Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


13.1. числові ряди

13.1.1. Загальні поняття

Нехай задана нескінченна послідовність чисел

 

Вираз а1 + а2 + а3 + •.. + ап + •.. називають нескінченним число­вим рядом, числа а1, а2, а3,„., ап — членами ряду, ап — за­гальним членом цього ряду.

Отже, від послідовності ми перейшли до ряду. За допомогою знака суми ряд можна записати так:

 

/   , п

п=1

де п приймає значення від 1 до оо.

Щоб задати числовий ряд, треба задати його загальний член ап у вигляді формули

 

за якою для будь-якого п можна знайти відповідний член ряду.

п

Наприклад, нехай загальний член ряду а = —2    , тоді відповідп +1

ний ряд буде:

12   3   п          „    -А п

2   5   10        п2 +1     п=і п +1

Іноді задають декілька перших членів ряду і треба записати увесь ряд, тобто знайти його загальний член.

При цьому треба знаходити загальний член ряду по можливості простішого вигляду.

Наприклад, знайти загальний член ряду

11     1 1

11

2   2 • 22   3 • 23   4 • 24

Маємо: перший член ряду а1 = —, другий член ряду а =

 

1 1

а3 = 3 23 , а4 =     4 . Отже, шукана функція повинна мати вигляд

3 * 2    4 * 2

дробу, чисельник якої дорівнює 1, а знаменник повинен дорівнюва­ти п * 2п, тобто загальний член заданого ряду буде

= _1_

а = п * 2п ,

а ряд має вигляд

^ 1

п =1 п 2

Ф Означення 1. Частковою сумою числового ряду (1) назива­ють суму Бт перших т членів цього ряду, тобто

Б2 = а1 + а2; 53 = а1 + а2 + а3;    Бт = а1 + а2 + ... + ат .

ф Означення 2. Сумою S числового ряду ^ й„ називають гра­ницю його часткової суми Sn при п —>°°, тобто

п

S = lim Sn = lim ^ ak. (2)

 

ф Означення 3. Якщо границя часткової суми ряду є скінчене число, то ряд називають збіжним і позначають цей факт так:

 

Якщо границя часткової суми не існує або дорівнює ±оо, то число­вий ряд називають розбіжним.

 

Zaq«-1 ,           ,  „„2   ,            , „„«-1

ф Означення 4. Числовий ряд вигляду

 

a + aq + aq2 + ... + aq'"L + ... (3)

 

п=1

називають рядом геометричної прогресії із знаменником д та пер­шим членом а.

 

■ Приклад 1. Дослідити збіжність ряду геометричної прогресії.

^ Розв'язання. При |д| < 1 часткова сума Бп визначається за відо­мою формулою суми спадної геометричної прогресії:

„ = а адп

1 д

Тому сумою ряду у цьому випадку буде

 

S = lim S„ = lim

^ a     aqn Л = a 1 q   1 - q )   1 q

a

тобто ряд збігається та його сума S

1 q

 

 

Якщо Iql > 1, то частковою сумою ряду буде Sn = —      a, а сума

q -1

ряду

S = lim Sn = lim-^(qn -1) = -,

n——      n—— q — 1 '

тобто ряд розбігається.

Якщо q = 1, то Sn = a + a + ...a = na, тому сума ряду буде

S = lim Sn = lim na = —,

тобто ряд розбігається

Якщо q = -1, то S1 = a, S2 = 0 , S3 = a, S4 = 0, ...

Послідовність таких часткових сум границі не має (вона залежить вік способу прямування n до —), тому ряд розбігається.

Отже, ряд геометричної прогресії збігається при |q| < 1 і розбі­гається при |q| > 1.

Ф Означення 5. Числовий ряд вигляду

^ 1.11 1

 

називають узагальненим гармонічним рядом.

Математиками доведено, що при p < 1 узагальнений гармоніч­ний ряд розбігається, а при p > 1 цей ряд збігається. При p = 1 ряд (4) приймає вигляд ^ 1,111 1

2=1 + 2 + 3 + 7 + + + (5)

П=1 п       2   3   4        п        4 '

і називається гармонічним рядом. Цей ряд розбігається.

