Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


12.6. диференціальні рівняння другого порядку

Ознайомимось з розв'язуванням декількох типів диференціаль­них рівнянь другого порядку.

 

12.6.1. Рівняння, що дозволяють знизити порядок

 

1. Рівняння вигляду у" = / (х), де / (х) неперервна в проміжку

(а, Ь) осі Ох . Розв'язок цього рівняння знаходять шляхом знижен­ня порядку та інтегруванням:

х

у' = І / (х )сІх + С1,

х0

де х0 довільне фіксоване значення х із (а, Ь), С1 - довільна стала. Інтегруючи ще раз, одержимо загальний розв'язок рівняння у вигляді

 

х і х

У = її і1 (х)(^х

сіх + С і (х хо ^ + .

 

 

2. Рівняння вигляду В(х,у',у") = 0, що не містить явно шукану функцію у , шляхом підстановки

 

у = Р => у =~г

ах

(   аР л

зводиться до рівняння першого порядку В х, р—— І = 0 відносно

^      іх)

функції р (х). Розв'язавши це рівняння, одержують

р = ф(х,С1) або у' = ф(х,С1).

Знову одержали рівняння першого порядку відносно шуканої функції у. Його розв'язком буде

у = іф(х,С1 )ііх + С2.

3. Рівняння вигляду В (у, у , у") = 0, яке не містить явно аргу­мент х, шляхом підстановки

у = Р(у)=>у =~г-у або у =~г-р ау ау

 

зводиться до рівняння першого порядку F

dp У, Р,-г-p

dy _

= 0 відносно

 

функції р , що залежить від у. Його загальний розв'язок можна одер­жати у вигляді

р = ф(у,Сх) або у' = ф(у,С)^>—ау— = іх.

 

•^(yd) Х+Сї

 

Інтегруючи, одержимо

dy

")

Це і є загальний інтеграл заданого рівняння.

 

 

Ш Приклад 9. Знайти загальні розв'язки рівнянь:

а) y" = x + sinx; b) y"~^• У = x; с) y■ y" + {y')2 = 0. ^ Розв'язання.

а) Шляхом інтегрування заданого рівняння одержимо:

x2        x2

y' = J(x + sinx)dx = — cos x + C1 = — cosx +1 + C1 ,

 

y = JI   cos x +1 + C1 dx =     sin x + x (1 + C) + C2.

j

Ь) Рівняння не містить явно шукану функцію у (х). Застосуємо

ар

підстановку у = р. Тоді у = — і задане рівняння прийме вигляд

ах

ір 1

-у-        р = х .

ах х

Це лінійне рівняння відносно р. За формулою (19) одержимо його загальний розв'язок

 

р

іх

С1+і

і

іх

Лп х

С1+і

 

 

 

1

— х \^С1 + х ^ .

 

Повертаючись до шуканої функції у, одержимо

2 3

у' = х (С1 + х) => у = I(С1 х + х2 )іх = Сх — + -3+ С2.

Отже, загальним розв'язком рівняння випадку Ь) буде

 

2       3 2

с) У цьому випадку рівняння не містить явно аргумент х. Тому зробимо підстановку

 

у = р (у), тоді у = р^іу

 

ір

і задане рівняння прийме вигляд

ір 2

у * р *-:+ р = 0 або у-р + р = 0.

іу іу

Це рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними відносно функції р (у).

Відокремлюючи змінні, одержимо

ір     іу С1 -£= —— == 1п р = -1п у + 1пС1 = р = —.

р    у1 у

Але р = іу, тому ііу = — або у * іу = С^х. іх         іх у

Звідси одержимо загальний розв'язок заданого рівняння: = С1 х + С2 == у = ±у]2 (С1 х + С2).

 

12.6.2. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами

Ф Означення 11. Диференціальне рівняння другого порядку нази­вають лінійнім однорідним рівнянням з постійними коефіцієнта­ми, якщо воно має вигляд

ау" + Ьу + су = 0, (28)

де а, Ь та с сталі числа.

Для знаходження загального розв'язку такого рівняння доцільно діяти так:

Скласти характеристичне рівняння шляхом заміни у" на к2, у' на І, у на 1, тобто одержати алгебраїчне рівняння

ак2 + Ьк + с = 0 (29)

відносно І .

Розв'язати характеристичне рівняння, використовуючи фор­мулу

= -Ь ±4¥^. (30)

Проаналізувати корені характеристичного рівняння, які можуть бути:

 

дійсними та різними, тобто к1 Ф к2;

дійсними та рівними, тобто к1 = к2 = к ;

комплексно спряженими, тобто т -or -о ■ гт -b о 44ac - Ь2 k1 = а+ ір, k2 = а-гр, де і =v-1, а = —; р=2a 2a

4) в залежності від значень коренів характеристичного рівняння записати загальний розв'язок заданого диференціального рівняння (28).

У випадку а): y = C1ek1x + C2ehx. У випадку b): y = ekx (C1 + C2 x). У випадку с): y = eax (C1 cospx + C2 sinpx).

