5\% загального податку.

Коли х = 0, 5 , маємо

 

у = — (0,5 )2 + — • 0,5 = 0,2656.

Це означає, що 50\% населення сплачує тільки 26,56\% податку.

Коефіцієнтом нерівності розподілу податку кривої Лоренца

називають відношення площі фігури, обмеженої кривою Лоренца та прямою у = х (на малюнку 8 вона заштрихована) до площі фігури,

що лежить нижче прямої у = х (на мал. 8 це прямокутний три­кутник: 0 < х < 1; 0 < у < 1, у = х.

Коефіцієнт нерівного розподілу податку, що здійснюється за за­коном Лоренца, позначають Ь.

 

1

1

Площа трикутника  5*1 = — -1 -1 = — .

Площу заштрихованої фігури одержимо з використанням визна­ченого інтеграла за формулою

52 = І (х / (х ))йх .

0

Тому, згідно з означенням, коефіцієнт Лоренца обчислюють за формулою

 

Ь = — = 2|[ х / (х )^ йх.

У випадку кривої Лоренца вигляду

(23)

 

2 1

у = —х +—х

16

коефіцієнт нерівності розподілу податку буде

 

Подпись: йх ■Подпись: х
13
0

 

16

 

х­

15 16'

х

1_

15 8

16'

 

Ґ х2

2

 

16

15 (1

8 і 2'

г   15       15 ^

211 — х          х

16 16

йх

 

5_ 16

 

Відмітимо, що коефіцієнт нерівності розподілу податку завжди задовольняє співвідношення 0 < Ь < 1.

Коли Ь = 0, прибутковий податок розподілено рівномірно, коли Ь = 1, нерівномірність розподілу податків найбільша.

11.5.3. Максимізація прибутку за часом

Нехай V(Ь), О(Ь) та Р (Ь) — загальні витрати, доход та прибу­ток, що змінюються з часом, тобто залежать від часу Ь. Тоді Р(Ь) = О(Ь)-V(Ь) або Р(Ь) = О(Ь)-V(Ь). Максимум загального прибутку буде тоді, коли Р(Ь) = 0 або О(Ь) = V(Ь).

Іншими словами, існує такий час Ь, коли О(Ь) = V'(Ь), тобто швидкості зміни доходу та витрат рівні (див., наприклад, мал. 9).

Загальний прибуток за час Ь1 можна знайти за формулою

Р (ь1 ) = І р (ь )йЬ = І\_ІУ (Ь)-V (Ь)] йЬ (24)

0 0

Із мал. 9 бачимо, що максимум прибутку дорівнює площі між криви­ми О(Ь) та V'(Ь) на проміжку

Ь є[0, Ь1 ] (заштрихована частина).

 

■ Приклад 11. Швидкості зміни витрат та доходу підприємства після початку його діяльності визначалися формулами

V{Ь) = 5 + 2Ь2—/з, та &[Ь) = 17-Ь^3,

де V та & вимірювались мільйонами гривень, а Ь вимірювали рока­ми. Визначити, як довго підприємство було прибутковим та знайти загальний прибуток, який було одержано за цей час.

^> Розв'язання,. Оптимальний час Ь1 для прибутку підприємства одержимо з умови &{Ь) = V'{Ь): 5 + 2*23 = 17 і23 => 3*23 = 12 => і23 = 4 => ^! = 432 = 8.

Отже, підприємство було прибутковим 8 років. За цей час було одержано прибутку

 

р = /[ В'(і)V і)] йі = |

17 і23 5 2і23

йі = (і2 3і23) йі--

 

 

 

(

5/ Л

5

/3.

8 = 96 • 32 = 38,9 (млн. гр.) о 5

 

 

11.5.4. Стратегія розвитку

■ Приклад 12. Компанія повинна обрати одну із двох можливих стратегій розвитку: 1) вкласти 10 млн. гривень у нове обладнання і одержувати 3 млн. гривень прибутку кожного року на протязі 10 років; 2) закупити на 15 млн. гривень більш досконале обладнання, яке дозволить одержати 5 млн. гривень прибутку щорічно на протязі 7 років.

Яку стратегію треба обрати компанії, якщо номінальна облікова щорічна ставка 10\%.

Р

^ Розв'язання. Якщо / (і) є прибуток за час і і г = є номі­нальна облікова щорічна ставка, то дійсне значення загального при­бутку за час між і = 0 та і = Т дорівнює

] І (і )еЧі.

0

При Р = 10 маємо г = 0,1. Тому для першої стратегії дійсне зна­чення прибутку за 10 років буде

Для другої стратегії одержимо:

7

P2 = 156"°^ -15 = 50 (1 є"0'7 )-15 = 10,17 (млн. грн.)

0

Отже, друга стратегія краще першої і тому її доцільно обрати для подальшого розвитку компанії.