 

13.1.2. Деякі властивості числових рядів

Нехай задано числовий ряд

СІ1 + а2 + ^ + — + aп+l + aп+2 + — + Іп+т + — (1)

Якщо в цьому ряду відкинути перші п членів, то одержимо ряд, який називають залишком ряду (1) після п -го члена і позначають тп , тобто

 

+ Теорема 1. Якщо ряд (1) збігається, то збігається і його залишок, і, навпаки, якщо збігається залишок, то збігається й ряд (1).

Доведення. Нехай ряд (1) збігається. Розглянемо часткову суму п + т членів ряду

бп+т = бп + {ап+1 + 1п+2 + ••• + 1п+т ) . (7)

Зафіксуємо номер п і нехай т —>°°. Тоді границя Бп+т, існує за умовою і дорівнює сумі ряду Б.

При фіксованому п Бп є постійне число, тому границя

[ап+1 + — + ап+2 + — + ап+т) при т — °° існує і дорівнює гп . Отже,

 

Нехай тепер залишок збігається. Доведемо, що ряд також збігаєть­ся. Знову в рівності (7) зафіксуємо п та перейдемо до границі при т —>оо. Границя існує тому, що за умовою залишок збігається, а

часткова сума Бп при фіксованому п є постійне число. Отже, гра­ниця

ііп1 Sn+m = Sn + гп • п—>к>

Із рівності (7) випливає: якщо ряд (1) розбігається, то і залишок розбігається, і, навпаки, якщо залишок розбігається, то ряд також розбігається.

Із рівності (8) випливає, що гп = S — Sn, тому при п —>оо зали­шок збіжного ряду гп — 0 .

Т Наслідок. Якщо в ряді (І) суму перших п членів відкинути, то це не вплине на збіжність чи розбіжність ряду.

+ Теорема 2. Якщо члени збіжного ряду X an помножити на

п=1

 

число C, то одержаний ряд ^Сап також буде збіжним, а його

п=1

сума помножиться на Є .

+ Теорема 3. Якщо ряди ^ ап та ^ Ьп збігаються, то ряд

п=1 п=1

 

X {ап ± Ьп) також збігається, причому сума останнього ряду доп=1

рівнює

S = Sl ± S2, де Sl = X ап, S2 = £ Ьп.

п=1 п=1

Доведення теореми 2 та теореми 3 випливає із означення збіжності числового ряду та властивостей границі.

Необхідна ознака збіжності ряду

 

+ Теорема 4. Якщо ряд S an збігається, то його загальний

n=l

член an — 0 при n — °°, тобто

lim an = 0. (9)

Доведення. Дійсно, an = Sn — Sn_1, звідси одержимо lima = lim(S — S ,) = limS — limS , = S — S = 0, що й треба було довести.

Якщо умова (9) не виконується, то числовий ряд розбігається.

Наприклад, ряд S              розбігається тому, що

 

n 1 lim an = lim     = lim           = 1.

n + 2   n—°° 1 + 2

n

Відмітимо, що умова збіжності (9) є лише необхідною умовою. ° 1

Так, гармонічний ряд Sзадовольняє умову (9), але цей ряд розn=1 n

біжний.

Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів

В більш повних курсах вищої математики доведені слідуючі до­статні ознаки збіжності додатних числових радів, які бажано зрозу­міти та використовувати.

# Ознака порівняння. Нехай треба дослідити збіжність задано­го ряду

 

S an,an >0. (10)

n=1

Візьмемо другий додатний числовий ряд, збіжність чи розбіжність якого відома

 

n

n=1

 

Zbn ,Ь„ >0. (11)

 

Найчастіше для порівняння беруть ряд геометричної прогресії або узагальнений гармонічний ряд.

* Ознака. Якщо ряд (11) збігається і, починаючи з деякого п > N , виконуються співвідношення ап < Ьп, тоді й ряд (10) також збігається.

Якщо ряд (11) розбігається і, починаючи з деякого п > N , викону­ються співвідношення ап > Ьп, тоді й ряд (10) розбігається.

,           ^ 1

■ Приклад 2. Дослідити збіжність ряду ^——.

Розв'язання. Порівняємо заданий ряд

1111 1 2   2' 22   3' 23   4' 24        п' 2п

1

з рядом геометричної прогресії, знаменник якого д = 2:

11   1   1 1

2 222324 2п

Кожний член заданого ряду менший або дорівнює відповідному члену ряду геометричної прогресії, який збігається, тому що |д| < 1

1-< -1(п = 1,2,3, „.).

