Материал: Вища математика для економістів - Навчальний посібник ( Барковський В.В.)


13.2. степеневі ряди

13.2.1. Радіус, інтервал та область збіжності

• Означення 8. Степеневим рядом називають ряд вигляду

2 п

апх = а0 + а1 х + а2 х + ... + апх +... (17)

або

Еап (х-х0)) = а0 + а1 (х-х0) + а2 (х-х0 )2 + ... + ап (х-х0 )п + ..., (18)

п=0

де ап (п = 0,1,2,...) — дійсні числа, які називають коефіцієнтами сте­пеневого ряду, х0 — деяке постійне число.

Підстановка у = х х0 дозволяє ряд (18) звести до вигляду (17).

Тому нижче будемо розглядати лише ряди вигляду (17), тобто по степенях х.

+ Теорема Абеля. (Нільс Генрік Абель (1802-1829) — норвежсь-кий математик). Якщо ряд (17) збігається при х = х1, то він збігається абсолютно для усіх х, що задовольняють нерівність

І хх І   |х<1І.

Якщо ряд (17) розбігається при х = х2, то вінрозбігається для усіх х, які задовольняють нерівність |х| > |х2|.

Доведення. За умовою теореми ряд (17) при х = хі (х4 Ф 0) збігається. Це означає, що збігається числовий ряд і   хх 1 і   хх 1 і • • • і (іпхх1 і • • •

Але тоді загальний член цього ряду апх" —> 0 при п —>°°, тобто загальний член ряду є величина обмежена. Отже, існує таке число

М > 0, що при будь-яких п виконується нерівність апх! < М.

Тепер запишемо абсолютну величину загального члена ряду (17) та оцінимо її:

 

а„х

апхх

 

х

 

 

а„х1

 

 

— 

 

 

 

 

 

х

<М■ д", п = 0,1,2,3,^ (19)

 

 

 

де д ■■

< 1 тому, що за умовою |х| < |х11

 

 

Запишемо два ряди: ряд, складений із абсолютних величин членів ряду (17) та ряд геометричної прогресії, загальним членом якого є

М ■ д".

 

х Иа3х +... +

п=0

Еапх = |а^ + |а1 х| +

Ё Мд" = М + Мд + Мд2 +... + Мд" +

(20) (21)

 

п=0

При х <      знаменник д ряду (21) менше одиниці, тому ряд

геометричної прогресії (21) збігається. Згідно з нерівністю (19) кожний член ряду (20) не більше відповідного члена ряду (21) тому, за ознакою порівняння, ряд (20) збігається, а це означає, що

ряд (17) збігається абсолютно. Отже, перше твердження теореми доведено.

Доведемо друге твердження теореми методом від супротивного. Нехай ряд (17) збігається при x, які задовольняють нерівність

|х| > |х2|. Тоді, згідно доведеному першому твердженню теореми, ряд

збігається і при х = х2, що суперечить умові другого твердження. Отже, теорема повністю доведена.

▼ Наслідок. Якщо степеневий ряд (17) збігається при х = х0, то цей ряд збігається в інтервалі (-х0, х0).

• Означення 9. Додатне число Я, таке, що при |х| < Я степе­невий ряд збігається, а при |х| > Я ряд розбігається, називають ра­діусом збіжності степеневого ряду. Інтервал (-Я,Я) називають інтервалом збіжності цього ряду.

Якщо степеневий ряд збігається при х = -Я або при х = Я , або при х = -Я та х = Я, тоді областю збіжності цього степеневого ряду буде [-Я,Я) або (-Я,Я], або [-Я,Я], відповідно.

Радіус збіжності повного степеневого ряду знаходять за формулами:

 

Я = Нпі

а.

'п

(22)

 

або

 

Подпись:  Я = Ніп

1

( 23)

 

 

 

 

 

ь> £ (-1)п-1 • 2й-1

х

2 п-2

1 -2х2 + 22х4 -23х6 +            • 2й-1 • х2п-2 +....

 

п=1

 

Розв'язання.

