Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


12.3. диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

0 Означення 6. Диференціальне рівняння першого порядку вигляду N (х )йх + М (у )йу = 0 (12) називають рівнянням з відокремленими змінними.

У цьому рівнянні коефіцієнтом при йх є функція, яка залежить лише від х або стала величина, а коефіцієнт при йу функція, яка залежить лише від у або стала величина.

Загальний розв'язок рівняння з відокремленими змінними зна­ходять за формулою

^N (х)йх + м(у)йу = С, (13)

тобто шляхом його інтегрування.

Дійсно, ліву частину формули (12) можна розуміти як повний

диференціал деякої функції и(х,у), тобто

йи (х, у ) = N (х )йх + М (у )йу.

Тоді рівняння (12) буде мати вигляд:

йи(х,у) = 0 == и(х,у) є стала.

Інтегруючи що рівність та використовуючи властивість невизначе-ного інтеграла ^йи = и + С, одержимо |N(х)йх +1М(у)йу = С, що й треба було довести.

 

Ш Приклад 5. Знайти загальний розв'язок рівняння

11

—йх + — йу = 0.

ху

^ Розв'язання. У заданому рівнянні при йх та при йу записані функції, які залежать лише від х та у , відповідно.

Тому це рівняння з відокремленими змінними і його загальний розв'язок знайдемо шляхом інтегрування. Одержимо:

| — + |й^ = С == 1п|х| + ІГі|у = С == 1п|ху| = С :

ху

 

 

== |ху| = е == ху = е == у = —е загальний розв'язок.

х

0 Означення 7. Диференціальне рівняння першого порядку вигляду

Рх (х )Р2 (у )йх +    (у     (х )йу = 0 (14)

називають рівнянням з відокремлюваними або подільними змінними.

Загальний розв'язок такого рівняння знаходять шляхом зведен­ня його до рівняння з відокремленими змінними, тобто до вигляду

Щ йх + Щ йу = 0

 

з подальшим інтегруванням.

 

Ш Приклад 6. Розв'язати рівняння 2х+у + 3х_2у у'= 0.

^> Розв'язання. Для визначення типу заданого диференціального рівняння першого порядку запишемо його у такому вигляді

^Гйу= _2х 2у ==     йу + 2х 2уйх = 0. (15)

Отже, рівняння має вигляд (14), тобто воно з відокремлюваними змінними. Приведемо рівняння (15) до рівняння з відокремленими

змінними шляхом його ділення на 3х2у. Одержимо:

йу   + ^йх = 0 =>^ + (2їйх = 0.

32у ■ 2у   3х   (9. 2)у   {3

Шляхом інтегрування одержимо

, Лп= С.

3) 3

2 У ,    „    _18_у   (2 У , 2

18_уйу + її2 йх = С == -18— + ]       У  ] 3) 1п18

Отже, загальним інтегралом заданого рівняння буде

 

1п2    18у ■ 1п18

3

Якщо розв'язати цю рівність відносно у, то одержимо загальний розв'язок диференціального рівняння.