 

Ш Приклад 10. Знайти загальні розв'язки рівнянь:

y" 3y + 2y = 0;  b) y + 4y + 4y = 0;   c) y + 4y + 5y = 0.

^> Розв'язання.

Для рівняння а) характеристичним рівнянням буде

k2 -3k + 2 = 0.

Знайдемо корені цього рівняння:

k1,2 _  о          _     О     ;    k1 = 2;    k2 = 1.

з ±У9-8 = 1

2      = 2

Корені характеристичного рівняння дійсні та різні, тому загаль­ним розв'язком диференціального рівняння а) буде

y = Cte2 x + C2ex.

Для рівняння b) характеристичним рівнянням буде

k2 + 4k + 4 = 0 => (k + 2)2 = 0    k = k2 =-2.

Отже, корені характеристичного рівняння дійсні та рівні, тому загальний розв'язок диференціального рівняння b) буде таким

y = e ~2 x (C1 + C2 x).

У випадку диференціального рівняння с) характеристичним рівнянням буде

к2 + 4 х + 5 = 0 == к 2 =

4 ±У 16 20 =-4±2і 2        = 2

= -2 ± і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подпись:

 

 

 

 

 

е) yjlУ2dx-уі 1 x2dy = 0;f) (1 + y)dx + (1 + x)dy = 0; g) cos2 y • dx + ctg x • dy = 0.

2. Знайти загальний розв'язок лінійних диференціальних рівнянь першого порядку:

d) (x2 + l)y' + 4x • y = 3; f) xy -y =x ;

а) y' + 2y = 4x ;b) y ctg x • y = sin x; с) xy 2y = 2x4;

е) y y = e*; g) xy' + 3y = x"3.

3. Знайти загальний розв'язок однорідних диференціальних рівнянь першого порядку:

 

a) у' =

x+ y

x

 

x

u4 ' 2 y b) y = —;

c) y

 

x 2 x

 

 

 

]ч   ,   2yx + y2 d) y -    ,2 ;

x

 

y

= У + У ;

x

е) y' = y +1^;    f) y       + !L;

x

 

x

y2 g) y ^ — + sin2

4. Знайти загальний розв'язок рівняння Бернуллі:

22        3          1          2 2

а) x2y2 • y + xy3 = 1; b) y +— y = -xy2; с) xy' y2 • ln x + y = 0;

x

d) У' 2 У У2 = 0; е) y' + J-^ У = 2^7У.

 

5. Знайти розв'язок задачі Коші:

, 23

а) у' = 3y/3, y(2) = 0;

 

b) xy' + у = ex, у (1) = 1;

 

 

с) у'• ctgx + у = 2, у(0) = 1;d) у' = у + sin2У, у(1) = j;

x

е)У' = 5 ^ ,у (1) = 1.

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння друго­го порядку:

а) у" ■ tg х = у' +1; Ь) 2 у ■ у" -(у' )2 = 0;  с) х (у" +1) + у' = 0;

а> ху у = х 2вх;   е) у" + 2у ~' ■(у' )2 = 0.

Знайти загальний розв'язок рівняння:

а) у" у = 0; Ь) у" 4у + 3у = 0; с) у у 2у = 0; а) у" 4у = 0;    е) у" 2у 3у = 0;      г) 2у" + у у = 0.

Розв'язати задачі економічного змісту:

 

Швидкість зростання кількості населення пропорційна кількості населення. Знайти закон зростання населення держави, в якій у 1990 р. було 50 млн. населення. Яка кількість населення буде у 2000 р.?

Відносно попиту кількості одиниць х певного товару варті­стю р за кожну одиницю відомо, що еластичність попиту, яка визр (їх     -1

начається формулою 7] =     , постійна і дорівнює —. Знайти

х їр 2

функцію попиту на цей товар.

c)         Еластичність попиту на деякий товар постійна і дорів-нює

1

(-2). Визначити функцію попиту вигляду р = /(х), якщо р = 2 , коли х = 4.

а) Еластичність попиту на певні вироби змінюється разом із зміною вартості кожного виробу за законом

р

р -10'

Визначити функцію попиту вигляду р = / (х), якщо 0 < р < 10 і р = 7 , коли х = 15. 372

е) Кількість населення деякого міста у (Ь) ( Ь вимірюється рока­ми) задовольняє диференціальному рівнянню

У = 0,1у (1 -10 ~иу).

Через скільки років населення цього міста зросте з 100 000 до 500 000?

х 200

і) Еластичність попиту товару Г) = . Визначити функцію

х

попиту вигляду р = /(х), якщо 0 < х < 200 і р = 5, коли х = 190.

g) Інвестиція величиною 10 тисяч гривень зростає неперервно із швидкістю пропорційною 5\%. Знайти:

значення інвестиції у довільний час Ь;

чому буде дорівнювати інвестований капітал через 8 років?

через скільки років інвестиція буде дорівнювати 20 тисяч гри­вень?

Ь) температура Т охолодження тіла змінюється за законом

£=к (тс т)

де Тс температура навколишнього середовища.

Знайти формулу для Т(Ь) у випадку, коли Тс постійна і

т (0 ) = т0.