а) За формулою (22) знайдемо радіус збіжності заданого степе­невого ряду:

 

Я = Ііт

 

а

 

 

п+1

= Ііт (і:^-1 = Ііт І+і = Ііт (1 + 1 1 = 1.

 

Отже, інтервалом збіжності ряду а) буде (-1,1). Розглянемо збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності.

/   п-1 1

При х = 1 одержимо ряд а) £ (-1)    •—. Цей знакопочережнии

п=1 п

ряд абсолютно не збігається (гармонічний ряд), але за ознакою Лей-бніца він збігається неабсолютно.

При х = -1 маємо ряд

1

п

.1 -1 -1

2 3

який розбігається. Отже, областю збіжності ряду а) є проміжок (-1,1].

У випадку Ь) степеневий ряд не містить усіх степенів х, тому його радіус збіжності Я не можна знаходити за формулами (22), (23).

Застосуємо до ряду, складеному з абсолютних величин ряду Ь), ознаку Даламбера

 

В = Ііт

а

п+1

2п   х 2п

)п-1 шх2п-2

= Ііт——;—^7 = х2 Ііт2 = 2х2.

 

о   2     -(2      1 І|1

2 х < 1 => х <При і) < 1 ряд збігається, тобто він збігається, коли

 

|х| <■

 

(-її "І

Отже, ряд Ь) збігається в інтервалі І ,—т= І, а на кінцях інтер 

валу розбігається.

 

13.2.2. Розклад функції у степеневий ряд

Якщо степеневий ряд збігається в інтервалі (-Я, Я), то його су­мою буде деяка функція х, тобто ^ = /(х), хє (-Я,Я).

Часто треба розв'язувати обернену задачу: знайти степеневий ряд, сума якого дорівнює заданій /(х) при хє (-Я,Я).

Цю задачу розв'язують з використанням такої теореми.

+ Теорема 5. Якщо в деякому інтервалі, що містить точку х = а , функція /(х) має похідні будь-якого порядку, які задо-

 

вольняють умовам

f (n) (x) < M, M > 0 для усіх x із цього інтер-

 

валу та будь-якого n, то функція f (х) для усіх х із цього інтер­валу розкладається у степеневий ряд вигляду

n \   n \  f (а)і      \  f"(a)і      2        f(n)(a)і

f (x ) = f (a ) + ^^(x — a ) + ^^(x — a) +... + ^^^(x — a) + ...(24)

Степеневий ряд (24) по степенях (x — a) називають рядом Тей­лора функції f (x ). При a = 0 одержуємо степеневий ряд по степе­нях x вигляду:

f (x ) = f (0 ) + f(0) x+f(0) x2 +... + fn^0) xn +... (25) v ;     v ;     1!   2! n!

Цей ряд називають рядом Маклорена функції f (x).

У формулах (24) та (25) замість x можна записати змінну u, яка може бути функцією x або незалежною змінною.

Згідно з цією теоремою знаходять розклад у степеневий ряд за­даної функції та інтервал збіжності.

Вкажемо розклад у ряд Маклорена функцій, що використовують­ся найчастіше:

 

 

 

Подпись: ,2

Подпись: ии 1! + "27Подпись: и

ви = 1 +

п!

и Є (-оо, оо)

1

1 + и

ии2 и3

= 1 и + и2 -... + (-1)"и" +и < 1

\     ии      и     /   л п-1 и

 

ии3   и5        / и2п 1

(2 п -1)!

БІП и =           +          ... + (-1)

1!   3!   5!       v ;

,2п

2 4

СОБ и = 1       +          ... + (-1)           Г + .

2!   4!        к   > (2п)!

(26) (27)

иє(-1,1) (28) , и є (-о, о) (29)

 

(-о, о) (ЗО)

 

.2 п+1

3 5

ии        г   ,п и

агсШи = и      +          ... + (-1)          

 

+и < 1

 

(31)

 

 

 

(1 + и)  = 1 + ти +—  -и2

т(т 1)...(т п + 1)      , ,

+ ...+ —^         >-Л      іип +      и < 1 (32)

п!