пп

п■2" 2Я

Отже, заданий рад збігається.

* Ознака Даламбера. Позначимо D постійну Даламбера, яку знаходять за формулою

D = lim ^. (12)

n->°° a

Якщо Б < 1, тоді додатний числовий ряд ^ ап збігається. При

п п=1

Б > 1 цей ряд розбігається. При Б = 1 треба застосовувати іншу ознаку.

 

■ Приклад 3. Дослідити збіжність раду -—5.

 

^> Розв'язання. Застосуємо до заданого раду ознаку Даламбера

 

D = lim ^ = lim

n—00 a n—00

2n+1 ■(n + 1)5'2n ■ n5 j

f       3n+1       зп ^

 

3n5      3..       1 3 lim       г = — lim        r = — •

n—0 2(n +1)5   2n—o f    1У 2

 

Отже, заданий ряд розбігається.

* Радикальна ознака Коші. Позначимо К постійну Коші, яку знаходять за формулою

K = lim "ап . (13)

П—оо *

 

Якщо K < 1, тоді додатний числовий ряд ^ ап збігається. При

n

n=1

К > 1 ряд розбігається. Якщо К = 1, то треба застосовувати іншу ознаку.

 

■ Приклад 4. Дослідити збіжність ряду       -.

п=1 П

^ Розв'язання. Застосуємо до заданого ряду радикальну ознаку Коші. Тоді

 

K = lim da~n = lim тf — j = lim2 = 0.

n—00 *           n—ооДІ l n j      n—00 n

Отже, заданий ряд збігається.

* Інтегральна ознака Коші. Треба дослідити збіжність додат­ного числового ряду Еап , де ап = /[п). Розглянемо невласний інтегп=1

 

рал |/ [х)(іх. Якщо цей інтеграл збігається, то числовий ряд також

збігається. Якщо цей інтеграл розбіжний, то числовий ряд також розбіжний.

 

■ Приклад 5. Дослідити збіжність узагальненого гармонічного

п=1 "Р

^ 1

ряду l-j

^ Розв'язання. Застосуємо до цього ряду інтегральну ознаку Коші.

'•ах

xp

Розглянемо невласний інтеграл j"

1) При p = 1 одержимо:

 

р dx л. т dx л. і і і І — = lim І — = limln x

11 = h—n(ln| ^ ln1) = .

 

В цьому випадку інтеграл розбіжний, отже і ряд розбіжний

р dx     К         x Р+1 b 1

2) j — = lim jx~pdx = limx            = lim—(b-p+1 -1).

1xp   b— 1b— 1-p1  b— 1-p

Неважко бачити, що при p < 1 інтеграл є розбіжним, а при p > 1 інтеграл збіжний.

Отже, узагальнений гармонічний ряд Е~p є збіжним, якщо

п=1 П

p > 1 та розбіжним, якщо p < 1.

13.1.5. Знакопочережні числові ряди

Означення 6. Ряд, члени якого почережно мають додатний та від'ємний знаки, називають знакопочережним. Такий ряд можна записати, наприклад, у вигляді

 

£(-1) ип = U1 -и2+U3-U4+...+ (-1)n-1 U +... (І4)

п=1

Un >0, п = 1, 2, 3,...

Означення 7. Знакопочережний ряд називають збіжним аб­солютно, якщо збігається додатний числовий ряд £Un , складений

п=1

з абсолютних величин знакопочережного ряду (14).

Якщо ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (14) розбігається, а знакопочережний ряд збігається, то кажуть, що ряд (14) збігається неабсолютно або умовно.

Абсолютну збіжність знакопочережного ряду досліджують з ви­користанням достатніх ознак збіжності додатних числових рядів. Не­абсолютну збіжність знакопочережного ряду досліджують з викори­станням ознаки Лейбніца.

Ознака Лейбніца. Якщо абсолютні величини знакопочережно-го ряду монотонно спадають, тобто

U > u2 > u >... > Un >...

і границя його загального члена дорівнює нулю при n — °°, тобто вико­нується умова

lim Un = 0,

тоді знакопочережний ряд збігається, причому його сума S обов'язково менша першого члена ряду.

Якщо замінити суму цього ряду S його частковою сумою Sm, тоді абсолютна величина похибки Rm буде менше першого відкину­того члена ряду, тобто Rm | < Um+1. 384

Остання оцінка використовується у наближених обчисленнях.

