Материал: Статистика - Навчальний посібник (Кушнір Н.Б.)


5.3. показники варіації

 

Середні величини дають узагальнюючу характеристику сукупності за варіаційними ознаками і показують типовий для даних умов рівень цих ознак. Проте велике теоретичне і практичне значення має визначення відхилень від середніх величин. При цьому цікавими є не тільки крайні відхилення (кращі і гірші), а й сукупність усіх відхилень. В дисперсійному аналізі варіацією вважається відхилення індивідуальних значень від загальних. Для характеристики варіацій застосовують таку систему показників:

Розмах варіації:

Я     хтах Хітат (5.5)

В інтервальних рядах розподілу Я визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу і нижньою межею першого, або як різницю між середніми значеннями цих інтервалів.

Середнє арифметичне або лінійне відхилення це середній модуль відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини:

І = =л  І     для незгрупованих даних, (5.6)

п

Ух—хг

І = ±±1            У—     для згрупованих даних.        (5 7)

 

Коефіцієнт осциляції відношення розмаху варіації до середньої величини ознаки:

Ук == (5.8) х

Лінійний коефіцієнт варіації визначається, як відношення середнього лінійного відхилення до середнього значення ознаки:

V = І (5.9)

а х

Однак, визначення лінійного коефіцієнта варіації, коефіцієнта осциляції та середнього лінійного відхилення недостатньо для оцінки варіації.

Основними узагальнюючими характеристиками варіації є дисперсія і середнє квадратичне відхилення. Ці показники застосовуються не лише для оцінки варіації ознаки, але і для виміру зв'язку між явищами та оцінки величини похибки при вибірковому спостереженні.

Дисперсія це середня арифметична квадратів відхилень кожного значення ознаки від середньої величини. Дисперсію також називають середнім квадратом відхилень. В залежності від вихідних даних дисперсія може визначатися за середньою арифметичною простою або зваженою.

Для незгрупованих даних розраховується проста дисперсія:

2    У (х — х )2

а2 =±*-            (5.10)

п

 

Для згрупованих даних розраховується зважена дисперсія:

 

а = <5ІІ)

Середнє квадратичне відхилення це узагальнююча характеристика абсолютних розмірів варіації ознаки в сукупності. Визначається як корінь квадратний із дисперсії:

 

для незгрупованих даних

(5.І2)

У і

 

У ( X — X )2 /

для згрупованих даних

(5.І3)

 

Середнє квадратичне відхилення завжди виражається в тих же одиницях виміру, що і ознака (в метрах, тонах, відсотках, гектарах) і є абсолютною мірою варіації.

Якщо вихідні дані представлені у вигляді інтервального ряду, то спочатку треба визначити дискретні значення, а потім розраховувати усі показники.

Порядок розрахунку середнього квадратичного відхилення:

Обчислюємо середню арифметичну ряду (х) .

Відхилення кожної варіанти від середньої арифметичної:

( х—Х).

Кожне відхилення підноситься до квадрату: (Х — Х)2.

Квадрат відхилення множиться на відповідну вагу: (Х — Х)2 • і

Додаються всі добутки: Х(Х — Х)2 • /

Ділиться    сума    добутків    на    суму    ваги (частот):

Х(Х — Х)2 • і  . .             —                    і отримується дисперсія.

 

7.         З      дисперсії      вилучається      корінь квадратний:

 

1

— і отримується середнє квадратичне відхилення.

 

Чим менше середнє квадратичне відхилення,       тим типовіша

середня   і   тим   більш   однорідна   сукупність.  На практиці

застосовують спрощений метод визначення         дисперсії за залежністю:

а2 = Xі — 7 = Ух2^ — (Ух^ )2 (5.І4)

Уі Уі

Тобто дисперсія ознаки дорівнює різниці між середнім квадратом значень ознаки і квадратом середньої.

Коефіцієнт варіації є відносною мірою варіації і дозволяє порівняти ступінь варіації ознак у рядах варіації з різним рівнем середніх. Розраховується як відношення середнього квадратичного відхилення до середньої величини:

V =      І00 (5.І5)

 

Якщо коефіцієнт варіації < 33\%, то така сукупність вважається однорідною.

Розглянемо обчислення характеристик варіації для альтернативної ознаки. Позначимо через " 0 " відсутність ознаки. Частку одиниць, які мають наявність ознаки позначаємо через " р ", а частку одиниць, які мають відсутність ознаки " д ".

р + д = І => д = І — р (5.І6)

Тоді

 

X

І • р + 0 • д

р + д

Дисперсія альтернативної ознаки (5.І7)

 

( ар2 ) дорівнює добутку

 

частки (р) на доповнююче частки число (1 ц).

 

2

(5.І8)

 

Визначаємо середню арифметичну зважену:

 

= У xі = І350 • І0 +1450 • 50 +1550 • І00 +1650 • ІІ5 +1750 • І80 +1850 • 45 Х = Уі " 500

Визначаємо дисперсію:

=І4936

2   У (X — X)2 і 7468000 Уі 500

Визначаємо середнє квадратичне відхилення:

а = 4сО = VІ4936 = І22,2 грн.

Коефіцієнт варіації:

 

 

=І658,0 грн.

 

 

V = С = 12222 ■ 100 = 7,4\% х 1658

5. Розрахунок дисперсії за спрощеною формулою (табл. 5.2):

 

 

С = х

( х )

Таблиця 5.7

X

f

х2

 

1350

10

1822500

18225000

1450

50

2102500

105125000

1550

100

2402500

240250000

1650

115

2722500

313087500

1750

180

3062500

551250000

1850

45

3422500

154012500

Разом:

500

-

1381950000

 

— 1381950000

х2 =     = 2763900

500

(х )2 = (1658)2 = 2748964 С = х 2 ( х )2 = 2763900 - 2748964 = 14936