Материал: Статистика - Навчальний посібник (Кушнір Н.Б.)


7.1. визначення тенденції розвитку (тренд)

Тенденція (тренд) це напрям розвитку певного явища. При аналізі ряду динаміки виникає завдання вивчити його основну тенденцію (тренд). Це необхідно при вивченні сезонних коливань та при прогнозуванні розвитку даного явища на майбутнє.

Якщо під впливом випадкових факторів рівні ряду не виявляють чіткої тенденції розвитку, то для її виявлення (описування) застосовують спеціальні статистичні методи.

До найбільш простих методів "зглажування рядів" відносяться метод ступінчатих середніх та метод плинних середніх. Обчислення ступінчатих середніх проводиться за збільшенними інтервалами часу. При цьому первинні (емпіричні рівні) замінюються середніми рівнями.

Суть методу плинної середньої полягає в тому, що середні обчислюються по збільшеним інтервалам при послідовному переміщенні меж інтервалів на один інтервал. При цьому коливання ряду динаміки згладжується. Недоліком методу є те, що згладжений ряд коротше емпіричного і він лише ілюструє тенденцію, але не дає можливість кількісно її виявити.

Виявити тенденцію та кількісно її виміряти дає змогу метод аналітичного вирівнювання. При цьому застосовуються "трендові криві", тобто математичні функції, за допомогою яких описується основна тенденція.

Перевага віддається тим функціям, параметри яких мають чіткий економічний зміст і означають абсолютну чи відносну швидкість розвитку, а саме:

Лінійні функції

У( = а0 + а1 х (7.1)

де параметр а1 характеризує стабільну абсолютну швидкість.

Парабола другого ступеня характеризує стабільний приріст абсолютної швидкості;

У( = а0 + а1 ї + а2 ї2. (7.2) 3. Показникова функція:

У{ = а0 а|. (7.3)

В усіх функціях:

у1 значення рівнів вирівняного ряду, які необхідно обчислити; а0, а1, а2, параметри функції; і показники часу (дні, місяці, роки).

Розглянемо приклад згладжування ряду динаміки методом плинної середньої та ступінчатої середньої (табл. 7.1).

Середня для перших рівнів ряду дорівнює (118+124+124)/3=122тис. грн. (по кварталам). Віднесемо значення середньої до лютого. Потім залишивши перший рівень (січень) і додавши четвертий рівень (квітень) розрахуємо наступну середню: (124+124+128)/3=125.

Використовуючи метод ступінчатих середніх, розрахуємо спочатку обсяг продукції за три місяці, а потім знайдемо середньомісячний обсяг виробництва:

У1 = (118+124+124)/3 = 122тис. грн. У2 = (128+127+132)/3 = 129тис. грн.

Метод аналітичного вирівнювання ряду динаміки має за мету знайти плавну лінію розвитку (тренд) даного явища, яка характеризує основну тенденцію його динаміки. Вирівнювання може бути проведено за прямою або за іншою лінією, яка виражає функціональну залежність рівнів ряду динаміки від часу.

Для нашого прикладу проведемо аналітичне вирівнювання за прямою:

у = а0 + а1 • і, (7.4) де ао і а1 параметри прямої.

Таким чином, задача зводиться до того, щоб фактичні рівні ряду (У) замінити теоретичними рівнями (У,). Задачу вирішують за допомогою методу найменших квадратів. Математично це означає, що пряма, яка вирівнює ряд, повинна проходити максимально близько до фактичних рівнів ряду, а отже сума квадратів відхилень (різниця між фактичними і теоретичними рівнями) повинна бути найменшою.

Спосіб найменших квадратів дає систему двох нормальних рівнянь для знаходження параметрів а0 і аі. Ця система нормальних рівнянь має вигляд:

1. п • а0 + а1 • £ і = £ У

2. а0 • £ і + а1 • £ і2 = £ У • і , (7.5)

де у рівні фактичного ряду динаміки, а п число членів ряду.

Рівні ряду динаміки є функцією від часу: у = /(і) .Так як в рядах

динаміки значення Ь є показниками часу (місяці, роки), то завжди можна надати їм таке значення, щоб їх сума дорівнювала 0. В цьому випадку сума показників часу буде дорівнювати 0. Якщо маємо непарну кількість членів ряду, то показник часу середнього члену ряду приймаємо рівним 0, а по два боки від нього маємо -3; -2, -1 і

1, 2, 3.

Якщо сума Ь дорівнює 0, то система нормальних рівнянь має вигляд:

£ у = а0 ^п => а0 =    ,

£ У • і = а1 £ і2 ^>а

£у-? (7.6)

£і 2

2          =

1 = "

Розрахунок параметрів тренду розглянемо на прикладі. Приклад. Відомі дані про динаміку виробництва м'яса по області за 2003-2007 рр.

Таблиця 7.2.

Дані про динаміку виробництва м'яса по області за 2003 - 2007 рр.

 

Роки

Виробництво м'яса тис. т, У

t

fy

Y Y,

(Y Y,)2

 

2003

15,5

-2

4

-31,0

15,18

0,30

0,090

 

2004

15,1

-1

1

-15,1

15,31

-0,21

0,044

 

2005

15,2

0

0

15,44

-0,20

0,040

 

2006

15,4

1

15,4

15,57

-0,20

0,040

 

2007

16,0

2

4

32

15,70

0,30

0,09

 

 

n

77,2

5

= 15,44;

XY•t 13 a, =i=r^ = — = 0,13

1   X t2 10

 

7г = 15,44 + 0,13 • і рівняння прямої (тренд) , де   0,13   означає,   що   середньорічний   абсолютний приріст виробництва м'яса складає 0,13 тис. т, а 15,44 це середньорічне виробництво м'яса.

Підставляючи в рівняння тренду прийняті значення Ь отримаємо:

2003р. ¥ї = 15,44 + 0,13 • (-2) = 15,18

2004р. 7і = 15,44 + 0,13 • (-1) = 15,31 тощо.

По закінченню розрахунку основної тенденції доцільно графічно зобразити вихідні і теоретичні рівні.

Однак, якщо число рівнів ряду динаміки парне, то умовні позначення показників часу ( і ) доцільно представити у вигляді,

 

а) при непарному числі рівнів: у (2 = (п ~1)1 ^п ^(п +1)1

(7.7);

б) при парному числі рівнів:     у {2

(п -1) • п • (п + 1) 3

(7.8)

 

Основна тенденція (тренд) показує, як впливають систематичні фактори на рівень ряду динаміки, а коливання рівнів навколо тренда є мірою впливу залишкових факторів.

Показник коливань обчислюється за формулою середнього

 

квадратичного відхилення: О =

(у -у)2

 

п

 

Подпись: 0,304Подпись: 0,247Подпись: ОО =

V

• 100 = 1,6\%

: 0,247 тис. т

"V   5   "           '    а0 15,44

Вирівнювання рядів динаміки використовують для того, щоб обчислити значення відсутнього члена ряду. Ця процедура називається інтерполяцією. Для прогнозування економічних показників використовується екстраполяція. При цьому обчислюють значення рівнів за межами наявних фактичних даних. При екстраполяції виходять з припущення того, що виявлена тенденція буде зберігатись і надалі. Для проведення цієї операції потрібно лише в рівняння тренду підставити необхідне значення Ь згідно з продовженням вихідного ряду та розрахувати У4.