 

Саме ці формули використовують для одержання таблиць набли­жених значень відповідної функції.

■ Приклад 8. Розкласти у ряд Маклорена функцію / (х) = е 2х \% Розв'язання. Коли х є (-°°,°°) змінна и = -2х2 є (-°°,0]. Розклад функції еи у ряд Маклорена має місце для и є (-°°,°°), отже і для и є (-°о,0]. Тому можна підставити у формулу (26) замість и його значення (-2х2) і одержати розклад вигляду

е -2 x

2х2   (~2х )     п1 (2х2)

і!        2!           v   ;      п!         v ;

Після спрощення одержимо ряд Маклорена вигляду

 

е2х2 = 1-2х2 + 2х4+ (-іГ — х2п +      х є(-оо о). (33)

п!

В багатьох випадках доцільно використовувати слідуючи власти­вості збіжних степеневих рядів.

 

+ Теорема 6. Сума збіжного степеневого ряду ^ апхп непеn=0

рервна функція x всередині інтервалу збіжності.

 

+ Теорема 7. При почленному інтегруванні чи диференцію­ванні збіжного степеневого ряду його радіус збіжності не змінюється.

За допомогою почленного інтегрування та диференціювання іноді вдається звести заданий ряд до відомого ряду і тим самим знайти його суму.

 

■ Приклад 9. Знайти суму ряду

„   3     4   2   5  3        n +1    n _!

1!     2!      3! (n

Розв'язання. Радіусом збіжності цього ряду буде

R = Ш»^ = lim    (П +1)П! , = lim^ = -.

an+1   n^-(n_1)!(n + 2)           n + 2

Отже, заданий ряд збігається в інтервалі (——,—) і в цьому інтер­валі його сума S(x) неперервна. Згідно з властивістю неперервних функцій xS(x) також неперервна функція в інтервалі (——,—).

Проінтегруємо добуток xS(x) і одержимо: 394

 

\           х3     т4     x5 хп+1

І хЬ [х )ах = х +— + — + — +... + — + ... =

(п -1)!

 

Подпись: «-іПодпись: (п -1)!= х

у          у          у у

1 + — +           +          + ... +

1!   2! 3!

+.

= х2єх.

 

Вираз у дужках дорівнює ех згідно формули (26). Звідси, дифе­ренціюванням інтеграла по верхній межі, одержимо:

хЬ (х ) = (х V) = 2 х • ех + х V = хех (2 + х). Отже, маємо:

Ь (х ) = (2 + х )ех, тобто знайшли суму заданого степеневого ряду.

 

13.2.3. Наближені значення функції та визначеного інтеграла

Розклад функцій у ряд Тейлора або ряд Маклорена використо­вується для знаходження наближеного значення функції, визначе­ного інтеграла, розв'язування диференційних рівнянь.

Для наближеного обчислення значення функції /(х) в точці х0 діють так:

розкладають /(х) у степеневий ряд;

підставляють у розклад замість х число х0 і одержують

І (х0), як суму числового ряду;

залишають у розкладі перші п членів, а інші відкидають, тоб­то одержують наближене значення

І (х о Ь Ьп

де Ьп — часткова сума п членів числового ряду;

4) оцінюють похибку знайденого наближеного числового значен­ня І (х). Якщо числовий ряд знакопостійний, тоді ряд, складений з

відкинутих членів, порівнюють з рядом збіжної геометричної про­гресії. У випадку знакопочережного числового ряду застосовують ознаку Лейбніца, за якою абсолютна величина похибки буде менше абсолютної величини першого відкинутого члена ряду, тобто

К| <ип+.

 

■ Приклад 10. Обчислити 1п (1,6) використовуючи три члена розкладу функції у степеневий ряд.

^ Розв'язання. Згідно з розкладом (28) маємо:

2          3 п

1п(1 + х) = х   +          ... + (-1)п-1 — +хє (-1,1).

