Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


1.4. знаки загальності та існування

Операція заперечення дозволяє з невизначеного висловлення А(х) одержати нове невизначене висловлення 1 А(х) — його запере­чення.

Іноді студентам важко сформулювати заперечення 1А в тому ви­падку, коли висловлення А містить слова «усі», «кожен», «хоч би один», «знайдеться», «існує».

Наприклад, якщо А = {кожне просте число непарне}, тоді вис­ловлення В = {кожне просте число парне} не є запереченням до А. Вірною буде відповідь:

1А = {не кожне просте число непарне}, іншими словами

1А = {існує просте число, яке буде парним},

або

1А = {хоч би одне просте число парне}.

Останнє висловлення істинне: існує (тільки одне!) парне просте число 2.

Коли висловлення А починається словами «усі», «кожен», «будь-який», тоді для одержання заперечення 1А треба або за­писати «не» перед вказаними словами, або записати «не» після цих слів, але тоді ці слова треба замінити на «хоч би один», «знайдеться», «існує».

Має місце і зворотне твердження: якщо спочатку висловлення є слова «хоч би один», «знайдеться», «існує», тоді якщо після цих слів записати «не», обов'язково потрібно замінити ці слова на «усі», «ко­жен», «будь-який».

Отже, доцільно додавати «не» перед цими словами тому, що тоді не треба робити заміни слів.

Приклад:

А =      {кожне з чисел а, Ь, с ділиться на 7};

1А =    {не кожне з чисел а, Ь, с ділиться на 7};

1А =    {хоч би одне з чисел а, Ь, с не ділиться на 7}.

Іноді використовують знаки V ,3. Перший з них називається знаком загальності і замінюється при формулюванні словами: будь-який, кожен, усі.

Другий знак називається знаком існування, він замінюється у формулюваннях словами: існує, знайдеться, який-небудь, хоч би один.

Якщо Р(х) — деяке невизначене висловлення, хе М, тоді запис

( V х) Р(х) означає: для будь-якого х з множини М має місце Р(х).

Запис ( V х) Р(х) є висловлення, а не невизначене висловлення. Якщо Р(х) хибне, то це висловлення також хибне. Якщо Р(х) —

деяке невизначене висловлення, тоді запис ( 3 х) Р(х) означає: існує елемент х множини М, для якого має місце або знайдеться хоча б один елемент х, для якого має місце Р(х).

Запис (3 х) Р(х) є висловленням. Воно буде істинним, якщо можна в множині М знайти елемент а, для якого Р(а) буде істин­ним. Якщо в М не має такого елемента, тоді висловлення ( 3 х) Р(х) буде хибним.

Приклад. Нехай на множині N задано невизначене вислов­лення

С(х) = {х3 14х2 + 49х 1 < 0}. При х = 1, 2, 3, 4 одержимо висловлення С(1) = {1 14.1 + 49.1 1 < 0}, тобто С(1) = {35 < 0}; С(2) = {49 <0}; С(3) = {47 < 0}.

Усі ці висловлення хибні. Але С(7) = {73 14 • 72 + 49 • 7 1 < 0}, тобто С(7) = {-1 < 0}. Отже, С(7) буде істинним висловленням.

Таким чином, ми знайшли таке х = 7, для якого висловлення істинне. Тому ( з х) С(х) — істинне висловлення.