■ Приклад 6. Дослідити збіжність знакопочережних рядів: . -Acosna         -А/   ,n-t 1       -А,   ч„-і 2n

а) Е——;  ь> Е■ -;   с> Е(-і) ■ -77.

^> Розв'язання.

Складемо ряд з абсолютних величин заданого знакопочереж­ного ряду (a — довільне число):

Icosal   |cos2a|   |cos3a|        Icos na

J           L + J    2—L + -          2—L +... + J    2—L + ... (15)

Порівняємо цей ряд із збіжним узагальненим гармонічним ря­дом

111 1

2   22   32        n2 (16) Кожний член ряду (15) менше або дорівнює відповідному члену

,,с,              Icosnal    1            .   2 3

ряду (16) тому, що     2—!■ <^r,n = 1, 2, 3,...

n2n2

Згідно з ознакою порівняння ряд (15) збігається, а це означає, що заданий знакопочережний ряд а) збігається абсолютно.

У цьому випадку ряд, складений з абсолютних величин Е — - розбіжний гармонічний ряд, тому ряд Е (-1)    ■— абсолютn=1 n   n=1 n

но не збігається. Для дослідження його неабсолютної збіжності тре­ба застосувати ознаку Лейбніца. У даному випадку обидві умови ознаки Лейбніца виконуються:

11       1 1

1 >->-> ... > — >      lim— = 0.

2   3        n        n^>°° n

Тому знакопочережний ряд b) збігається неабсолютно.

У цьому випадку не виконується необхідна умова збіжності числового ряду тому, що

2п 1 lim— = 2■ lim—^ = 2 Ф0.

n

n-1

2п

Отже, ^ (-1)    розбіжний.

 

13.1.6. Питання для самоперевірки

Як визначають числовий ряд, його часткову суму, суму ряду?

Який ряд називають збіжним, розбіжним? Які властивості ма­ють збіжні числові ряди?

Як математично записати необхідну умову збіжності числово­го ряду?

Який рад називають рядом геометричної прогресії? Коли цей ряд збігається, чому дорівнює його сума?

Який вигляд має і коли збігається узагальнений гармонічний

ряд?

Як формулюються достатні ознаки збіжності додатних число­вих рядів?

Які різновиди збіжності існують для знакопочережних число­вих рядів?

Коли застосовуються і як формулюється ознака Лейбніца?

 

13.1.7. Вправи

1. Знайти загальний член ряду:

,111     1111 ,111

;     3   5   7      '  ; 2   4   6   8     ' ;     4   9 16

3456 2468 d) + — + — + — +...;   e) + — + — + — +...

2.         Записати перших 5 членів ряду та перевірити необхідну умову збіжності ряду:

) ^ 2п -1          -    2     ) п

а) І       ;           Ь) > —:           ;           с) І   ,      =;

Пг13п + 2       п2 +1 ПҐ1ЛІПГ-Ї

 

а) >> {3П+21П ;        е) >> 1;            Г) >>^.

Дослідити збіжність ряду з використанням ознаки порівняння: а) >>^=^;       Ь) І—;       с) >>3;       а)І—.

п=0 V п + 1    п=1 п . 5         п=2 п  п=1 п . 8

Дослідити збіжність ряду за ознакою Даламбера:

 

п-1  2п   '         ' П (2п)!'          '£}2п (3п +1)'

 

;»2п'    Є) > еп   '        }>Ґ02п(3п +1)"

5. Дослідити збіжність ряду з використанням радикальної озна­ки Коші:

а) І       ї;          Ь) І      Г ;       с) І { 3п V;

 

6. Дослідити збіжність ряду за інтегральною ознакою Коші:

 

а) І^гтЧт; е) І-^т; 0    ; є) >>-7•

п^л/п (п +1)        п.1 п +1        п~0/4п +1        п~2 п їй п

7. Дослідити збіжність знакопочережного ряду:

а) ТІІІП •            Ь)               •            с) УІГІГ. •

а;Е2п - Г             }{1 п (п +1)'           )Е и3 +1'

ИГ1          (-і)п       ^(-і)п-1 ■ п

аУ2п +1          п=1  6п 5

 

8)1(-1)п ^ (£+т )п.