У нашому випадку х = 0,6є (-1,1), тому можна підставити у роз­клад замість х число 0,6 і одержати знакопочережний числовий ряд

іп (1,6)=0,6-М+М -...+(-1)п-1 ж+...

Обмежуючись трьома членами розкладу за умовою прикладу одержимо:

(0 6 )2   (0 6 )3

1п (1,6)« 0,6-і0^+ ^^и = 0,6 (1 0,3 + 0,12 ) = 0,492.

23

Абсолютна величина похибки оцінюється так:

Ш Ж = 01296 = 0,0324 .

1 31      4 4

Для знаходження наближеного значення визначеного інтеграла діють так:

1) розкладають підінтегральну функцію І(х) у степеневий ряд;

використовуючи властивість збіжного степеневого ряду в ме­жах інтервалу інтегрування, інтегрують степеневий ряд почленно і одержують рівність заданого інтеграла збіжному числовому ряду;

замінюючи суму ряду частковою сумою, одержують наближе­не значення заданого визначеного інтеграла і оцінюють величину похибки.

 

/2

■ Приклад 11. Знайти наближене значення інтеграла | е 2х йх.

0

^> Розв'язання. Розклад підінтегральної функції одержали у при­кладі 8 (див. формулу (33)).

 

Інтервал інтегрування

0,1

належить області збіжності

 

 

(-то,то) степеневого ряду, тому мають місце рівності:

 

Ї2 Ї2

 

1 2 х2 + 2 х4

 

Подпись: 2п „2п. + (-1)   • П-х 2п+.

 

 

 

+ +

+ (-!)"

2х3   2х5        , ,чп-і 2п   х2п+1

п! (2п +1)

 

■ і-2 ±2 А.-     (-1)п-і      2п 1 2   3 .23 + 5.25   + (   )   .п!(2п +1).22п+1

 

+

2 =

 

1

п 1

+

.+(-1)

11 1

лп+1

2   3• 22 ' 5• 24   "" ' у ^    п!(2п + 1)2п

Якщо обмежитись двома членами розкладу, то одержимо:

|е"2х2йх — = 0,416. і           2 12'

Абсолютна величина похибки буде яА «с—1= — = 0,0125.

При необхідності більшої точності можна брати часткову суму більшої кількості членів ряду.

Якщо, наприклад, взяти три члена розкладу інтеграла, то одер­жимо:

|е"2х2йх --— + — = 0,4209, і           2   12 80

 

ЯА <—^ =     1          = —1— 0,00015.

1 31   4!9 • 25   24 • 9 • 32 6912

 

13.2.4. Питання для самоперевірки

Як визначають радіус, інтервал та область збіжності степенево­го раду?

Який вигляд мають розклади функцій у ряд Тейлора та ряд Маклорена?

Який порядок дій доцільно застосовувати при знаходженні на­ближеного значення функції, визначеного інтеграла?

Як можна оцінити похибку наближеного обчислення значення функції або визначеного інтеграла?

 

13.2.5. Вправи

1. Знайти область збіжності ряду:

 

а) У хп ;       Ь) у^_;        с) У —;       сі) У-  

 

п=1 П  п=1 п-

2. Знайти суму степеневого ряду, використовуючи почленне ди­ференціювання та інтегрування:

<*>   у.п         со        1      2 п-1        со х4и-3

а) Ці-;        Ь) І(" 1Г ^ =        c) І„=і я    „=і       2я-1     ^=ї4я-3

„2п—1 ~

Розкласти функцію у степеневий рад та знайти інтервал збіжності розкладу:

a) f (x) = xe~x;      b) f (x) = ex ;        c) f (x) = cos2x; d) f (x ) = cos2 x;     e) f (x ) = sin2 ^     f) f (x) = ln ^1 + xj; g) f (x) = ln [1 + 2x2 ] ■

Обмежуючись двома першими членами розкладу функції у ряд Маклорена знайти наближені значення та оцінити похибку:

a) sin180; b) cos90; c) ln(1,5); d) ln(1,1); e) e0,1; f) arctg0,1.